恒定電場(chǎng)

摘 要：根據(jù)電動(dòng)力學(xué)我們知道空間中靜電場(chǎng)的分布情況是可以通過邊界條件以及泊松方程求解出來的，且解是唯一的。原則上，只要知道邊界條件，我們就可以通過求解泊松方程來解決一切靜電場(chǎng)問題。實(shí)際上這種方法還可以推廣到渦旋電場(chǎng)中。該論文討論了如何將研究靜電場(chǎng)的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到研究渦旋電場(chǎng)中。我們從最簡(jiǎn)單的通電螺線管激發(fā)的電場(chǎng)出發(fā)，求解通電螺線管內(nèi)、外的渦旋電場(chǎng)分布函數(shù)，其次分析這些函數(shù)描述的電場(chǎng)是否為保守場(chǎng)，最后通過定義假想電流、渦旋電場(chǎng)矢勢(shì)、渦旋電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)將恒定電場(chǎng)通過泊松方程以及邊界條件表達(dá)出來。

關(guān)鍵詞：恒定電場(chǎng) 泊松方程 電動(dòng)勢(shì) 邊界條件

中圖分類號(hào)：TJ510.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）04（b）-0211-05

時(shí)變磁場(chǎng)激發(fā)的恒定渦旋電場(chǎng)與靜電荷激發(fā)的靜電場(chǎng)疊加成的總電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)，恒定電場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的。電動(dòng)力學(xué)表明泊松方程及其邊界條件可以完美的描述靜電場(chǎng)，但沒有給出一套完整的數(shù)理方法來描述渦旋電場(chǎng)，該論文的目的就是要將描述靜電場(chǎng)的這種數(shù)理方法推廣到渦旋電場(chǎng)中，給出一個(gè)描述渦旋電場(chǎng)的數(shù)理方法。

1 通電螺線管激發(fā)的電場(chǎng)

先來看細(xì)長(zhǎng)螺線管激發(fā)的渦旋電場(chǎng)的性質(zhì)，圖1是一個(gè)密繞細(xì)長(zhǎng)螺線管的橫截面，虛線為螺線管管壁，給螺線管通變化電流使螺線管內(nèi)，即虛線所圍成的區(qū)域產(chǎn)生均勻分布的磁場(chǎng)，“×”表示該磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向里，設(shè)的變化率為大于零的常數(shù)k：

根據(jù)電磁感應(yīng)定律[1]，將激發(fā)出電場(chǎng)，的方向如圖1黑色實(shí)線條所示：

螺線管半徑為R，由法拉第電磁感應(yīng)定律可求出螺線管內(nèi)及管外的電場(chǎng)的大小分別為[1]：

（1）

（2）

其中r表示場(chǎng)點(diǎn)與螺線管中心O的距離。若要分析該渦旋電場(chǎng)的旋度與散度，就必須先求出該電場(chǎng)在空間中的分布函數(shù)，接下來我們就來求這個(gè)函數(shù)。

建立圖2所示直角坐標(biāo)系，以螺線管中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在該坐標(biāo)系中的任意一條電場(chǎng)線上，任取一點(diǎn)，該點(diǎn)位矢為：

該點(diǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度為：

顯然：

（3）

（4）

其中：

（5）

（6）

將式（1），（2），（5），（6），帶入（3），（4）得電場(chǎng)在空間中的分布函數(shù)：

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)：

且：

至此，我們便求出了通電螺線管激發(fā)的電場(chǎng)函數(shù)，接下來我們分析這些電場(chǎng)函數(shù)是否是保守場(chǎng)函數(shù)。

2 對(duì)于螺線管內(nèi)的渦旋電場(chǎng)

螺線管內(nèi)的電場(chǎng)為：

該函數(shù)無奇點(diǎn)，螺線管內(nèi)的空間為單連通區(qū)域，因此判斷此函數(shù)積分與路徑有關(guān)系，等價(jià)于判斷[2]：

不成立，而：

所以

為非保守場(chǎng)。

3 對(duì)于螺線管外的渦旋電場(chǎng)

螺線管外的電場(chǎng)為：

該函數(shù)在點(diǎn)無定義，因此判斷此函數(shù)積分與路徑有無關(guān)系，除了判斷：

是否成立外還要判斷該函數(shù)對(duì)任意一條環(huán)繞奇點(diǎn)的閉合曲線的坐標(biāo)積分是否為零[3，4]：

為書寫方便，令：

則：

其中的為常數(shù)，不妨做圓：

環(huán)繞奇點(diǎn)，沿著積分，方向如圖3所示：

可見在包含奇點(diǎn)的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)是非保守場(chǎng)，的非保守性質(zhì)完全是由于這個(gè)奇點(diǎn)造成的，而對(duì)于不環(huán)繞奇點(diǎn)的任意閉合曲線，的曲線坐標(biāo)積分為零，因此對(duì)于螺線管外任意不環(huán)繞或不包含奇點(diǎn)的區(qū)域電場(chǎng)可視為保守場(chǎng)，如圖4所示：

A區(qū)的電場(chǎng)可視為保守場(chǎng)，但D區(qū)，C區(qū)的電場(chǎng)不可視為保守場(chǎng)，因?yàn)檫@兩個(gè)區(qū)域包含了或環(huán)繞了奇點(diǎn)。

