基于多尺度分解的風火儲協(xié)同調(diào)頻控制策略

摘 要：為提升風火兩大主力電源對電網(wǎng)頻率的主動支撐能力，提出一種基于多尺度分解的風火儲協(xié)同調(diào)頻控制策略。首先，考慮風火及儲能參與電網(wǎng)調(diào)頻時的不同響應時間尺度，提出基于小波包分解的頻差指令多尺度分解方法及風火儲分別響應中低高頻差分量的互補匹配方案；提出適應火電調(diào)頻響應特性的頻差指令低頻分量獲取方法，發(fā)展考慮風電有功裕度和儲能容量約束的風儲出力自趨優(yōu)調(diào)配方法，實現(xiàn)風火儲與中低高頻分量的精準對應；針對不同運行工況，提出基于調(diào)頻裕度的風電場聚類分區(qū)方法及風力機有功功率智能調(diào)控方法，提升風電場對電網(wǎng)頻率的主動支撐能力。仿真結(jié)果表明，所提策略能有效實現(xiàn)風火儲聯(lián)合參與一次調(diào)頻，在滿足約束的前提下，充分利用風儲調(diào)頻容量，有效改善系統(tǒng)頻率特性。

關鍵詞：風電并網(wǎng)；電網(wǎng)調(diào)頻；小波包分解；K-均值聚類；協(xié)同互補；自趨優(yōu)調(diào)配

中圖分類號：TM73 文獻標志碼：A

0 引 言

環(huán)境問題日益嚴峻，為減少溫室氣體對環(huán)境的影響，脫碳已成為共識。中國承諾2030年前實現(xiàn)碳達峰，2060年前實現(xiàn)碳中和，即“雙碳”目標［1］。要實現(xiàn)“雙碳”目標，必須構(gòu)建以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)。截至2020年，中國風電累計裝機容量已達281 GW［2］，在電力系統(tǒng)脫碳中占有重要地位。然而，隨著風電滲透率不斷提高，電網(wǎng)面臨系統(tǒng)慣性下降、凈有功波動增加、傳統(tǒng)同步機組調(diào)頻容量不足等一系列問題［3］。因此，風電并網(wǎng)規(guī)模不斷擴大，給電力系統(tǒng)頻率穩(wěn)定帶來嚴峻挑戰(zhàn)［4-5］。

為緩解常規(guī)火電機組占比下降且爬坡速率較低，無法大規(guī)模平移風電功率波動問題［6-7］，《并網(wǎng)電源一次調(diào)頻技術(shù)規(guī)定及實驗導則》［8］要求風電場輸出有功連續(xù)平滑可調(diào)，參與一次調(diào)頻。然而，風電的隨機性影響其調(diào)頻效果，且風電的波動還可能造成電網(wǎng)頻率進一步惡化［9-10］。儲能系統(tǒng)響應速度快、控制靈活，使之成為電網(wǎng)頻率調(diào)節(jié)的有效手段［11-12］。為改善調(diào)頻性能，現(xiàn)有風電場大部分與儲能配合參與一次調(diào)頻［13-15］。因此，傳統(tǒng)火電、風電和儲能作為一個協(xié)調(diào)互補的整體參與一次調(diào)頻，是解決電力系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性的重要途徑之一。

針對含儲能的多源協(xié)調(diào)互補系統(tǒng)參與調(diào)頻問題，國內(nèi)外學者已開展了大量研究工作。為改善風儲系統(tǒng)一次調(diào)頻效果，文獻［16］在維持荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）的基礎上，提出慣性與下垂控制平滑切換的調(diào)頻策略；文獻［17］提出儲能參與電網(wǎng)調(diào)頻的自適應控制策略，同時考慮儲能SOC，并用典型區(qū)域電網(wǎng)進行驗證；文獻［18］利用風儲聯(lián)合系統(tǒng)參與一次調(diào)頻，并以風儲聯(lián)合系統(tǒng)調(diào)頻收益最大化為目標配置儲能容量；文獻［19］從延長儲能壽命的角度使其提供調(diào)頻服務，合理規(guī)劃了SOC恢復策略；文獻［20］針對風電機組轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與電網(wǎng)解耦特點，提出基于模糊邏輯控制的風儲系統(tǒng)協(xié)同運行控制策略，控制對應電網(wǎng)頻率波動的總有功輸出；文獻［21］基于模型預測控制，提出一種風儲系統(tǒng)參與電網(wǎng)一次調(diào)頻的優(yōu)化控制策略來改善系統(tǒng)調(diào)頻效果，并從經(jīng)濟角度實現(xiàn)風儲系統(tǒng)的功率分配。

