基于虛擬圓球模型的格網(wǎng)SINS/GNSS極區(qū)組合導(dǎo)航方法

葛浩冉，徐 祥，黃 玲，趙鶴鳴

(蘇州大學(xué)電子信息學(xué)院，蘇州 215006)

0 引言

近年來(lái)，北極的戰(zhàn)略?xún)r(jià)值不斷提高，受到國(guó)際社會(huì)的普遍關(guān)注?？梢灶A(yù)見(jiàn)，越來(lái)越多的極地考察任務(wù)將實(shí)施，極區(qū)精確導(dǎo)航將成為支撐極地考察的核心技術(shù)之一。慣性導(dǎo)航系統(tǒng)可以全自主地完成導(dǎo)航工作，是極區(qū)導(dǎo)航的主要設(shè)備?，F(xiàn)代導(dǎo)航均以經(jīng)線作為航向參考基準(zhǔn)，使用經(jīng)緯度來(lái)表示位置，而北極附近經(jīng)線迅速收斂于極點(diǎn)，造成建立相對(duì)經(jīng)線的航向參考基準(zhǔn)越來(lái)越困難，使得傳統(tǒng)的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在極區(qū)無(wú)法定向。

目前，極區(qū)慣性導(dǎo)航的主流解決方案有橫向坐標(biāo)系[1]和格網(wǎng)坐標(biāo)系[2]導(dǎo)航算法。地球作為導(dǎo)航解算的參照體，其模型的選擇是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的重要參數(shù)，常采用傳統(tǒng)圓球模型和旋轉(zhuǎn)橢球模型對(duì)地球作近似描述。在文獻(xiàn)[3]中提出了圓球模型下的慣性導(dǎo)航力學(xué)編排，計(jì)算簡(jiǎn)單但不可避免地產(chǎn)生原理性誤差。在文獻(xiàn)[4]中提出了橢球模型下的慣性導(dǎo)航力學(xué)編排，可以避免圓球模型帶來(lái)的原理性誤差，但是引入曲率半徑的計(jì)算，使得導(dǎo)航解算過(guò)程復(fù)雜化。在文獻(xiàn)[5]中提出了虛擬圓球的概念，利用虛擬圓球模型簡(jiǎn)化導(dǎo)航力學(xué)編排，其精度與橢球模型一致。分析慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差特性是抑制導(dǎo)航誤差、提高導(dǎo)航精度的重要步驟，在文獻(xiàn)[6-7]中為了簡(jiǎn)化誤差方程推導(dǎo)，均將地球視作圓球模型，以及在文獻(xiàn)[8-9]中阻尼技術(shù)和文獻(xiàn)[10-11]中組合導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)均采用地球圓球模型。對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)估與驗(yàn)證，實(shí)地測(cè)試是不可或缺的部分。由于極區(qū)實(shí)測(cè)獲取數(shù)據(jù)難度大，因此獲取極區(qū)軌跡數(shù)據(jù)的主要思想是將中低緯度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)換到高緯度地區(qū)，目前已有文獻(xiàn)中的主要方法包括緯度增量法[12]、坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)法[13]和姿態(tài)速度不變法[14-15]。通過(guò)對(duì)比分析，姿態(tài)速度不變法可以在轉(zhuǎn)換過(guò)程中減少軌跡壓縮，同時(shí)滿足極區(qū)的地理特性。

針對(duì)上述提出的采用圓球模型誤差特性進(jìn)行組合導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，本文在文獻(xiàn)[5]提出的虛擬圓球模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)誤差方程，設(shè)計(jì)格網(wǎng)系組合導(dǎo)航系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了捷聯(lián)慣導(dǎo)地球模型與濾波模型的統(tǒng)一。本文添加了跑車(chē)實(shí)驗(yàn)，使用文獻(xiàn)[14]中的格網(wǎng)姿態(tài)速度不變的(Grid Attitude and Velocity Invariant Method，G-AVIM)虛擬極區(qū)方法，將低緯度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)算法轉(zhuǎn)換到極地區(qū)域。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果表明：基于虛擬圓球模型下的格網(wǎng)系捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System，SINS)/全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite Systems，GNSS)組合導(dǎo)航系統(tǒng)可以完成極區(qū)導(dǎo)航工作。

