二次函數(shù)的教學(xué)

二次函數(shù)是初中代數(shù)教材中最重要、最豐富的內(nèi)容之一，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。二次函數(shù)在初中函數(shù)的教學(xué)中有重要地位，是同學(xué)們感覺較難的一部分內(nèi)容，同時(shí)它又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。因此學(xué)好這部分內(nèi)容顯得尤為重要。那怎樣才能學(xué)好這部分的內(nèi)容呢？下面談?wù)勎覀€(gè)人的一些看法。

一 正確理解二次函數(shù)的概念

對(duì)概念的理解是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。如果概念不清，就會(huì)思維混亂，計(jì)算、推理發(fā)生錯(cuò)誤。不少學(xué)生只是形式地掌握和記憶概念，因此在運(yùn)用時(shí)不是產(chǎn)生錯(cuò)誤，便是對(duì)有關(guān)題目無(wú)從下手。例如：已知函數(shù)y=（k-3）x k 2-3k+2是二次函數(shù)，那么k的值為____。不少同學(xué)是這樣解的：因?yàn)閗 2-3k+2=2，所以k=0或k=3，但沒有注意到當(dāng)k=3時(shí)，二次項(xiàng)的系數(shù)k-3=0，這時(shí)，y就不是x的二次函數(shù)。只有概念清楚才能得到正確的結(jié)果：k=0。因此，正確理解概念是非常重要的。

二 熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)的形成起著推動(dòng)作用。二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像有著密切的關(guān)系，借助圖像可直觀地認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)也可確定二次函數(shù)圖像的大致位置。它們是數(shù)形結(jié)合的思想在研究、解決問題時(shí)的具體體現(xiàn)。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，知道了它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸之后，就可以畫出它的草圖。根據(jù)圖像，學(xué)生能較直觀地看出二次函數(shù)的增減性。二次函數(shù)y的圖像是由a、b、c的值共同決定的。知道了a、b、c取值范圍就可畫出二次函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像也可以判斷a、b、c的取值范圍。另外，高中所學(xué)的一元二次不等式的解集，正是利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到的。因此，掌握好二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是非常必要的。

三 要能根據(jù)給定的條件確定二次函數(shù)的解析式

這是二次函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)。因?yàn)樗粌H有利于鞏固二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且在求解的過程中，廣泛地綜合運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形、實(shí)數(shù)運(yùn)算、方程和方程組的解法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等。因此，求二次函數(shù)的解析式也是綜合復(fù)習(xí)初中代數(shù)的極好機(jī)會(huì)。學(xué)習(xí)中應(yīng)予以重視。求二次函數(shù)的解析式，是我們常見的題型，它解題的思路廣、靈活性大。思考時(shí)要通過對(duì)已知條件的分析，確定選用哪種表達(dá)形式。一般情況下，當(dāng)圖像過任意三點(diǎn)時(shí)，應(yīng)選用一般式；已知拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，應(yīng)選用頂點(diǎn)式；已知圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)選用兩根式。

例如：求滿足下列條件的二次函數(shù)解析式。（1）一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過（0，0）、（1，-3）、（2，-8）。（2）拋物線圖像的頂點(diǎn)為（-2，3），且經(jīng)過（1，-6）。（3）拋物線與x軸交于點(diǎn)（-2，0）和（1，0），與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是9。

在解這道題時(shí)，第一小題宜用一般式，第二小題宜用頂點(diǎn)式，第三小題宜用兩根式。

四 理解二次函數(shù)與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系

結(jié)合函數(shù)、坐標(biāo)軸求三角形面積的試題，是各次考試中經(jīng)常出現(xiàn)的。此種題目在解題時(shí)就常用到二次函數(shù)與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，可以無(wú)限延長(zhǎng)。因此，它與y軸總有交點(diǎn)，由交點(diǎn)坐標(biāo)可以判斷解析式中常數(shù)項(xiàng)的值。由二次函數(shù)與x軸之間的關(guān)系，可以判斷一元二次方程的根的情況。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生不容易理解，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合圖像使學(xué)生理解一元二次方程的解即為二次函數(shù)當(dāng)y=0時(shí)的坐標(biāo)。

五 二次函數(shù)圖像的平移問題

二次函數(shù)圖像的平移，必然引起頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化，從而解析式也發(fā)生變化。但平移后與平移前的圖像形狀不變，因而解析式的二次項(xiàng)系數(shù)不變。左右平移時(shí)，對(duì)稱軸發(fā)生改變，頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)隨之發(fā)生改變；上下平移時(shí)，對(duì)稱軸不變，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，只有縱坐標(biāo)改變。在進(jìn)行此知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)時(shí)，教師可結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)式與二次函數(shù)的圖像讓學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)的平移問題。如果能結(jié)合多媒體進(jìn)行教學(xué)，效果將會(huì)更加理想。

六 會(huì)解與二次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題

與二次函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題一般有兩類：（1）應(yīng)用二次函數(shù)解析式的一般性質(zhì)，求拋物線上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）應(yīng)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)性質(zhì)求最值。在實(shí)際問題中，建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，建立函數(shù)式是解決問題的關(guān)鍵。這需要有一定的將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題之后，又需要較強(qiáng)的計(jì)算、分析能力。涉及二次函數(shù)的計(jì)算具有一定的綜合性：列式涉及方程或方程組；運(yùn)算涉及整式、分式、根式的性質(zhì)；有些運(yùn)算結(jié)果要仔細(xì)檢查，根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行取舍。這是二次函數(shù)中最難的問題。下面舉例說明：

例1：心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念的時(shí)間x（分）之間滿足關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越強(qiáng)。（1）x在____范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增加；x在____范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低。（2）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是____；____分鐘時(shí)學(xué)生的接受能力最強(qiáng)。

分析：此題正是應(yīng)用二次函數(shù)解析式的一般性質(zhì)，判斷二次函數(shù)的增減性以及拋物線上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。

例2：華聯(lián)商場(chǎng)以每件30元購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)y=162-3x；（1）寫出商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)w（元）與每件的銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果商場(chǎng)要想獲得最大利潤(rùn)，每件商品的銷售價(jià)定為多少元最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

分析：此題是應(yīng)用二次函數(shù)的最值性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際生活中的營(yíng)銷問題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式，然后應(yīng)用二次函數(shù)的最值性質(zhì)求出最大銷售利潤(rùn)。

二次函數(shù)是函數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)，必須學(xué)好?？伤质请y點(diǎn)，學(xué)生學(xué)起來(lái)很困難。這就需要教師在教學(xué)時(shí)掌握一定的技能技巧，讓學(xué)生愉快、輕松地學(xué)好二次函數(shù)。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