綜上，目前研究大多集中于調(diào)頻電源的備用容量分配調(diào)頻責任方面。然而，含儲能的多能源協(xié)調(diào)互補參與調(diào)頻的研究方法主要分為兩類：1）依據(jù)調(diào)頻電源的備用容量分配調(diào)頻責任；2）依據(jù)調(diào)頻信號的頻域特征分配調(diào)頻責任［3］，而基于調(diào)頻信號特征分解的調(diào)頻策略研究較少。同時，響應較慢的常規(guī)火電機組在電力系統(tǒng)中仍占主導地位，儲能系統(tǒng)價格昂貴，配置的容量較小，通常是利用其快速響應的能力提供輔助調(diào)頻服務，且儲能應響應頻率波動中的高頻分量，以改善調(diào)頻效果。鑒于此，本文依據(jù)風、火、儲各自響應特性，利用小波包分解把電網(wǎng)頻率偏差在頻域分解為高、中、低3部分，由儲能、風、火電備用響應相應分量，充分發(fā)揮風電和儲能的快速響應能力，和火電機組出力的持久性。同時，依據(jù)儲能SOC、儲能配置和風電場的備用約束，提出風、儲調(diào)頻出力動態(tài)自趨優(yōu)調(diào)配策略。

1 風火儲調(diào)頻模型

1.1 風電調(diào)頻模型

機組參與一次調(diào)頻，需其在任意時刻都有足夠的備用容量。因此，機組偏離其最大功率跟蹤點，工作在減載模式。低于額定轉(zhuǎn)速時，以超速模式進行減載，通過調(diào)整參考轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)，對當前時刻機組輸出功率上限和減載下限之間進行線性近似，則轉(zhuǎn)速增量為：

[Δωref=ΔPiwg（ωmax-ωmin）Piwg-Piwg] （1）

式中：[ωmax]——減載下限對應的轉(zhuǎn)速；ωmin——最大功率對應的轉(zhuǎn)速；[Piwg]——減載下限；[Piwg]——最大輸出功率。

達到額定轉(zhuǎn)速時，需調(diào)整槳距角進行減載，通過設置參考功率來實現(xiàn)。采用GE雙饋異步（doubly fed in duc tion generator，DFIG）風電機組的控制邏輯［22］，其控制邏輯如圖1所示。

1.2 火電機組調(diào)頻模型

再熱式火電機組一次調(diào)頻模型包括：調(diào)速器、汽輪機、轉(zhuǎn)子慣量負荷模型，如圖2所示。圖2中R為下垂系數(shù)，TG為調(diào)速器時間常數(shù)，TCH為主進氣量和蒸氣室時間常數(shù)，TRH為再熱器時間常數(shù)，F(xiàn)HP為高壓缸輸出功率占比，J為慣量時間常數(shù)，D為阻尼系數(shù)，s為拉普拉斯算子，ΔPL為負荷擾動，AGC為自動發(fā)電控制調(diào)度指令。

1.3 儲能調(diào)頻模型

本文采用文獻［23］的控制方式，采用12脈動橋式變換器，等效系統(tǒng)如圖3所示。儲能系統(tǒng)的有功輸出為：

[Pbes=36πEtIbes（cosα1+cosα2）] （2）

式中：[α1]——[Y]連接橋式變換器觸發(fā)角；[α2]——[]連接橋式變換器觸發(fā)角；Et——儲能系統(tǒng)線電壓；Ibes——儲能系統(tǒng)輸出電流。當[Y]連接和[]連接橋式變換器觸發(fā)角相等且為[α0]時，即[α1=α2=α0]，對式（2）進行泰勒級數(shù)展開，僅保留一階微分項，并記及控制環(huán)路時延，則得到儲能系統(tǒng)動態(tài)模型為：