1 導(dǎo)航力學(xué)編排

采用格網(wǎng)系進(jìn)行極區(qū)慣性導(dǎo)航，推導(dǎo)基于虛擬圓球模型下的導(dǎo)航力學(xué)編排。記地球坐標(biāo)系為e系，載體坐標(biāo)系為b系，地理坐標(biāo)系為g系，格網(wǎng)坐標(biāo)系為G系。

1.1 格網(wǎng)坐標(biāo)系

設(shè)載體的位置為P，格網(wǎng)坐標(biāo)系的定義如圖1所示，以O(shè)為球心，地球坐標(biāo)系記為(xe,ye,ze)，以P點(diǎn)處平行于本初子午面的平面作為格網(wǎng)平面，格網(wǎng)平面與當(dāng)?shù)厍衅矫娴慕痪€定義為格網(wǎng)北向，格網(wǎng)天向與地理天向重合，格網(wǎng)東向在切平面內(nèi)與格網(wǎng)北向和天向構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。格網(wǎng)北向與地理北向之間的夾角σ稱(chēng)為格網(wǎng)方位角。地理坐標(biāo)系各軸向量記為(E,N,U)，格網(wǎng)坐標(biāo)系各軸向量記為(GE,GN,GU)。λ和L分別表示P點(diǎn)處的經(jīng)度和緯度。

圖1 格網(wǎng)坐標(biāo)系Fig.1 Grid coordinate system

格網(wǎng)坐標(biāo)系與地理坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(1)

對(duì)于北半球，格網(wǎng)方位角σ的正弦和余弦可以描述為

(2)

(3)

1.2 慣導(dǎo)力學(xué)編排

虛擬圓球模型是以載體所在的卯酉圈半徑作為圓球半徑人為構(gòu)造的圓球。在圖2中，Re和Rp分別為地球橢球模型的長(zhǎng)軸半徑和短軸半徑；P點(diǎn)的地心緯度和地理緯度分別為L(zhǎng)e和L；以O(shè)點(diǎn)為圓心，OP為半徑所畫(huà)虛線為虛擬圓球。

圖2 虛擬圓球原理圖Fig.2 Virtual sphere schematic diagram

設(shè)虛擬圓球的半徑為Rt，具體的計(jì)算過(guò)程和符號(hào)說(shuō)明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]

(4)

基于虛擬圓球模型的格網(wǎng)系導(dǎo)航力學(xué)編排的姿態(tài)方向余弦矩陣、速度和位置微分方程[16]可表述為

(5)

(6)

其中，格網(wǎng)系下的補(bǔ)償速度為

K為參考橢球變換為虛擬圓球的尺度系數(shù)矩陣，k為尺度變換系數(shù)，具體符號(hào)說(shuō)明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]

2 導(dǎo)航誤差方程

現(xiàn)有文獻(xiàn)中，由于橢球模型下的格網(wǎng)系編排復(fù)雜，為簡(jiǎn)化誤差推導(dǎo)方程，均近似采用圓球模型。本文將推導(dǎo)基于虛擬圓球模型的格網(wǎng)系誤差方程。

地球坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(7)

式中，Rth=Rt+h，h為載體高度；e為橢球第一偏心率。

對(duì)式(7)求微分得

δRe=MPR·δP

(8)

(9)

(10)

式(10)中，Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度。

(11)

由式(8)和式(11)可以得到

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

式中

由式(8)和式(13)可以得到

(16)

(17)

3 格網(wǎng)系組合導(dǎo)航算法

現(xiàn)有文獻(xiàn)在設(shè)計(jì)組合導(dǎo)航的濾波模型時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算將地球視作圓球。本文為提高組合導(dǎo)航精度，將捷聯(lián)慣導(dǎo)機(jī)械化的地球模型與濾波模型進(jìn)行統(tǒng)一，均采用虛擬圓球模型。設(shè)計(jì)了基于虛擬圓球模型的格網(wǎng)系SINS/GNSS組合導(dǎo)航系統(tǒng)。

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

由誤差方程可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(18)

式中，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；B為系統(tǒng)噪聲分布矩陣；W為系統(tǒng)噪聲向量。

F=

(19)

(20)

(21)

3.2 系統(tǒng)量測(cè)方程

在高緯度地區(qū)GNSS可輸出ECEF坐標(biāo)系表示的位置，格網(wǎng)系輸出位置也采用ECEF坐標(biāo)系，因此，組合導(dǎo)航系統(tǒng)選擇格網(wǎng)SINS位置與GNSS位置的測(cè)量差作為組合導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測(cè)值，建立量測(cè)方程為

(22)

