利用波利亞“怎樣解題表”提高習(xí)題教學(xué)價值

摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力非常重要，知識的掌握、思維能力的提升都需要在解題過程中培養(yǎng)，而“波利亞解題表”給學(xué)生解決問題提供了基本的解題步驟。以一道幾何習(xí)題的教學(xué)為例，對如何將波利亞“怎樣解題表”有效運用于教學(xué)實踐作了初步探討。

關(guān)鍵詞：波利亞解題理論；解題表；數(shù)學(xué)教學(xué)

喬治·波利亞（G.Polya，1887-1985年）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開拓者，他通過自己數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗，對解題過程進行了深入分析，致力于探索解題過程的一般規(guī)律，主要表現(xiàn)在他的解題表上。

一、波利亞的“怎樣解題表”

波利亞在“怎樣解題表”中將解題分為4個步驟：（1）你必須理解題目。即明了未知量是什么？已知量是什么？條件是什么？題目所要求的是什么？（2）擬訂方案。找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系或者考慮輔助問題，并具體擬定一個求解的計劃。（3）執(zhí)行你的方案即實現(xiàn)求解計劃。（4）回顧檢查已經(jīng)得到的解答，檢驗每一步驟。在這4個步驟中，第一步是認識題目的過程，這一步是成功解決問題的前提。第二步主要是通過“已有的知識基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗，探索題目的解題思路”，這一步是解題的核心內(nèi)容和關(guān)鍵環(huán)節(jié)。第三步雖然是整個解題的“主體”，但整個解題思路已經(jīng)打開，只需要對題目的信息資源進行一次邏輯配置，因此這一步完成較為容易。由于第三步的完成就代表著整個題目解題的結(jié)束，因此很多老師和學(xué)生忽視了第四步，而第四步同樣是解題的關(guān)鍵。第四步中所說的“回顧”，即驗算所得到的解，并將結(jié)果和方法試著用于其他問題；此外，每一個階段又有一系列啟發(fā)性問句，譬如：未知數(shù)是什么？（在證明題中要求證什么），已知數(shù)據(jù)是什么？你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同、你能利用它嗎？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？你能用別的方法推導(dǎo)出這個結(jié)果嗎？通過對這些問題的回顧可以提高學(xué)生對題目的認知能力，進而提高他們的解題能力。

二、波利亞“怎樣解題表”在幾何教學(xué)中的應(yīng)用舉例

題目：如圖1所示，正方形ABCD中，點E是BC中點，AE⊥EF，EF與正方形的外角∠DCP的平分線相交于點F。

求證：AE=EF

1.“弄清問題”階段，教會學(xué)生形成正確的審題方法

數(shù)學(xué)問題的給出是通過“數(shù)學(xué)語言”達到的。符號語言簡潔抽象，圖形語言直觀形象，而文字語言則通俗易懂。教師可以教學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換來培養(yǎng)學(xué)生好的審題習(xí)慣，形成正確的審題方法。對于本題，要求他們盡量將題目中的已知條件直觀地體現(xiàn)在圖上，一看就能明白。這樣用簡潔明了的圖形呈現(xiàn)的視覺形象進行問題表征，能簡化看似復(fù)雜的問題，減輕工作記憶的負擔(dān)，稱之為標圖。另外，還要注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘已知條件與所求問題之間的關(guān)系，特別是挖掘題目中的隱含條件。針對這一題目，我們首先要弄清題目中的題設(shè)和結(jié)論：題設(shè)1，四邊形ABCD為正方形，學(xué)生應(yīng)想到正方形的所有性質(zhì)；題設(shè)2，E是BC中點，應(yīng)想到BE=EC，且是BC的一半；題設(shè)3，AE⊥EF，除想到∠AEF是直角外，還應(yīng)推出∠AEB+∠FEP=90°的關(guān)系；題設(shè)4，CF為直角∠DCP的角平分線，可推出∠DCF=∠PCF=45°；結(jié)論，AE=EF。為養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，學(xué)生應(yīng)將上述題設(shè)在圖中做出標注，以方便對題目隱含條件的探索和利用。本題目中的BE=EC，AE⊥EF，∠DCF=∠PCF=45°都應(yīng)在圖中做出標注，標注方法如圖2所示。此外，上述4個題設(shè)還蘊含著一些其他條件，學(xué)生在分析題設(shè)過程中應(yīng)當盡可能找出這些隱含條件，并在圖中做出標注。如根據(jù)題正方形的性質(zhì)可以看出∠AEB+∠BAE=90°的關(guān)系，而結(jié)合題設(shè)3中的∠AEB+∠FEP=90°的關(guān)系，可以推出∠BAE=∠PEF的關(guān)系。由此可見，在“弄清問題”階段，學(xué)生除弄清題設(shè)中的已知條件外，還應(yīng)盡可能多地分析出已知條件所蘊含的“隱形條件”，這樣才能為下一步做好充分準備。