[ΔPbes=-ΔPbesTb+ΔPbTb] （3）

式中：[ΔPb]——儲能系統(tǒng)出力指令；[Tb]——儲能系統(tǒng)時間常數(shù)。

2 風火儲協(xié)同調(diào)頻控制方案

電源參與調(diào)頻的目標是維持電力系統(tǒng)頻率處于正常水平。隨著規(guī)?；▌有孕履茉吹牟⒕W(wǎng)，系統(tǒng)頻差呈現(xiàn)出多樣化、復雜化等特征，對機組的調(diào)頻性能提出更高要求。然而，不同類型的電源適應頻差信號的性能不同：比如火力發(fā)電具有調(diào)頻性能可靠、穩(wěn)定但調(diào)節(jié)速度相對較慢的特點，其更適合變化緩慢的低頻信號；風力發(fā)電具有調(diào)頻速度快，但其可持續(xù)性弱易引發(fā)二次跌落，可在一定范圍內(nèi)平抑中、低頻波動；儲能具有響應速度快、可適應最高頻的頻差信號。根據(jù)上述特征，可將頻差信號分解為一系列帶寬相同、中心頻率不同的分量（多尺度分解），并根據(jù)風火儲的響應特性確定各自承擔的頻率分量，實現(xiàn)多能源的協(xié)同互補與快速響應（自趨優(yōu)調(diào)配），如圖4所示。

2.1 頻差指令的多尺度分解

小波包分解利用小波信號作為濾波器，對給定信號在時域和頻域進行分解，分解為一系列帶寬相同，中心頻率不同的信號分量，如圖5所示，其中[n]為分解層數(shù)，[S（n，][0）]為最低頻分量。

根據(jù)風火儲各自參與電網(wǎng)調(diào)頻時的不同響應時間尺度，將頻差指令分解為低中高3段，其中各頻段中節(jié)點的數(shù)量由火電機組的響應時間確定，使火電機組對應的低頻分量與小波包分解的分辨率相等，即低頻段僅有一個節(jié)點。中高頻段的節(jié)點數(shù)量由風儲各自的響應時間確定。小波包分解后，各節(jié)點分量對應的頻率如圖6所示，[f0]為分辨率：

[f0=fs2n+1] （4）

最低頻分量[S（n，][0）]由火電承擔，而火電機組的響應帶寬由響應時間決定：

[fth=0.35Tth] （5）

因此要滿足[f0≤fth]，由此可得小波包分解層數(shù)最小為：

[n=INT（log2Tth+log2fs-log20.35）] （6）

式中：[fs]——采樣頻率；[Tth]——火電機組階躍響應的上升時間；[fth]——火電機組帶寬；INT（·）——取整。

2.2 風火儲出力自趨優(yōu)調(diào)配方法

2.2.1 目標出力分配

根據(jù)分解層數(shù)[n]，在[t]時刻對緩存中的數(shù)據(jù)進行小波包分解，則：

[Δft=Δft0+i=1MΔfti+i=M+12n-1Δfti=ΔftL+ΔftM+ΔftH] （7）

則[t]時刻風電場出力增量為：

[ΔPwf=-kwfΔftM] （8）

式中：[kwf]——風電場調(diào)頻增益；[ΔftM]——分配給風電場的調(diào)頻信號，其節(jié)點的數(shù)量根據(jù)風電場響應時間得到，即：

[M=0.352n+1Twfs] （9）

式中：[Tw]——風電機組響應時間?；痣姍C組出力增量為：

[ΔPth=-Δft0R] （10）

式中：[ΔftL]——分配給火電機組的調(diào)頻信號；儲能系統(tǒng)出力增量為：

[ΔPb=-kbΔftH] （11）

式中：[kb]——儲能系統(tǒng)調(diào)頻增益；[ΔftH]——分配給儲能系統(tǒng)的調(diào)頻信號。

2.2.2 考慮約束的風儲協(xié)同調(diào)配

風電場和儲能系統(tǒng)參與調(diào)頻時功率增量受到各自配置的制約，因此需根據(jù)各自約束調(diào)配出力。風電場參與調(diào)頻時工作在減載模式，向上最大調(diào)頻出力增量和向下最大調(diào)頻出力增量不同［24］，向上最大增量為：

