初中數(shù)學(xué)課本例題的引申討論

在數(shù)學(xué)課的教學(xué)過(guò)程中例題教學(xué)是重要的環(huán)節(jié)之一。它是對(duì)所學(xué)概念、法則、規(guī)律（性質(zhì)）的綜合運(yùn)用。在教學(xué)中我們不但要重視它本身的教學(xué)，而且要重視它與其他知識(shí)的聯(lián)系。如在已知條件改變的情況下結(jié)論是否還成立；或已知條件不變的情況下是否有其他結(jié)論成立等等。我們將其叫做例題的引申。例題的引申對(duì)我們的教學(xué)、課研，培養(yǎng)學(xué)生的思維和創(chuàng)新能力具有很大的作用。下面我就例題的引申做一些粗淺的探討。

例題的組成都是由已知條件、求解結(jié)論、求解過(guò)程（解法）三部分組成，所以它的引申可以從這三部分入手。

第一，已知條件的引申，我們可將已知條件增減、圖形變換（特殊圖形變?yōu)橐话慊蚍粗??？丛谧兓蠼Y(jié)論、解法將有何變化，并找出這些變化之間的內(nèi)在聯(lián)系，得出規(guī)律。例如，已知 ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F。求證：四邊形AFCE是菱形。如圖1。

因?yàn)閳D1在證明過(guò)程中只用到了AD∥BC這個(gè)條件，所以如果將“已知 ABCD的對(duì)角線AC”改成“梯形ABCD的對(duì)角線AC”，那么此結(jié)論仍然成立，如圖2。還可以改為一般四邊形ABCD，在附加條件AD∥BC也可以，如圖2。

第二，結(jié)論引申，在已知條件不變的情況下，我們不但可得出這個(gè)結(jié)論，還可得出一“副產(chǎn)品”。這些“副產(chǎn)品”對(duì)解題、學(xué)習(xí)都有很大的幫助。例如，求證等腰梯形的對(duì)角線相等。如圖3，由△ABC≈△DCB，不但可得AC=BD，還可得∠1=∠2，再由∠1=∠2 ∠3=∠4 OA=OD且OB=OC，△OAD、△OBC為等腰三角形。再如，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓⊙O的直徑，求證AB*AC=AD*AE。如圖4拋開(kāi)證明，將結(jié)論變形得AE=

，它可以作為三角形外接圓直徑（半徑）的求法，

（三角形外接圓的直徑等于任意兩邊之積除以第三邊上的高的商，此結(jié)論在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中都成立）。

再如圖5，證梯形ABCD的中位線的性質(zhì)時(shí)作輔助線將它轉(zhuǎn)化為△ABM的中位線，此時(shí)不但能得到EF= BM= （BC+AD），還可得到S△ADF=S△FCM（△ADF≌△MCF），以及S梯形ABCD=S△ABM，S△AEF= S△ABM= S梯形ABCD，S△ABF= S△ABM= S梯形ABCD。

第三，解法引申，它就是經(jīng)常說(shuō)的一題多解。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力、解題能力具有不可低估的作用。如在解決梯形的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常要做輔助線。而輔助線不外于有a.過(guò)上底兩頂點(diǎn)做兩條高，將梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的有關(guān)問(wèn)題。b.過(guò)上底的頂點(diǎn)做一腰的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形與三角形的有關(guān)問(wèn)題。c.延長(zhǎng)下底，過(guò)上底一個(gè)頂點(diǎn)做一對(duì)角線的平行線。d.連接上底頂點(diǎn)和另一腰上的中點(diǎn)并延長(zhǎng)于下底的延長(zhǎng)線相交。如圖6～圖9四種情況。

解法引申時(shí)還要注重已知條件與求解結(jié)論的轉(zhuǎn)化，使兩者相象、相近，具有一定的必然的聯(lián)系，從而快速簡(jiǎn)潔地求出結(jié)果。如已知x= ，y= ，求3x2-5xy+3y2

值，學(xué)生通常是將x、y直接代入求值，這樣運(yùn)算量大，容易出錯(cuò)。我們?nèi)魧⒁阎D(zhuǎn)化為：x= ，y= ，x+y=10，xy=1。再將3x2-5xy+3y2轉(zhuǎn)化為3（x+y）2-11xy。此時(shí)代入x+y，xy得原式=3×102-11×1=289。

反例引申，學(xué)生在解題過(guò)程中，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)、理解不足會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，很多時(shí)候?qū)﹀e(cuò)誤糾正起來(lái)效果不佳，有時(shí)正確例子的效果不如反面例子的效果。若教學(xué)時(shí)適當(dāng)增加一些反例，然后剖析反例產(chǎn)生的原因、發(fā)展過(guò)程，并進(jìn)行改寫(xiě)，能加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解。如學(xué)無(wú)理數(shù)時(shí)，課本舉了這樣一些數(shù)： ……它們的特點(diǎn)是值都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，但學(xué)生往往認(rèn)為無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡或帶根號(hào)的數(shù)。這樣的結(jié)論是錯(cuò)誤的，我們可舉反例：如 雖帶根號(hào)，但它是有理數(shù)。π、e這樣的無(wú)理數(shù)不是由開(kāi)方產(chǎn)生的。通過(guò)這些例子來(lái)加深學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。反例引申的例子在認(rèn)識(shí)假命題中也常常用到。建議大家在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多思考、多總結(jié)、多引申。

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