2.“擬訂計劃”階段，充分暴露思維過程，傳授解題策略

（1）“擬訂計劃”途徑探究

很多時候，解題的過程并不是從已知條件到問題目標，而是從問題目標層層向上反推的過程，這時教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生考慮以前是否見過它？是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道一個可能用得上的定理？考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。能否利用它的結(jié)果或方法？為了利用它，是否引入某些輔助元素？能否用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題。是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中所有必要的概念？

上課時要善于向?qū)W生暴露思維過程。當學(xué)生問到某些較困難的問題時，一定要和學(xué)生共同思考，尋找解決問題的思想方法。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在哥尼斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)時，他常常把自己置于危險境地，對要講的內(nèi)容總是現(xiàn)想現(xiàn)推。這樣一來，就使得同學(xué)們有機會瞧一瞧高明的數(shù)學(xué)思維過程如何進行，數(shù)學(xué)家是如何接受挑戰(zhàn)的。俗話說：失敗乃成功之母，有時候，失敗的教訓(xùn)往往能使成功的過程更加深刻。例如，本題可分析如下：

從結(jié)論出發(fā)：要證邊等，通常有哪些方法？（如果兩條邊在同一大三角形中，可以考慮等腰三角形“等角對等邊”性質(zhì)，通過證明角等來證邊等；如果兩條邊在兩個不同三角形中，可以考慮通過證明三角形全等來證對應(yīng)邊相等。）

學(xué)生經(jīng)過簡單比較后，通常能發(fā)現(xiàn)本結(jié)論顯然適合尋找含AE和EF的兩組不同的三角形，通過證三角形全等的方法解題。

從條件出發(fā)，以AE為斜邊Rt△ABE已經(jīng)存在，引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)該尋找以EF為斜邊的直角三角形，不難想到過F點作BC邊的垂線段FH，則可以得Rt△EFH，由“k”型相似，再證Rt△ABE≌Rt△EFH，從而具體擬定了一個求解的計劃。

其次，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)解題過程進行分析、歸納，把解題過程進行概括、提煉，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的內(nèi)容——數(shù)學(xué)的思想和方法。指導(dǎo)學(xué)生理解和運用數(shù)學(xué)思想方法，傳授中學(xué)數(shù)學(xué)解題常用的解題策略：模式識別、問題轉(zhuǎn)化、以退求進、正難則反等等。例如本題輔助線FH實際上與CD平行，與題中的角平分線CF，等腰△FCH組成了知二可以求證余一的基本圖形，因此輔助線的添法就可以有作BC的平行線或作CF的中垂線與BC交于點H三種不同的表述方法，雖是同一條線段，但因做法不同也就能起到活躍學(xué)生思維的作用。