[ΔPuwf=δuPnwf] （12）

向下最大增量為：

[ΔPlwf=δlPnwf] （13）

因此，風電場輸出功率的約束為：

[-ΔPlwf≤ΔPwf≤ΔPuwf] （14）

式中：[ΔPwf]——風電場輸出功率增量；[Pnwf]——風電場額定功率；[δl]——向下備用率；[δu]——向上備用率。

儲能系統(tǒng)包括輸出功率和SOC約束兩個方面，輸出功率的約束為：

[-Pnes≤ΔPes≤Pnes] （15）

SOC約束為：

[δlSOC≤δSOC（t）≤δuSOC] （16）

式中：[δSOC（t）]——儲能系統(tǒng)工作過程中SOC隨時間的變化，表達式為：

[δSOC（t）=δSOC（t-1）-13600t-1tηΔPesEesdt] （17）

式中：[Pnes]——儲能系統(tǒng)額定功率；[δlSOC]——SOC下限；[δuSOC]——SOC上限；Ees——儲能系統(tǒng)最大容量；η——充放電系數(shù)。合并式（15）～式（17）可得當前t時刻儲能系統(tǒng)輸出功率的約束為：

[Ptles≤ΔPes≤Ptues] （18）

式中：[Ptles]——[t]時刻儲能輸出功率的下限；[Ptues]——[t]時刻儲能輸出功率的上限。上、下限分別為：

[Ptues=min3600δSOC（t-1）-δlSOCEesηTs，Pnes] （19）

[Ptles=max3600δSOC（t-1）-δuSOCEesηTs，-Pnes] （20）

式中：Ts——采樣間隔。

風、儲滑動平移策略為：首先，判斷儲能出力是否滿足式（18）約束，滿足約束則不調(diào)整；若不滿足，則儲能系統(tǒng)的調(diào)配策略為，依據(jù)小波包分解的節(jié)點編號，逐漸從小到大的方向減少[ΔfH]中分量的數(shù)量，直至滿足儲能輸出功率約束或不響應頻率偏差的高頻分量，與此相反，風電場暫時承擔儲能系統(tǒng)舍棄的分量，如圖7所示。

其次，判斷風電場出力是否滿足約束，滿足則不調(diào)整；若不滿足，則風電場出力調(diào)整策略為：判斷儲能出力是否還留有余量，若留有余量，則依據(jù)小波包分解的節(jié)點編號，逐漸從大到小的方向減少[ΔfM]中分量的數(shù)量，舍棄的分量由儲能承擔；若儲能無余量或調(diào)整過程中達到額定值，則依據(jù)小波包分解的節(jié)點編號，逐漸從小到大的方向減少[ΔfM]中分量的數(shù)量，直至滿足風電場備用約束或不響應頻率偏差的中頻分量，舍棄的分量由火電機組承擔，如圖8所示。最后，更新風電場和儲能系統(tǒng)的出力參考值，基于小波包分解的風火儲系統(tǒng)協(xié)同調(diào)配流程圖如圖9所示。

3 風電場出力分配策略

風電場需根據(jù)調(diào)頻功率下發(fā)指令至各機組。大型風電場中由于機組位置、周遭環(huán)境等不同，實際運行工況存在較大差異，在調(diào)整機組輸出功率時需考慮這些差異。同時，由于機組數(shù)量龐大，對每臺機組進行優(yōu)化控制計算量較大。因此，需對風電場進行分區(qū)，并根據(jù)分區(qū)情況調(diào)整機組出力，如圖10所示。

3.1 基于調(diào)頻裕度的風電場分區(qū)

相較于以風速分組，本文以機組上下備用容量[ΔPl，iwg]和[ΔPu，iwg]為變量來分組。機組備用各劃分為3檔，如圖11所示，最大分為9組。然而，任意時刻風電場內(nèi)的機組并不可能占滿整個空間，因此為減少計算量，根據(jù)機組備用分布情況，提出變分組[K-]均值聚類方法，即，若圖11對應分組范圍內(nèi)機組為空，則去掉相應范圍，減少分組數(shù)量。

