關(guān)于不定方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解

杜先存，李玉龍

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

?

關(guān)于不定方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解

杜先存，李玉龍

(紅河學(xué)院 教師教育學(xué)院，云南 蒙自 661199)

利用遞歸序列、Pell方程的解的性質(zhì)、Maple小程序等,證明了D=2n(n∈Z+)時(shí)，不定方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4:(i)n=1時(shí),有整數(shù)解(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0)； (ii)n=3時(shí),有整數(shù)解(x,y,z)=(±485,±198,±70),(±5,±2,0)； (iii)n=5時(shí),有整數(shù)解(x,y,z)=(±485,±198,±35),(±5,±2,0)；(iv)n≠1,3,5時(shí)，只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).

Pell方程；遞歸序列；基本解；整數(shù)解；公解；奇素?cái)?shù)

近年來，不定方程x2-D1y2=k與y2-Dz2=m的求解問題一直受到人們的關(guān)注.k=1,m=4時(shí)，已有如下一些結(jié)果：

(i)D1=2,D為奇數(shù)時(shí)，曹珍富[1]、曾登高[2]等就D最多為4個(gè)不同奇素?cái)?shù)乘積的情況做過一些研究；

(ii)D1=2,D為偶數(shù)時(shí)，胡永忠、韓清[3]、管訓(xùn)貴[4]等對(duì)D的不同情況做過一些研究；

(iii)D1=6,D為奇素?cái)?shù)時(shí)，蘇小燕[5]已經(jīng)解決；D至多含3個(gè)不同的奇素?cái)?shù)時(shí)，冉銀霞、冉延平[6]已經(jīng)解決；

但筆者通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)D=2n(n≥1,n∈N)時(shí)，方程x2-6y2=1 與y2-Dz2=4除了正整數(shù)解(x,y,z)=(485,198,35)外還有其他正整數(shù)解，文[9]解數(shù)不全是因?yàn)樽髡哂伞皔2-22k-1z2=4”得到“z為奇數(shù)”(見文[9]第10頁倒數(shù)第8行)，事實(shí)上，z為偶數(shù)也成立，所以作者少了z為偶數(shù)的兩組解.論文利用與文[9]不同的初等方法得出了D=2n(n∈Z+)時(shí)方程x2-6y2=1 與y2-Dz2=4的全部正整數(shù)解.

1 引 理

引理2[10]設(shè)D=2p,p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，則方程x4-Dy2=1(D>0且不是平方數(shù))除了D=6,x=7,y=20外，無其他正整數(shù)解．

引理3 設(shè)Pell方程x2-6y2=1的全部整數(shù)解為(xn,yn),n∈Z,則對(duì)任意n∈Z,xn滿足：xn為平方數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)n=0或n=2.

證明 設(shè)(x1,y1)為Pell方程x2-6y2=1的基本解，則有(x1,y1)=(5,2).設(shè)(xn,yn),n∈Z+是Pell方程x2-6y2=1的正整數(shù)解，若xn=a2,代入原方程得a4-6y2=1.由引理2知，a4-6y2=1僅有正整數(shù)解(a,y)=(7,20),此時(shí)xn=49,從而n=2.又(1,0)是a4-6y2=1的平凡解，此時(shí)xn=1,從而n=0.所以n=0或n=2.反之，顯然.

2 主要結(jié)論

定理 若D=2n(n∈Z+),則不定方程

(1)

的整數(shù)解的情況如下：

(i)n=1,有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±140)和平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0)；

(ii)n=3,有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±70)和平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0)；

(iii)n=5,有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±35)和平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0)；

(iv)n≠1,3,5,只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).

3 定理的證明

由文[8]知以下各式成立：

(I)y2m=2xmym；

(II)y2m-4=ym-1ym+1；

(III)xm≡1(mod2),y2m+1≡2(mod4)；

(IV) gcd(xm,ym)=gcd(xm,xm+1)=gcd(x2m+2,y2m+1)= gcd(x2m,y2m+1)=1；

(V) gcd(ym,ym+1)=2,gcd(x2m+1,y2m)=gcd(x2m+1,y2m+2)=5.

