隨機恒速運動目標的搜索方程及持續(xù)探測概率

陳建勇，張　馳

（海軍航空工程學院a.電子信息工程系；b.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

隨機恒速運動目標的搜索方程及持續(xù)探測概率

陳建勇a，張馳b

（海軍航空工程學院a.電子信息工程系；b.研究生管理大隊，山東煙臺264001）

根據(jù)目標位置的初始分布和速度分布，給出了隨機恒速運動目標在任意時刻位置和速度分布密度函數(shù)。定義了探測函數(shù)、目標存在和探測不成功的聯(lián)合概率密度函數(shù)和目標存活概率函數(shù)，建立了基于目標速度分布的搜索方程并給出了其特征跡線解。在目標初始分布和速度分布均為圓正態(tài)分布條件下，分析了搜索方程特征跡線的基本特征和持續(xù)探測發(fā)現(xiàn)概率積分域的形態(tài)。給出了一個以直升機吊放聲納探測潛艇為背景的持續(xù)探測發(fā)現(xiàn)概率的算例，算例表明，對隨機恒速運動目標持續(xù)探測的發(fā)現(xiàn)概率，與對靜止目標進行持續(xù)探測的發(fā)現(xiàn)概率相似，服從時間的指數(shù)規(guī)律。

搜索方程；運動目標；探測概率；最優(yōu)搜索

文獻［1］針對二維空間的隨機恒速運動目標的離散時間有限區(qū)域搜索問題，提出了基于已知目標初始位置分布密度和速度分布密度的最優(yōu)搜索算法。以該算法為基礎(chǔ)，文獻［2-4］應用沒有時間變量的空間探測函數(shù)概率模型，分析了持續(xù)探測概率的時間收益問題和發(fā)現(xiàn)概率的時間最優(yōu)性問題。因為空間探測函數(shù)中沒有時間變量，以此為基礎(chǔ)對概率的時間變化關(guān)系進行的分析和計算，受到比較嚴格的限制，并且誤差較大。本文以定義時間和空間變量的探測函數(shù)為基礎(chǔ)，根據(jù)Hellman提出的運動目標搜索的建模和求解方法［5-13］，運用特征跡線法，給出了基于目標速度分布函數(shù)的恒速隨機運動目標區(qū)域持續(xù)探測發(fā)現(xiàn)概率的積分表達式。以目標速度分布和初始位置分布均為圓正態(tài)分布為條件，討論了時變的發(fā)現(xiàn)概率積分域的變化特征，并給出了一個算例。

1　隨機恒速運動目標

設(shè)時間t∈［t0，∞）。搜索和目標空間X=［x，y］∈?2，速度空間v=［vx，vy］∈?2。已知目標的初始分布密度函數(shù)ρ（X，t0），速度分布密度函數(shù)為w（v，t0）。對隨機恒速運動目標有X（t）=X（t0）+v·（t-t0）。令g［X（t0），v·（t-t0）］為關(guān)于X（t0），v·（t-t0）的聯(lián)合概率密度函數(shù)。因為X（t0），v·（t-t0）相互獨立，所以：

對于任意給定的t＞t0，

設(shè)tm＞t時刻的空間變量為X（tm）。

由X（tm）=X（t0）+v·（tm-t0）=X（t）+v（x）·（tm-t），得：

對于恒速目標，任意速度空間V∈?2，都有：

對于連續(xù)的聯(lián)合分布密度函數(shù)g（X，v），有：根據(jù)式（6）可以得出隨機運動目標在t時刻速度的空間條件分布w（v/X，t）的表示式：

2　基于目標速度分布的搜索方程及其特征跡線解

定義探測率函數(shù)b（X，t，a）：

b（X，t，a）Δt=

Prob｛在a點探測，

于τ∈［t，t+Δt］發(fā)現(xiàn)目標/目標在X｝+O（Δt）。假設(shè)單連通域Ω=｛X：b（X，t，a）＞0｝為凸集，稱探測域。a定義為探測器（或稱搜索者）的定點探測位置。