用向量[xi=[ΔPl，iwg， ΔPu，iwg]]表示機組[i]的備用情況，采用歐式距離，則分組聚類的目標函數(shù)為：

[minz=p=1kx∈Spx-Cp2] （21）

式中：[Cp]——組[p]的質(zhì)心；[k]——分組數(shù)。質(zhì)心表達式為：

[Cp=x∈SpxNp] （22）

式中：[Sp]——分組p；[Np]——分組[p]中元素數(shù)量。變分組[K]均值聚類算法步驟為：

1）根據(jù)風電場中機組備用分布范圍確定分組數(shù)k，圖11分組示意圖中各分組的質(zhì)心作為初始聚類中心。

2）計算在給定數(shù)據(jù)聚類中心與各機組之間的歐式距離：

[d（i，p）=xi-Cp2] （23）

3）將機組歸類到與其歐式距離最近的分組中。

4）依據(jù)式（22）計算新的聚類中心。

5）重復步驟2）～步驟4），直到分組不變，或達到最大迭代次數(shù)。

3.2 機組出力分配策略

聚類分組之后，風電場等效為以質(zhì)心為備用均值的k臺機組，根據(jù)[ΔPwf]大小和方向調(diào)整各分組的出力增量，參照圖11，若需減小出力，則分組出力調(diào)整優(yōu)先順序為：從下到上，從右到左；若需增加出力，則分組出力調(diào)整優(yōu)先順序為；從上到下，從右到左。參與出力調(diào)整的分組出力增量的疊加應與分配給風電場的調(diào)頻功率相等，即：

[ΔPwf=p∈QNpΔPp，1，ΔPwf≤0p∈QNpΔPp，2，ΔPwfgt;0] （24）

式中：[Q]——出力調(diào)整分組編號的集合；[ΔPp，1]——分組[p]減少出力均值；[ΔPp，2]——分組[p]增加出力均值。機組出力根據(jù)其備用容量占比來確定：

[ΔPiwg=ΔPl，iwgCp，1ΔPp，1，ΔPwf≤0ΔPu，iwgCp，2ΔPp，2，ΔPwfgt;0] （25）

4 算例分析

4.1 仿真系統(tǒng)介紹

為驗證本文所提風火儲多能源協(xié)調(diào)參與電網(wǎng)一次調(diào)頻的有效性，在Matlab平臺進行仿真實驗，儲能系統(tǒng)的額定功率根據(jù)實際運行經(jīng)驗選取為基值的3%［25］。因此風火儲系統(tǒng)配置為：一個600 MW的火電廠，風電場裝機容量為150 MW，含100臺1.5 MW的DFIG 機組，向上備用為10%，向下備用為20%，儲能系統(tǒng)額定功率為18 MW，額定容量為36 MWh。常規(guī)火電機組出力響應時間為30 s，風電機組響應時間為12 s［24］。

4.2 風火儲系統(tǒng)調(diào)頻策略驗證

該部分驗證圖4所示調(diào)頻策略的有效性。施加10%的階躍負荷擾動時，系統(tǒng)的頻率響應和系統(tǒng)出力如圖12所示。由圖12a可知，火電機組配以風儲能顯著改善火電的響應特性，頻率偏差由單獨火電機組響應時的-0.5890 Hz提高到-0.4681 Hz，改善了約20%。由圖12b可知，儲能響應頻差信號中的高頻分量，風電場響應頻差信號中的中頻分量，頻差信號穩(wěn)定后儲能和風電場輸出功率回歸到初始狀態(tài)。圖12c顯示，在負荷階躍初期，風儲依靠自身的快速響應特性為電網(wǎng)提供快速支撐，改善電網(wǎng)功率不匹配情況，后期的反向震蕩，抵消了火電機組出力的過沖，改善頻差信號的反向過沖，使整體響應更平滑，不改變穩(wěn)態(tài)值。

4.3 兩區(qū)域互聯(lián)電網(wǎng)仿真分析

以兩區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)進行仿真，以驗證本文所提方法對兩區(qū)域互聯(lián)電網(wǎng)頻率偏差改善情況。在區(qū)域1施加隨機負荷和考慮風電場輸出功率的波動，如圖13所示。根據(jù)風場內(nèi)機組備用分布情況，設置分組數(shù)為3。各分組的出力如圖14所示，按備用容量的大小，逐次分配各分組的調(diào)頻功率?？梢?，分組之后減少了工作點調(diào)整的機組數(shù)量，避免了所有機組進行工作點調(diào)整。