（2）具體教學(xué)計劃

針對這一題目，可擬定如下教學(xué)計劃。首先，引導(dǎo)學(xué)生全面認識已知條件，讓學(xué)生對題干的已知量和所求量有一個深刻的認識，除題干中的已知量以外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在“弄清問題”階段所提及的隱含條件。其次，探索適合本題的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生思考證明兩邊相等的方法，本題應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維，由結(jié)論反推證明方法。最后尋找所確定解題方法的“充分條件”，完成解題；學(xué)生在確定通過證明三角形全等來證對應(yīng)邊相等后，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對應(yīng)的三角形，即Rt△ABE和Rt△EFH，而學(xué)生根據(jù)已知條件很容易證明Rt△ABE和Rt△EFH相似，因此，證明本題的關(guān)鍵就在于尋找證明兩直角三角形中的任意對應(yīng)邊相等這一“充分條件”；在實際教學(xué)中，很多學(xué)生都會因找不出證明對應(yīng)邊相等的方法而無法做出解答，造成這一現(xiàn)象的主要原因就是學(xué)生找到“Rt△ABE和Rt△EFH相似”這一條件后，沒有繼續(xù)探索這一條件所隱含的條件，即可通過BE=0.5AB推出FH=0.5EH，進而結(jié)合CH=FH（FC是平分線，三角形FCH是等腰直角三角形）推出FH=EC=BE這一關(guān)鍵條件。所以，當學(xué)生遇到困難時，可引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索隱含條件，進而推出所要求的結(jié)論。如圖3所示：

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圖3

3.“實現(xiàn)計劃”階段，明確解題思路，規(guī)范解題過程

清晰規(guī)范的解題思路是學(xué)生正確并迅速解題的關(guān)鍵，這就要求教師在教學(xué)過程中重視對學(xué)生“科學(xué)、嚴謹解題”品質(zhì)的培養(yǎng)。另外，規(guī)范學(xué)生的解題思路，可以幫助學(xué)生認清題目所考查的知識點，進而加深學(xué)生對題目知識點及解題方法的印象，并提高學(xué)生的解題能力。因此，在平時的教學(xué)中，應(yīng)嚴格按照規(guī)范的解題過程給學(xué)生講解解題思路，并且嚴格規(guī)范學(xué)生平時作業(yè)解答思路，鼓勵學(xué)生認真、合理地運算。幫助學(xué)生克服解題過程中的惰性，以防止學(xué)生養(yǎng)成不認真解題的習(xí)慣。例如，在本題中，在證明“Rt△ABE和Rt△EFH相似”時的思路都很清晰，但當證明“FH=BE”相等時，很多學(xué)生所表現(xiàn)的就是“明知FH=BE，卻不知怎樣用數(shù)學(xué)語言表達出來”，在解題實施過程中就會顯得“思路不嚴謹”，為此，教師應(yīng)嚴格按照上述圖1所示的解題思路，讓學(xué)生明白整個證明過程的“來龍去脈”。

4.“回顧”階段，加強解題后的反思教學(xué)

所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結(jié)論的反思來進一步暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，從而開發(fā)學(xué)習(xí)者的解題智慧，以達到事半功倍，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的目的。教師可以在課堂小結(jié)時，適時地對某種數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵點或要素進行概括、強化和揭示，對它的內(nèi)容、規(guī)律、運用等有意識地適度點撥。

（1）善用一題多解，加強解題方法的運用

在解題過程中，一些題往往有多解，通過一題多解的練習(xí)，一方面可以加強學(xué)生對題目理解，另一方面可以訓(xùn)練學(xué)生對解題方法的運用能力，并通過不同的解題思路來尋找解題的最佳途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。通過一題多解的練習(xí)題，對鞏固知識、增強解題能力、提高學(xué)習(xí)成績大有益處。在問題解決之后，教師可根據(jù)情況進行適當?shù)囊活}多解、一題多變、多題組合，注意數(shù)學(xué)思想和方法的總結(jié)、提煉和升華，進一步拓展學(xué)生的思維平臺，優(yōu)化解題過程。不斷地引導(dǎo)學(xué)生進行解題后的反思，使學(xué)生完成自我意識、自我評價、自我調(diào)整的過程，提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力。

