例談信息技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)式學(xué)習

摘 要：教育應(yīng)該是一扇門，打開它，滿懷撲抱的是陽光與鮮花。若把知識比作一座神秘的房子，房子里有各種精美的器物。以往的老師“一言堂”，就好比在這個神秘的房子里，只許學(xué)生看不許碰。而以老師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的教學(xué)方式，老師打開門，學(xué)生可以在這個神秘房子里盡情地擺弄賞玩這些器物。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；發(fā)現(xiàn)式學(xué)習；觀察；猜想；演繹

《普通高中信息技術(shù)課程標準》要求轉(zhuǎn)變教師教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習方式，重視學(xué)生對定理和公式的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程。教師在定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。但是沒有一定的知識理論基礎(chǔ)，適當?shù)那榫骋龑?dǎo)，要學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律性結(jié)論，那是很難的，畢竟世界上掉落的蘋果常常有，但是牛頓卻不常有。所以，需要老師運用一些手段，創(chuàng)設(shè)一些情境，合理地引導(dǎo)學(xué)生參與觀察、描述、操作、猜想、實驗、收集、整理、思考、推理等。

信息技術(shù)與課堂教學(xué)整合給學(xué)習方式帶來天翻地覆的變化，一些優(yōu)秀的教學(xué)輔助軟件如Powerponit 、Execl、幾何畫板、Z+Z智能平臺等為教學(xué)帶來極大的方便。尤其是幾何畫板的功能強大，其中的度量工具，隨時度量長度，角度，面積，周長，弧長，弧角，坐標，斜率等，且能隨時跟蹤數(shù)值變化，能動態(tài)顯示數(shù)學(xué)問題的形成、變化與結(jié)果，這就使得數(shù)學(xué)實驗中一個重要思想——定量分析得出定性的結(jié)論得以輕松操作實驗。

教師如果能夠利用信息技術(shù)，巧妙地結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)合理的情境，讓抽象的數(shù)學(xué)概念可視化，展示出變化的過程和結(jié)果，不斷改變其中的變量，讓學(xué)生觀察結(jié)果中的變與不變，分析數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。這樣從直觀表象到深入理解，從特殊具體到一般抽象，從歸納猜想到推理證明，改變了以往知識呈現(xiàn)的過程，只注重知識的傳授，而更加注重知識產(chǎn)生過程的實驗與探究，這樣的教學(xué)方式和學(xué)生發(fā)現(xiàn)式學(xué)習方式使學(xué)生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)，鍛煉了學(xué)生的觀察敏銳性和分析推理的直覺性，進而啟動探究活動，推理演繹驗證結(jié)論，從而促進數(shù)學(xué)多方位思維能力的發(fā)展。下面例談借助信息技術(shù)探索數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個問題。

例如，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)正弦函數(shù)定義的生成以及由定義探索正弦函數(shù)的性質(zhì)。任意做出一個角α的終邊，從終邊上任意取一點P（原點除外），度量出坐標P（x，y），計算OP長度設(shè)為r，改變P的不同位置，制表生成x，y，r和sinα數(shù)值。

通過這樣明確的數(shù)值變化，學(xué)生很直接地可以發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，老師可以引導(dǎo)他們用自己的語言猜想，描述定理、公式、性質(zhì)，老師再加以修正，并組織進行推理論證。沒有利用信息技術(shù)，老師在取角和取點都只能取特殊的，而利用幾何畫板隨時可以跟蹤數(shù)值的變化讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)式學(xué)習，學(xué)生參與了整個過程必會很有成就感。這個方法同樣可以應(yīng)用在探究余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義。

終點在AB所在的直線上，此時x+y=1的這個結(jié)論比較隱蔽，如果不是老師刻意推導(dǎo)，學(xué)生基本是很難發(fā)現(xiàn)。然而如果拖動點C在直線AB上移動，大量的數(shù)據(jù)顯示著x+y=1，使得隱蔽的變量關(guān)系顯性化，學(xué)生驚訝之余，就會引發(fā)疑問。這時任務(wù)驅(qū)動，讓學(xué)生去探究它的推理與證明，從而啟動探究性學(xué)習。這樣的情境設(shè)置，給學(xué)生指引了探索的方向，驅(qū)使他們往深入的知識領(lǐng)域挺進。

例如，數(shù)學(xué)必修5正弦定理這一節(jié)有個探究：在任意的三角形中有大邊對大角，小邊對小角關(guān)系，探究能否得到邊角關(guān)系準確的量化表示。這個探究如果沒有信息技術(shù)的支持是很難的，因為初中都是學(xué)習特殊三角形，而任意三角形三邊和三角的數(shù)據(jù)變化，若人工測量，即便不辭辛苦也難以準確，以致影響結(jié)果。但是利用幾何畫板畫出任意三角形ABC，再設(shè)置度量三邊長度，三角的角度，計算三角的正弦值，拖動其中一個頂點，隨意改變?nèi)切蔚男螤?，大量的?shù)據(jù)同步變動，這時就可以發(fā)現(xiàn)探究了，這個方法同樣也可以用來探究或者驗證余弦定理和面積公式。