兩區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)的動態(tài)響應如圖15所示。由圖15a可見，使用本文所提方法，區(qū)域1的頻率偏差波動更加平滑，峰值明顯減小，正向波動峰值從0.1923 Hz減小到0.1512 Hz，改善了約22%，負向波動峰值從-0.1374 Hz提高到-0.1255 Hz，改善了約10%。從圖15b可知，區(qū)域2的頻率偏差為10-2數(shù)量級，區(qū)域2的機組基本上不會動作，區(qū)域1擾動引起的有功不匹配，完全由區(qū)域1的機組調(diào)整出力響應，這正是多區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)的負荷頻率控制的目的所在。

5 結(jié) 論

隨著規(guī)?；▌有孕履茉吹牟⒕W(wǎng)，系統(tǒng)頻差呈現(xiàn)出多樣化、復雜化等特征，對機組的調(diào)頻性能提出更高的要求。本文以風、火、儲多能源協(xié)調(diào)參與一次調(diào)頻為研究對象，提出基于多尺度分解的風火儲協(xié)同調(diào)頻控制策略，改善風火兩大主力電源對電網(wǎng)頻率的主動支撐能力。主要結(jié)論如下：

1）為充分發(fā)揮風火儲各自的功效，根據(jù)風火及儲能各自特性和并網(wǎng)容量等實際情況，提出利用小波包分解頻差指令的多尺度分解方法及使風火儲分別響應中低高頻差分量的互補匹配方案。仿真結(jié)果表明，該方法能顯著改善常規(guī)火電機組對頻率偏差的響應能力，改善了約20%。

2）依據(jù)火電機組響應的時間特性，提出適應火電調(diào)頻響應特性的頻差指令低頻分量獲取方法。同時，根據(jù)風電有功裕度和儲能容量約束，提出風儲出力自趨優(yōu)調(diào)配方法，使得風火儲根據(jù)自身備用情況精確匹配到合適的中低高頻分量，在滿足自身約束的前提下，有效改善電網(wǎng)頻差波動。

3）針對不同運行工況，提出基于調(diào)頻裕度的風電場聚類分區(qū)和風機有功出力調(diào)控方法，在滿足調(diào)頻功率的前提下，減少了操縱機組的數(shù)量，提升了風電場對電網(wǎng)頻率的主動支撐能力。

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COOPERATIVE FREQUENCY REGULATION CONTROL STRATEGY OF WIND-THERMAL-STORAGE SYSTEM BASED ON

MULTI-SCALE DECOMPOSITION

Chen Peng1，Wang Wei1，Yang Jianqing2，F(xiàn)ang Fang1， Guo Jinlong2

（1. School of Control and Computer Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China；

2. State Grid Xinjiang Integrated Energy Service Company Limited， Urumqi 830011， China）

Abstract：To improve the active support ability of the two major power of wind and thermal to the grid frequency， a cooperative frequency regulation control strategy of wind-thermal-storage based on multi-scale decomposition is proposed. Firstly， considering the different response time scales of wind power， thermal， and energy storage participating in the frequency regulation of power grid， a multi-scale decomposition method of frequency deviation command based on wavelet packet decomposition and a complementary matching scheme of wind-thermal-storage responding to medium， low， and high frequency components are proposed. Then， the low frequency component acquisition method of frequency deviation is proposed to adapt to the response characteristics of thermal power. And considering the constraints of active power reserve of wind farm and energy storage capacity， the self-optimal distribution method of output power of wind farm， thermal， and storage is developed to realized accurate match between wind power， thermal， and storage and medium， low， and high frequency components. Furthermore， according to different operating conditions， the cluster grouping method of wind farms based on active power reserve and intelligent distribution method of active power of wind turbines are proposed to improve the active support ability of wind farms to power grid frequency. Finally， simulation results show that the proposed strategy can effectively realize the participation of the wind-thermal-storage in primary frequency regulation， and make full use of the wind power and storage frequency regulation capacity to effectively improve the frequency characteristics of the system on the premise of meeting the constraints.

Keywords：wind power integration； electric frequency regulation； wavelet decomposition； K-means clustering； cooperation and complementarity； self-optimizing distribution