例如，在本題中，要證明AE=EF，需要將這兩條邊放置在不同的三角形中，多數(shù)學(xué)生會想到放置在Rt△ABE和Rt△EFH中，這種方式是將AE所在的△ABE固定，尋找相似的另一個△EFH。按照同樣的思路，可以將EF所在的△EFH固定，尋找另一個相似三角形。因此，需要做AB的中點G，連接EG，如圖4所示，這樣就將所求轉(zhuǎn)化成求證△AEG≌△ECF，學(xué)生很容易用找到∠GAE=∠CEF、AG=EC、∠AGE=∠ECF這三個條件，進而證明已知結(jié)論。

還可以反過來推，要證明AE=EF，因為∠AEF=90°，則只需證明△AEF是等腰直角三角形，也就是只需證明∠EAF=∠EFA=45°，題中出現(xiàn)正方形，容易想到對角線平分一組對角，就會出現(xiàn)45°角，所以如圖5連接AC，同時想到CF是外角平分線，所以∠ACF=90°，故A、E、C、F四點共圓，且AF為直徑，根據(jù)圓周角定理，∠AFE=∠ACB=45°，問題得以解決。

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這樣通過改變解題方法，學(xué)生就會和之前的解題方法進行比較，如比較各種解題方法的簡易程度、優(yōu)缺點等，由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和愛好。

（2）從特殊到一般中滲透辯證思維

數(shù)學(xué)題目并不是固定不變的，某一類型題有時可以采用同樣的方法解答。學(xué)生在解題過程中，可以輕松解決一些“特殊化”的題目，而將這些“特殊化”的題目改成一般形式后，很多學(xué)生就會覺得無從下手，而這種“從特殊到一般”的題型正是近幾年考查學(xué)生解題能力的主要形式之一。因此，將“特殊化”的題目改成“一般性”的題目，可以使學(xué)生在解題過程中理解這種“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思維，進而提高解題能力。例如，本題可讓學(xué)生總結(jié)一下幾何證明題的一般方法，點E運動過程中的幾種情況分類，如圖6，弱化條件，將“點E是BC的中點”弱化為“點E是直線BC上任意一點”，其他條件都不變，則結(jié)論是否成立？

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（3）善用一題多變，提高解題能力

在實際教學(xué)中，有一些隱含條件或關(guān)鍵條件很難想出，教師可以利用變式教學(xué)，將題設(shè)條件或結(jié)論作相應(yīng)的變化，按照一定的梯度設(shè)置變式題，慢慢引導(dǎo)學(xué)生進行全面思考。如對那些鋪墊題、遷移題、深化題的練習(xí)，會使學(xué)生快速反饋，并能通過變式練習(xí)，將所學(xué)知識串成一線，聯(lián)成一體，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生達到充分感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力。

例如，本題可以引導(dǎo)學(xué)生思考將題目的條件和結(jié)論做一互換，得到解決相關(guān)的問題，從而增強了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高了數(shù)學(xué)解題能力。

變式1：正方形ABCD中，點E是BC中點，AE⊥EF，AE=EF，連接CF.

求證：CF平分正方形的外角∠DCP。

還可以針對題目作出進一步的探索，如改變圖形的背景，將題目改為：如圖7在△ABC中，點E是BC上一動點，∠AEF=60度，AE=EF，連接CF。

求證：CF平分△ABC的外角∠DCP。

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還可以讓學(xué)生自己反思和總結(jié)，圖形背景可不可以換成任意的正多邊形呢？你還能提出類似的問題并嘗試解決嗎？

在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，教師不僅要傳授學(xué)生相關(guān)知識，還要重視學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，不僅要培養(yǎng)學(xué)生解決一般問題的能力，還要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力、獨立思考能力和想象力。波利亞就主張選擇有代表性的題目，發(fā)掘各個側(cè)面的題目，通過不同的角度展開解題訓(xùn)練。這樣才能在保證學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的同時，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率。所以，教師積極學(xué)習(xí)波利亞解題理論，將波利亞的解題思想積極運用到教學(xué)實踐中，就可以避免孤立的知識教學(xué)和就題講題的教學(xué)方式，將知識概念化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生有效實現(xiàn)知識的整合和方法的遷移，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

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編輯 李建軍