對(duì)于螺線管激發(fā)的電場(chǎng)，其只分布于螺線管外，奇點(diǎn)并不處于的分布區(qū)域，因此螺線管在任意不環(huán)繞奇點(diǎn)的區(qū)域激發(fā)的電場(chǎng)可視作保守場(chǎng)，也就是說當(dāng)圖5所示的導(dǎo)線QMP與導(dǎo)線QNP電阻相等時(shí)，由于沿著導(dǎo)線QMP的積分等于其沿著導(dǎo)線QNP的積分，所以兩電流A1與A2表示數(shù)相同。

4 導(dǎo)線QMP與導(dǎo)線QNP中的感生電動(dòng)勢(shì)相等

證明導(dǎo)線QMP與導(dǎo)線QNP中的感生電動(dòng)勢(shì)相等，就是證明導(dǎo)線QMP感生電動(dòng)勢(shì)與導(dǎo)線QNP感生電動(dòng)勢(shì)分別都等于中的電動(dòng)勢(shì)。（如圖6）

為方便起見先來看這樣一根特殊導(dǎo)線的感生電動(dòng)勢(shì)，作如圖7所示的曲線，方向?yàn)椋?/p>

曲線是半徑為R1的半圓，這兩個(gè)半圓圓心為螺線管中心，且， 上的感生電動(dòng)勢(shì)為，處的電場(chǎng)為：

對(duì)于任意曲線，與同端點(diǎn)，下面證明中的電動(dòng)勢(shì)等于中的電動(dòng)勢(shì)（如圖8），取一段有向線元，在垂直于方向分量為，在平行于方向分量為，而沿垂直于方向，于是：

所以：

對(duì)任意曲線，只要其端點(diǎn)與相同，就會(huì)感應(yīng)出與相同的電動(dòng)勢(shì)，也就是說導(dǎo)線QMP與導(dǎo)線QNP中的感生電動(dòng)勢(shì)相等，對(duì)于圓心不再O點(diǎn)的情形也會(huì)得出相同結(jié)論。

5 恒定渦旋電場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)

對(duì)于渦旋電場(chǎng)應(yīng)用麥克斯韋方程組[5，6]為：

其中為自由電荷體密度。

若引入定義假想電流：

則：

這樣細(xì)長(zhǎng)螺線管在管外激發(fā)渦旋電場(chǎng)就可等效的描述為假想電流激發(fā)，與方向滿足右手螺旋，且時(shí)變磁場(chǎng)分布的空間區(qū)域就是分布的區(qū)域，進(jìn)而我們將細(xì)長(zhǎng)螺線管在管外激發(fā)渦旋電場(chǎng)的情形推廣為任意時(shí)變磁場(chǎng)激發(fā)的恒定渦旋電場(chǎng)，這樣時(shí)變磁場(chǎng)在空間區(qū)域激發(fā)的恒定渦旋電場(chǎng)，也即在空間區(qū)域激發(fā)的恒定渦旋電場(chǎng)可視為保守場(chǎng)的條件表述為：該區(qū)域的任何回路都不圍繞，此時(shí)：

我們可以仿照靜磁場(chǎng)，引入矢勢(shì)描述渦旋電場(chǎng)，同時(shí)對(duì)于恒定渦旋電場(chǎng)的一些特殊區(qū)域，我們?nèi)匀豢梢杂脴?biāo)勢(shì)描述。

定義矢勢(shì)：

并附加規(guī)范條件 ：

對(duì)兩邊同取旋度得：

定義標(biāo)勢(shì)：

（7）

6 空間中的恒定電場(chǎng)

根據(jù)恒定電場(chǎng)的定義，恒定電場(chǎng)表示為：

（8）

其中為電荷激發(fā)的靜電場(chǎng)。對(duì)于時(shí)變磁場(chǎng)激發(fā)的恒定渦旋電場(chǎng)，其電場(chǎng)線始終是閉合的，對(duì)于可視為保守場(chǎng)的電場(chǎng)區(qū)域的任意閉曲面所圍成的空間，有多少電場(chǎng)線穿入，就有多少條電場(chǎng)線穿出，電通量恒為零，因此恒定渦旋電場(chǎng)的散度恒為零，對(duì)（7）兩邊同求散度：

（9）

（10）

其中為極化電荷體密度是保守場(chǎng)，在任何回路都不圍繞的區(qū)域也是保守場(chǎng)，這兩種場(chǎng)的疊加必是保守場(chǎng)，定義標(biāo)勢(shì)：

（11）

對(duì)于電荷激發(fā)的靜電標(biāo)勢(shì)，有：

（12）

將式（7），（11），（12）代入（9）得：

（13）

即，恒定電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)等于渦旋電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)與靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)的疊加。

（14）

電場(chǎng)邊值關(guān)系[5]為：

為自由電荷面密度；為兩線性均勻電介質(zhì)界面由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的單位法向，考慮到并將（10）帶入邊值關(guān)系得出：

（15）

（16）

ε1與ε2分別表示兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，將式（13）代入式（14），（15），（16）可得：

這是渦旋電場(chǎng)的拉普拉斯方程及邊界條件，于是就可以將解決靜電場(chǎng)的方法應(yīng)用到渦旋電場(chǎng)中，求出后，再結(jié)合就可求出。

7 結(jié)語

從上面的討論可以看出，只要已知空間中的極化電荷分布與自由電荷分布，就可以將解決靜電問題的唯一性定理、泊松方程、格林函數(shù)等方法應(yīng)用到恒定電場(chǎng)中，求解恒定電場(chǎng)中有導(dǎo)體或電介質(zhì)存在時(shí)的分布了。

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