(2)

情形1m為偶數(shù)，則令m=2k,k∈Z,此時(shí)(2)成為

(3)

由(III)的y2m+1≡2(mod4)知，y2k-1≡y2k+1≡2(mod4),則有2‖y2k-1,2‖y2k+1,故(3)右邊2的次數(shù)為2次，而(3)左邊2的次數(shù)為2l-1次,矛盾，故此時(shí)(3)無整數(shù)解，則(1)無整數(shù)解.

情形2m為奇數(shù)，則令m=2k-1,k∈Z,此時(shí)(3)成為

(4)

由(I)得，(4)成為

(5)

k=1時(shí)，(5)為22l-1z2=4x0y0x1y1=0,則z=0,故此時(shí)(1)只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).

k=0時(shí)，(5)為22l-1z2=4x-1y-1x0y0=0,則z=0,故此時(shí)(1)只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).

k=2時(shí)，(5)為22l-1z2=4x1y1x2y2=4×5×2×49×20=25×52×72,則有z=±140,D=2或z=±70,D=23或z=±35,D=25.故n=1時(shí),(1)有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±140);n=3時(shí),(1)有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±70);n=5時(shí),(1)有非平凡解(x,y,z)=(±485,±198,±35).

[1] 曹珍富. 關(guān)于Pell方程x2-2y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].科學(xué)通報(bào)，1986,31(6)：476.

[2] 曾登高. 也說Pell方程x2-2y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995(1)：81-84.

[3] 胡永忠，韓清. 也談不定方程組x2-2y2=1與y2-Dz2=4[J]. 華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版：2002,36(1)：17-19.

[4] 管訓(xùn)貴.關(guān)于Pell方程x2-2y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版：2012,46(3)：267-269,278.

[5] 蘇小燕. 關(guān)于Pell方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000,13(3)：35-38.

[6] 冉銀霞，冉延平. 不定方程組x2-6y2=1,y2-Dz2=4[J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，27(4)：19-21.

[7] 賀臘榮，張淑靜，袁進(jìn). 關(guān)于不定方程組x2-6y2=1,y2-Dz2=4[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012,21(1)：57-58.

[8] 杜先存，管訓(xùn)貴，楊慧章．關(guān)于不定方程組x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J]．華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014，48(3)：310-313.

[9] 王冠閩，李炳榮. 關(guān)于Pell方程x2-6y2=1與y2-Dz2=4的公解[J].漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002,15(4)：9-14.

[10] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：262，273.

(責(zé)任編輯 朱夜明)

On the system of Diophantine equationsx2-6y2=1 andy2-Dz2=4

DU Xian-cun ， LI Yu-long

(College of Teacher Education, Honghe University , Mengzi 661199, China)

By using recursive sequence ,some properties of the solutions to Pell equation and Maple formality, the following conclusions were proved：IfD=2n(n∈Z+),then(i)thesystemofDiophantineequationsx2-6y2=1andy2-Dz2=4hasintegersolutions(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0)wheren=1; (ii)thesystemofDiophantineequationsx2-6y2=1andy2-Dz2=4hasintegersolutions(x,y,z)=(±5,±2,0),(±485,±198,±70)wheren=3; (iii)thesystemofDiophantineequationsx2-6y2=1andy2-Dz2=4hasintegersolutions(x,y,z)=(±5,±2,0),(±485,±198,±35)wheren=5;(iv)thesystemofDiophantineequationsx2-6y2=1andy2-Dz2=4hasonlytrivialsolution(x,y,z)=(±5,±2,0)wheren≠1,3,5.

Pell equation; recursive sequence; fundamental solution; integer solution; common solution; odd prime

10.3969/j.issn.1000-2162.2015.06.004

2014-09-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071194)；云南省教育廳科研基金資助項(xiàng)目(2014Y462)； 喀什師范學(xué)院校級(jí)課題基金資助項(xiàng)目((14)2513);紅河學(xué)院校級(jí)課題基金資助項(xiàng)目(XJ15Y22)

杜先存(1981-)，女，云南鳳慶人，紅河學(xué)院副教授.

O

A

1000-2162(2015)06-0019-04