則量測(cè)方程的矩陣形式為

Z=HX+V

(23)

式中，H為量測(cè)矩陣，V為量測(cè)噪聲。

(24)

其中，I3表示三階單位矩陣。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證基于虛擬圓球模型下格網(wǎng)系SINS/GNSS極區(qū)組合導(dǎo)航算法的正確性和可行性，傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)仿真不能反映環(huán)境影響和完全模擬載體運(yùn)動(dòng)，本文使用文獻(xiàn)[14]中的虛擬極區(qū)方法，將低緯度跑車(chē)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)G-AVIM算法生成極地地區(qū)數(shù)據(jù)。

圖3 實(shí)驗(yàn)車(chē)與設(shè)備Fig.3 Experiment vehicle and equipment

現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)在蘇州市完成，起始位置為[31.312164°N 120.648157°E 4.5m]，時(shí)長(zhǎng)2.5h，最大速度約為25m/s。建立極區(qū)軌跡，將起始點(diǎn)設(shè)置為北極點(diǎn)90°N，轉(zhuǎn)換后的極區(qū)經(jīng)緯度軌跡如圖4所示?？梢钥闯?，該軌跡在極點(diǎn)附近產(chǎn)生并穿過(guò)極點(diǎn)，經(jīng)度符合實(shí)際中極區(qū)經(jīng)度特點(diǎn)。仿真結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖4 極區(qū)軌跡與經(jīng)緯度圖Fig.4 Latitude and longitude map of polar track

圖5 格網(wǎng)系姿態(tài)誤差Fig.5 Attitude error of grid system

圖6 格網(wǎng)系速度誤差Fig.6 Velocity error of grid system

圖7 格網(wǎng)系位置誤差Fig.7 Position error of grid system

圖5～圖7所示為基于虛擬圓球模型的組合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差圖，由圖5姿態(tài)誤差可以看出，水平姿態(tài)誤差角十分平穩(wěn)，誤差基本在0.2′左右小范圍波動(dòng)，最大誤差不超過(guò)0.3′，由于慣性器件零偏導(dǎo)致航向誤差角在前2000s最大誤差達(dá)到1°，后面隨著載體做轉(zhuǎn)彎等機(jī)動(dòng)，使得慣性零偏得到補(bǔ)償，航行姿態(tài)角趨于穩(wěn)定，誤差不超過(guò)0.2′；圖6速度誤差收斂后穩(wěn)定在0.1m/s，最大誤差不超過(guò)0.2m/s；圖7為ECEF坐標(biāo)系下的位置誤差，水平方向位置誤差不超過(guò)5m，垂直方向誤差不超過(guò)10m。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可知，首先，基于虛擬圓球模型的格網(wǎng)系慣性導(dǎo)航算法可以完成極區(qū)的導(dǎo)航任務(wù)，在穿過(guò)極點(diǎn)與極點(diǎn)附近時(shí)都不會(huì)發(fā)生跳變現(xiàn)象，克服了傳統(tǒng)中低緯度慣導(dǎo)的缺陷，驗(yàn)證了本文方法的可行性；其次，組合導(dǎo)航系統(tǒng)的定位誤差不超過(guò)5m，可以滿足極區(qū)航行的精度要求。

5 總結(jié)

本文針對(duì)格網(wǎng)系組合導(dǎo)航系統(tǒng)模型不統(tǒng)一的問(wèn)題，提出了一種基于虛擬圓球模型下的格網(wǎng)系組合導(dǎo)航系統(tǒng)，算法分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

1)虛擬圓球模型下的格網(wǎng)系力學(xué)編排通過(guò)對(duì)速度的補(bǔ)償，彌補(bǔ)了圓球模型下存在的原理性誤差，簡(jiǎn)化了橢球模型的計(jì)算復(fù)雜度，因此可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)誤差方程的推導(dǎo)。

2) 將捷聯(lián)慣導(dǎo)地球模型與濾波模型進(jìn)行統(tǒng)一，均采用虛擬圓球模型，不再是橢球模型的慣導(dǎo)更新算法與圓球模型的濾波算法，使得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣更準(zhǔn)確，同時(shí)統(tǒng)一的模型還可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

3)本文不再使用純數(shù)學(xué)仿真，而是進(jìn)行跑車(chē)實(shí)驗(yàn)，利用虛擬極區(qū)的方法將軌跡數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到極區(qū)，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)的有效性和可行性，更具有說(shuō)服力。