圓弧相似及應(yīng)用

摘要：指出什么是圓弧相似，剖析兩圓弧相似應(yīng)滿足的條件；通過(guò)一個(gè)具體實(shí)例——帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律的求解，說(shuō)明圓弧相似在物理解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：圓弧 相似 帶電粒子 勻強(qiáng)磁場(chǎng) 運(yùn)動(dòng)軌跡

所有的圓都是相似圖形。等圓能夠相互重合，是全等形，當(dāng)然相似；大小不同的兩圓，將小圓放大一定倍數(shù)之后，可以和大圓變得相同而成為等圓，也相似。但不同的圓弧卻未必相似，比如，一段優(yōu)弧與一段劣弧相比，它們一定不相似，因?yàn)槿魞苫〉乳L(zhǎng)，則它們的曲率半徑不同，即使一樣長(zhǎng)，也不會(huì)重合，一樣長(zhǎng)卻不能重合的兩段圓弧肯定不會(huì)相似的；若兩弧不等長(zhǎng)，將短弧放大一定倍數(shù)而與長(zhǎng)弧長(zhǎng)度相等之后，曲率半徑仍不等，所以，它們也不相似。

可以證明，度數(shù)相等的兩圓弧，不論半徑是否相等，都相似。

例1.如圖1，圓弧AB和圓弧CD度數(shù)相等.求證：圓弧AB∽圓弧CD

證明：如圖2，圓弧AB保持不動(dòng)，平移圓弧CD，使兩圓弧所在的圓共面，且圓心重合（不妨設(shè)為點(diǎn)O），使過(guò)兩弧端點(diǎn)A和C的兩半徑OA、OC共線，因?yàn)閮蓤A弧的度數(shù)相等，所以，過(guò)兩圓弧另一端點(diǎn)的兩半徑OB、OD也共線，設(shè) ，則將扇形OCD擴(kuò)大到原來(lái)的k倍之后（擴(kuò)大后所得的圖形與原圖形相似），C與A重合，D與B重合，因此，擴(kuò)大后的圓弧CD將與圓弧AB重合。故，圖2中，圓弧AB∽圓弧CD

我們看圓弧相似的一個(gè)應(yīng)用。

例2.如圖3所示，在x>0，y>0的空間有恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于平面向里，大小為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，從x軸上的某點(diǎn)P沿著與x軸成300角的PQ方向射入磁場(chǎng)。不計(jì)重力的影響，求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍。

分析：不考慮重力影響時(shí)，受洛倫茲力的作用，由P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)帶正電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，是與PQ切于P點(diǎn)的圓弧，隨著粒子速度的改變，粒子運(yùn)行軌跡圓弧的半徑也在改變。由等式 可知，在粒子質(zhì)量m、電量q及運(yùn)動(dòng)粒子所在空間磁感應(yīng)強(qiáng)度B一定時(shí)，粒子運(yùn)行軌跡圓的半徑r與其運(yùn)行速度v成正比。

圖4是同一帶電粒子以不同速度由P點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的運(yùn)行軌跡（指第一象限內(nèi)的實(shí)線部分，帶電粒子一旦離開(kāi)第一象限，也就離開(kāi)了磁場(chǎng)，因不再受力，粒子的運(yùn)行軌跡也不再是圓弧，而是變成了直線。隨著速度的不同，應(yīng)該能夠畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)圓弧形軌跡，我們只在圖4中畫(huà)出了有代表性的幾個(gè)）。

這些圓弧軌跡所在圓的共同特征是，與過(guò)點(diǎn)P、與x軸成30°角的直線PQ切于同一點(diǎn)P，所以，這些圓的圓心都在過(guò)點(diǎn)P并與PQ垂直的直線PE上，PQ是這些圓的公切線，由于弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半，因此，圖4中的這些過(guò)P點(diǎn)的所有圓，x軸下面的劣弧度數(shù)都是60°，所以，x軸上方的優(yōu)弧，度數(shù)均為300°（即 rad）。當(dāng)帶電粒子的速度不是很大時(shí)，其運(yùn)行軌跡是與y軸不相交的圓弧——第一象限橫軸上方弧度為 的優(yōu)弧，所以，它們是一組相似圖形。因?yàn)橄嗨茍A弧的弧長(zhǎng)與其半徑成正比，而圓弧的半徑與粒子的速度成正比，所以，各圓弧弧長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度的比值相同。這就是說(shuō)，在粒子速度不大，粒子運(yùn)行軌跡與y軸不相交時(shí)，不論粒子的速度大還是小，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間 始終相同：

當(dāng)帶電粒子的速度較大時(shí)，其運(yùn)行軌跡與y軸相交（比如圖4中的⊙O4、⊙O5、⊙O6），各圓弧在第一象限內(nèi)的度數(shù)隨粒子速度的增加而減小，不用說(shuō)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間也將隨粒子運(yùn)動(dòng)速度的增加而減小，當(dāng)粒子的速度趨向于無(wú)窮大時(shí)（這僅僅從數(shù)學(xué)的角度考慮，實(shí)際上，所有物體的運(yùn)動(dòng)速度都有一個(gè)極限值3×108m/s，不可能變得無(wú)窮大），粒子運(yùn)行軌跡圓弧的半徑也變得無(wú)窮大，跟無(wú)窮大的軌跡半徑相比，粒子的初始位置P與坐標(biāo)原點(diǎn)O間的距離變得相對(duì)很小，可認(rèn)為是零，如圖5，此時(shí)，粒子運(yùn)行軌跡——第一象限內(nèi)的圓弧，度數(shù)趨向于120°（即 rad），所以，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間趨向于：