基于遺傳算法的錐齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)

摘 要：針對(duì)錐齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)過(guò)程中存在的問(wèn)題，建立了錐齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。以錐齒輪體積和最小為目標(biāo)函數(shù)，考慮齒面接觸和齒根彎曲強(qiáng)度等多方面的約束條件，使其滿足承載能力。并采用懲罰算法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，從可行域外部逐漸逼近最優(yōu)解，利用MATLAB軟件編寫(xiě)錐齒輪傳動(dòng)遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)程序。繪制出各代最佳適應(yīng)度平均值線圖來(lái)描述遺傳過(guò)程的搜索過(guò)程，從而為錐齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：遺傳算法；錐齒輪傳動(dòng)；優(yōu)化設(shè)計(jì)；懲罰算法；可行域；承載能力

錐齒輪傳動(dòng)轉(zhuǎn)速范圍較大、承載能力較強(qiáng)，因此被廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械傳動(dòng)設(shè)備。對(duì)錐齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，減小其質(zhì)量和體積，延長(zhǎng)使用壽命在其設(shè)計(jì)過(guò)程中非常重要。但是按照錐齒輪設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)系列方法不能夠很好地解決目前的問(wèn)題。由于錐齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是混合了離散變量的非線性優(yōu)化問(wèn)題，遺傳算法（簡(jiǎn)稱GA）借鑒生物進(jìn)化過(guò)程自然選擇與遺傳機(jī)制，使問(wèn)題的解不斷改進(jìn)的一種智能搜索算法，具有廣泛的適應(yīng)性，尤其適合處理復(fù)雜參數(shù)和非線性優(yōu)化問(wèn)題。因此，遺傳算可以應(yīng)用于錐齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

一、錐齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立

1.建立目標(biāo)函數(shù)

由于錐齒輪的體積大小直接影響到加工和裝配，為了使結(jié)構(gòu)更加緊湊，減小齒輪重量，節(jié)約生產(chǎn)材料和成本，因此選用錐齒輪體積之和作為設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)f（x）=■■·？追RR式中：da1——小錐齒輪齒頂圓直徑；

da1——大錐齒輪齒頂圓直徑；

？茁m——齒寬中心螺旋角；

R——錐齒輪外錐距；

？追R——齒寬系數(shù)；

Rm——錐齒輪的平均錐距。

2.確定設(shè)計(jì)變量

錐齒輪傳動(dòng)的獨(dú)立變化參數(shù)有小錐齒輪齒數(shù)Z，大端模數(shù) m，齒寬系數(shù)？追R，中點(diǎn)螺旋角？茁m。故取設(shè)計(jì)變量為：x=（？茁m，Z1，m，？追R）T=（x1，x2，x3，x4）T

3.建立約束條件

（1）齒面接觸強(qiáng)度約束

計(jì)算接觸應(yīng)力？滓H與許用接觸應(yīng)力[？滓H]之間的關(guān)系：

g1（x）=[？滓H]/？滓H-1≥0

g1（x）=[？滓H]/■-1≥0

T1=9550■

（2）齒根彎曲強(qiáng)度約束

齒輪的計(jì)算彎曲應(yīng)力？滓F與許用彎曲應(yīng)力[？滓F]之間的關(guān)系

g2（x）=[？滓F]/？滓F-1≥0

g2（x）=[？滓F]/（■）3■-1≥0

m——錐齒輪的模數(shù)；u——齒數(shù)比；

K——齒輪安全系數(shù)；YFS——錐齒輪齒形系數(shù)；

（3）設(shè)計(jì)變量的邊界條件

①齒輪中點(diǎn)螺旋角的上、下限約束條件

15°≤？茁m≤40°

②小錐齒輪的齒數(shù)約束條件

13≤Z1≤Z1max

③齒輪模數(shù)約束條件

2≤m≤8

④齒寬系數(shù)約束條件

0.25≤？追R≤0.3

由以上可得錐齒傳動(dòng)的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型為：

x（？茁m，Z1，m，？追R）T=（x1，x2，x3，x4）Ts.t.gi（x）≤0 i=1，2，3，4…xjmin≤xj≤mjmax

（4）適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造

外點(diǎn)懲罰函數(shù)法是常用的一種懲罰函數(shù)方法，其基本的原理是將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為等價(jià)參數(shù)目標(biāo)函數(shù)，即？準(zhǔn)（x，r1（K），r2（K））=f（x）+r1（k）■G[gm（x）]+r2（K）■H[hn（x）]式子中：用G[gm（x）]=min[0，gm（x）]2來(lái)定義全域，當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，有g(shù)m（x）≥0懲罰函數(shù)不受懲罰，否則gm（x）<0，懲罰函數(shù)受懲罰。r1（K）和r2（K）為在優(yōu)化的過(guò)程中隨著迭代次數(shù)K的增大而在不斷變化的參數(shù)，即懲罰因子?？梢?jiàn)，外點(diǎn)懲罰函數(shù)就是將懲罰函數(shù)在可行域的外部逐漸逼近要求約束問(wèn)題的最優(yōu)化解的過(guò)程，按照該方法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)。

v（x）=f（x）+p（x）

式中：x——染色體；

f（x）——目標(biāo)函數(shù)；

p（x）——懲罰項(xiàng)。

本文錐齒輪優(yōu)化目標(biāo)為體積和最小，相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)為：

當(dāng)x可行時(shí)p（x）=0

當(dāng)x不可行時(shí)p（x）=-r1[g（x）]2-r2[g2（x）]2<0

取錐齒輪齒面的接觸懲罰因子r1=1，彎曲條件的懲罰因子r2=0.5

二、程序與仿真結(jié)果

1.錐齒輪遺傳優(yōu)化算法框圖

■

圖1 錐齒輪遺傳算法程序框圖

Fig.1 Bevel gear genetic algorithm block diagram.