常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)常常是演繹性的，抽去發(fā)現(xiàn)探索的過程。而實際上數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得常常是發(fā)現(xiàn)和猜想的過程。幾何畫板、圖形計算器等技術(shù)可以使學(xué)生在較短時間內(nèi)獲得大量的實例或是數(shù)學(xué)對象中參數(shù)變化后的不同結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并產(chǎn)生猜想。

例如，已知四邊形DEFG是△ABC的內(nèi)接矩形，求其面積的最大值。

利用幾何畫板畫三角形和它的內(nèi)接四邊形，設(shè)置矩形隨DE拖動變化，跟蹤G點坐標，計算AD和AB長度比，矩形DEFG和 ABC面積比的同步變化數(shù)值，拖動D點改變矩形，就可以在表格中看到數(shù)據(jù)的變化情況，還可以設(shè)置矩形面積變化的同步函數(shù)圖象，直觀地看出D點在不同位置時刻的面積變化情況，并且顯示取得最大值的矩形。

這也是一道充分利用幾何畫板強大的數(shù)據(jù)處理功能，尤其是時時度量面積，并同步顯示，使得結(jié)論顯而易見。結(jié)論預(yù)知，探索題型就變?yōu)樽C明題。

觸類旁通，借助幾何畫板跟蹤度量長度，距離，角度，面積等手段同樣可以創(chuàng)設(shè)類似的問題情境，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引發(fā)猜想，描述結(jié)果，進一步探究，推理論證。如，線段定比分點P的不同位置對應(yīng)分比λ的變化；點與圓的不同位置對應(yīng)點到圓心距離的變化；直線與圓的不同位置對應(yīng)圓心到直線的距離；兩圓的位置關(guān)系的變動對應(yīng)兩圓心之間距離與半徑的和差關(guān)系；橢圓上任何一點和兩焦點連線夾角的變化；含參數(shù)的函數(shù)或方程，設(shè)置參數(shù)變化觀察圖象變化等都可以利用對參數(shù)賦值等方法來構(gòu)造數(shù)學(xué)對象的特例，然后連續(xù)變化參數(shù)來變換數(shù)學(xué)對象，經(jīng)過觀察、思考、嘗試、猜想等具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動，來尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，并且試著求證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

人不知道哪里有寶藏，如果知道哪里有寶藏，那怎么挖掘根本不是問題，人有無窮的辦法，不挖掘出來不會罷休。學(xué)生關(guān)鍵是不知道往哪里探究數(shù)學(xué)知識，如果知道探究方向很多定理，公式，性質(zhì)等是可以在老師的引導(dǎo)下，運用所學(xué)的知識逐步推導(dǎo)出來的。教師作為教學(xué)的主導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)引人入勝的問題情境是需要匠心獨運，借助信息技術(shù)制作課件創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，形象直觀的演示數(shù)學(xué)對象，動態(tài)的展現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維。創(chuàng)設(shè)出展現(xiàn)知識的產(chǎn)生、發(fā)展、變化過程的數(shù)學(xué)情境，吸引學(xué)生主動進入學(xué)習情境去感知、理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)的意義，提高課堂效率和效果，既改進教學(xué)方式，也改變學(xué)生的學(xué)習方式。很多老師納悶怎么啟動探究性學(xué)習，以為探究性學(xué)習是要針對繁雜問題。確實，數(shù)學(xué)很多規(guī)律都是隱性的，但是數(shù)據(jù)分布顯示著性質(zhì)，借助信息技術(shù)模擬數(shù)學(xué)實驗，使得數(shù)學(xué)對象的結(jié)果顯性化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)式學(xué)習，學(xué)生經(jīng)常訓(xùn)練觀察、分析現(xiàn)象，進而對比、歸納來數(shù)學(xué)關(guān)系，進而組織探究性學(xué)習，演繹推理結(jié)果. 讓學(xué)生親眼目睹數(shù)學(xué)過程形象而生動的性質(zhì)，親身體驗如何“做數(shù)學(xué)”、如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量，促進數(shù)學(xué)的學(xué)習。這樣的學(xué)習方式，使學(xué)生能夠真正地從事思維活動，并表達自己的理解，而不只是模仿與記憶，極大地鍛煉了學(xué)生獨立分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑、探索、合作的精神品質(zhì)。

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編輯 李 姣