定義聯(lián)合概率密度函數(shù) f（X，t，a）：

定義存活概率u（X，t，T，a）：

u（X，t，T，a）=Prob｛在a點探測，t≤τ≤T，搜索未發(fā)現(xiàn)目標/t時刻目標處于X｝。

設(shè)t+Δt時刻的空間為X，t時刻的空間則為X-vΔt。根據(jù)獨立性假設(shè)，

作泰勒級數(shù)展開，令Δt→0，得到搜索方程：

空間的特征線族。

在特征線上重寫搜索方程，得：

已知初始條件 f（X，t0，a）=ρ［X（t0），t0］。給出任一點（X0，t0），可解得在該點所在的特征線上：

當b［X（t），t，a］≡0，即無探測時，

所以，聯(lián)合概率密度函數(shù)又可以表示為：

類似地，可獲得關(guān)于生存概率的搜索方程及在特征線上的解：

將t、T分別置換為t0、t，得t0時到目標處于X（t0）的條件下，在搜索到t時刻該目標的生存概率為：

根據(jù)對聯(lián)合概率密度函數(shù)和生存概率的定義可得，在a點持續(xù)探測到t時刻，發(fā)現(xiàn)目標的概率：

同樣有：

3　圓正態(tài)分布的單點持續(xù)探測概率

初始位置分布和速度分布均為圓正態(tài)分布，即：

目標空間分布的表達式為：

速度的空間條件分布密度為：

空間條件的目標速度期望值及其散度為：

顯然，特征跡線為通過坐標原點和X（t0）的直線。特征線族的方程

解得X（t0）點所在的特征線方程為：

圖1為B（陰影區(qū)域），在t2＞t1＞t0時刻映射的空間集的示意圖。

圖1　空間集映射示意圖Fig.1 Diagram of space map

根據(jù)式（16）、（17），在a點持續(xù)探測到t時刻，發(fā)現(xiàn)目標的概率：

圖2　坐標原點在Ω上的積分域ωfFig.2 Integral domainωfof the coordinates onΩ

圖3　坐標原點在Ω外的積分域ωfFig.3 Integral domainωfof the coordinates out ofΩ

可以證明，對于圓正態(tài)分布，任意t＞t0，ωu的內(nèi)圓、Ω的邊界圓和ωf的外圓都是在同一個扇面內(nèi)的內(nèi)切圓。

圖4　坐標原點在Ω外的積分域ωuFig.4 Integral domainωuof the coordinates out ofΩ

圖5給出探測點在a=（0，0）nm和a=（5，5）nm時，0≤t≤30 s，單點探測的發(fā)現(xiàn)概率隨時間的連續(xù)變化關(guān)系。

圖5　定點持續(xù)探測的發(fā)現(xiàn)概率Fig.5 Single point continuous detection

4　結(jié)語

本文在隨機恒速運動目標的假設(shè)條件下，建立了搜索方程，并給出了搜索方程特征線解得表達式。在目標初始位置分布和速度分布均為圓正態(tài)分布情況下，分析了搜索方程特征跡線解的基本特征，單點持續(xù)探測發(fā)現(xiàn)概率的2種積分形式和非零積分域的形態(tài)及時變規(guī)律。本文基于搜索方程特征跡線解的單點持續(xù)探測發(fā)現(xiàn)概率算法，為研究多點探測中發(fā)現(xiàn)概率的時間最優(yōu)性問題和概率的時間收益問題奠定了基礎(chǔ)。文中以直升機吊放聲納單點探測為背景，給出一個數(shù)值算例。從算例結(jié)果可以看到，對隨機恒速運動目標單點持續(xù)探測的發(fā)現(xiàn)概率，仍然是時間的指數(shù)規(guī)律，其可能達到的極限值，由分布參數(shù)和探測點與分布中心的距離決定。

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Search Equation of Moving Target with Random Constant Velocity and the Probability of Persistence Detecting

CHEN Jianyonga，ZHANG Chib
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Electronic and Information Engineering；b.Graduate Students’Brigade，Yantai Shandong 264001，China）

According to the target distribution density functions of initial location and velocity，the distribution density function of moving target with a random constant velocity at any time was given.Defined the detection function，the joint probability density function of target existence and unsuccessful detection，and the survival probability function，the search equation based on the velocity distribution density function was established，then its trace solution was obtained. Under the condition of target distribution of initial location and velocity were both circular normal distribution，the basic characteristics of the trace of search equation and the integral domains of the probability with persistence detecting was an?alysed.A computing example of persistence detecting probability based on detect a submarine with helicopter dipping so?nar was given.The simulation results showed that the discovery probability detecting a random moving target，similarly with a stationary target，was an index function of time.

search equation；moving target；detection probability；optimal search

E926.38；O229

A

1673-1522（2015）06-0521-05DOI：10.7682/j.issn.1673-1522.2015.06.005

2015-09-08；

2015-10-08

國家自然科學基金資助項目（61271444）

陳建勇（1962-），男，教授，博士。