2.優(yōu)化設(shè)計(jì)適應(yīng)度M-文件

定義適應(yīng)度函數(shù)M-文件

function[sol，y]=GA_mp（sol，options）

%設(shè)計(jì)變量；中點(diǎn)螺旋角x（1）；小錐齒輪齒數(shù)z=x（2）；大端模數(shù)m=x（3）；齒寬系數(shù)x（4）。

x（1）=sol（1）；x（2）=sol（2）；x（3）=sol（3）；x（4）=sol（4）；

%目標(biāo)函數(shù)

u=3；%齒數(shù)比

ha=1；%齒高系數(shù)

d1=x（2）*x（3）/2；%小錐齒輪分度圓直徑

d2=u*d1；%大錐齒輪分度圓直徑

R=d1*sqrt（1+u^2）；%外錐距

Rm=R*（1-0.5*x（4））；%平均錐距

da1=（x（2）+2*ha）*x（3）；%小錐齒輪齒頂圓直徑

da2=（x（1）*u+2*ha）*x（3）；%大錐齒輪齒頂圓直徑

f=pi/4*x（4）*R*（Rm/R）^2*（da1+da2）^2/cos（x（1）*pi/360）；%目標(biāo)函數(shù)體積

%以某種型號(hào)錐齒輪減速器為例，設(shè)置初始種群

bounds=[15 45；13 17；2 10；0.25 0.3]；

initPop=initializega（50，bounds，'A_mp'，[]）；

K=1.5；T1=45.1；u=3；

3.優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

****錐齒輪傳動(dòng)遺傳算法最優(yōu)解*****

中點(diǎn)螺旋角： β=18.7282

小齒輪齒數(shù)： z1=18.7282

齒輪的模數(shù)： m=2.0000 mm

齒寬系數(shù)： ψ=0.2500

錐齒輪體積： V=164768.5135 mm^3

經(jīng)過(guò)運(yùn)算確定小齒輪的齒數(shù)：z1=19

模數(shù)：m=2

齒形系數(shù)：ψ=0.25

****湊整解性能約束值****

齒面接觸強(qiáng)度約束函數(shù)值

g1y=595.7808 Mpa

齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值

g2y=248.7019 Mpa

此時(shí)在滿足承載能力的條件下，最小體積為V=164768.5135 mm^3，充分節(jié)省材料成本。

4.適應(yīng)度函數(shù)線圖

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圖2 錐齒輪遺傳算法優(yōu)化過(guò)程圖

Fig.2 Bevel Gear genetic algorithm optimization process diagram.

本文建立了錐齒輪傳動(dòng)過(guò)程中多維非線性約束的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，通過(guò)懲罰函數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，利用Matlab中的遺傳算法工具箱編程計(jì)算得到了錐齒輪傳動(dòng)的體積和最優(yōu)解，同時(shí)繪制出遺傳過(guò)程中個(gè)代適應(yīng)度平均值線圖，更直觀地描繪出遺傳算法的搜索過(guò)程，從而為錐齒輪傳動(dòng)減速器的設(shè)計(jì)過(guò)程中節(jié)約金屬材料，縮短研發(fā)周期，降低生產(chǎn)成本提供了理論參考和借鑒。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭仁生.機(jī)械工程設(shè)計(jì)分析和Matlab應(yīng)用[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2012-03：97-305.

[2]羅潘，梁尚明，蔣立茂，等.基于多目標(biāo)遺傳算法的弧齒錐齒輪多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012（08）：6-8.

[3]梁華琪.弧齒錐齒輪傳動(dòng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].現(xiàn)代機(jī)械，2005（01）：18-19.

[4]劉光磊，樊紅衛(wèi)，谷霽紅.一種弧齒錐齒輪傳動(dòng)性能優(yōu)化方法[J].航空學(xué)報(bào)，2010，31（08）：1680-1687.

[5]杜海霞.基于遺傳算法的錐齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械制造與研究，2011，40（01）：28-29.

[6]李文濤.弧齒錐齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型[J].機(jī)械管理開(kāi)發(fā)，2009，24（01）：7-8.

[7]杜海霞.錐齒輪減速器的遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].現(xiàn)代制造技術(shù)與裝備，2010（04）：22-23.

作者簡(jiǎn)介：張慧，1986年出生，女，山西太原。李吉祥，1986年出生，男，江蘇連云港。徐博，1986年出生，男，山西忻州。