基于CASIO計(jì)算器的辛普森公式法曲線計(jì)算

劉鋒++張曉雅++謝媛媛++王雪

摘要：根據(jù)實(shí)際需要，采用定積分公式推導(dǎo)出線路曲線中線點(diǎn)坐標(biāo)的積分公式，然后采用復(fù)化辛普森公式給出其數(shù)值積分式。在此基礎(chǔ)上給出了求線路中線以及邊線坐標(biāo)計(jì)算的CASIO計(jì)算器程序。并對(duì)程序進(jìn)行了說明，CASIO計(jì)算器的辛普森公式法曲線計(jì)算大大提高了工作效率。

關(guān)鍵詞：辛普森公式 曲線元 坐標(biāo) 切線方位角

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2014）12-0114-01

1 引言

目前在鐵路、公路曲線的中、邊樁計(jì)算中主要采用泰勒級(jí)數(shù)展開公式進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算不同曲線元時(shí)就需要采用不同的計(jì)算公式，這就導(dǎo)致采用計(jì)算器計(jì)算大大不便。當(dāng)計(jì)算卵形曲線或曲線的半徑較小時(shí)，計(jì)算誤差會(huì)較大，需要較多的泰勒級(jí)數(shù)展開項(xiàng)才能保證精度，這就導(dǎo)致公式繁雜又增加計(jì)算難度。而采用辛普生通用公式進(jìn)行計(jì)算就非常簡(jiǎn)便，該公式能用于任意的直線段、圓曲線段、緩和曲線段的中、邊樁坐標(biāo)計(jì)算。

2 辛普森通用公式推導(dǎo)

一般線路都是由直線、緩和曲線、圓曲線組成。而這三種線型的曲率都是隨弧長(zhǎng)作線性變化的，所以可用曲線元代表三種線型中的任意一種。已知弧長(zhǎng)為l的任意點(diǎn)i的坐標(biāo)的積分公式可表示為：

（1）

式中XA、YA為曲線元起點(diǎn)的坐標(biāo)，αi為曲線元上i點(diǎn)的切線方位角，其計(jì)算公式為：

（2）

式中αA為曲線元起點(diǎn)切線方位角，PA為曲線元起點(diǎn)處的曲率，PB為曲線元終點(diǎn)處的曲率，L為曲線元總長(zhǎng)度，l為任意點(diǎn)i距曲線元起點(diǎn)的弧長(zhǎng)?！辣硎厩€元的左右偏向，左偏時(shí)取“-”，右偏則取“+”。αA、αi單位均為度。

將式（2）代入式（1），采用復(fù)化辛普森公式給出其數(shù)值積分式為：

（3）

式中m為積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的一半，α2K-1為曲線元上n等分點(diǎn)處的切線方位角，α2K為曲線元上n/2等分點(diǎn)處的切線方位角。

復(fù)化辛普森公式具有如下特點(diǎn)：適用于直線、緩和曲線、圓曲線，計(jì)算精度可控制，精度隨積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)n的而變化，可以根據(jù)實(shí)際需要選用合適的n值以確保計(jì)算精度和計(jì)算效率，計(jì)算方向是可逆的，即可以沿里程遞增方向計(jì)算也可以沿里程遞減方向計(jì)算。

3 程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)實(shí)際計(jì)算所需要的參數(shù)，編寫程序時(shí)定義如下變量：A-曲線元起點(diǎn)A的坐標(biāo)；B-曲線元起點(diǎn)B的坐標(biāo)；C-曲線元起點(diǎn)A的切線坐標(biāo)方位角；F-曲線元起點(diǎn)A的里程；G-曲線元起點(diǎn)B的里程；H-曲線上待求點(diǎn)i的里程；D-曲線元起點(diǎn)A的曲率；E-曲線元終點(diǎn)B的曲率；XL-左邊線點(diǎn)位X坐標(biāo)；YL-左邊線點(diǎn)位Y坐標(biāo)；XR-右邊線點(diǎn)位X坐標(biāo)；YR-右邊線點(diǎn)位Y坐標(biāo)；X-中線點(diǎn)位縱坐標(biāo)；Y-中線點(diǎn)位橫坐標(biāo)；DL-左邊線距中線平距；DR-右邊線距中線平距。程序見表1。

程序說明及需要輸入的數(shù)據(jù)項(xiàng)：（1）曲線元起點(diǎn)A的施工坐標(biāo)和切線坐標(biāo)方位角，計(jì)算器顯示為“XA”，“YA”，“CA”；（2）曲線元起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的曲率，計(jì)算器顯示為1/RA，1/RB（曲線左偏時(shí)取“-”）；（3）曲線元起點(diǎn)A和終點(diǎn)B的里程，計(jì)算器顯示為“DKA”，“DKB”；（4）輸入待求點(diǎn)里程和該點(diǎn)距中樁左右的水平距離，計(jì)算器顯示為“DKI”，“DL”，“DR”；每算完一個(gè)點(diǎn)的中線及邊線坐標(biāo)，直接輸入下一點(diǎn)的“DKI”，“DL”，“DR”，當(dāng)輸入的“DKI”大于“DKB”時(shí)，程序計(jì)算下一個(gè)曲線元，只要輸入下一曲線元的起點(diǎn)的曲率和里程即可。

4 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)不同類型線路曲線測(cè)量通用公式的推導(dǎo)及程序?qū)崿F(xiàn)，使得曲線計(jì)算變得靈活、簡(jiǎn)便，不但解決了常規(guī)計(jì)算方法不具備通用性的問題，并且避免了傳統(tǒng)計(jì)算中復(fù)雜的多次坐標(biāo)平移及旋轉(zhuǎn)過程，使用辛普森通用公式使計(jì)算工作進(jìn)一步簡(jiǎn)化， 解算步驟清晰明了，而且使得計(jì)算精度可根據(jù)曲線半徑大小進(jìn)行控制，具有很強(qiáng)大的實(shí)用性，CASIO計(jì)算器程序的應(yīng)用在工程實(shí)踐中大大提高了計(jì)算效率。

參考文獻(xiàn)

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