基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的恒生指數(shù)期權(quán)研究

[摘要]相對(duì)于中國(guó)內(nèi)地的期權(quán)期貨市場(chǎng)，香港交易市場(chǎng)已趨于成熟。隨著科技的發(fā)展，交易數(shù)據(jù)量的增加，傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析已經(jīng)不能滿足金融衍生品研究的需求。函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（FDA）是將觀測(cè)數(shù)據(jù)看成一個(gè)整體，從函數(shù)的角度對(duì)其進(jìn)行分析，可以提高準(zhǔn)確度并減少計(jì)算復(fù)雜度。本文以香港恒生指數(shù)期權(quán)為例進(jìn)行分析。

首先，本文利用Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型，對(duì)恒生指數(shù)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的理論價(jià)格低于實(shí)際價(jià)格，并對(duì)這一現(xiàn)象給出分析。由于期權(quán)交易的頻繁性，本文將期權(quán)的日收益率看成函數(shù)型數(shù)據(jù)，用B-樣條基函數(shù)進(jìn)行擬合，并結(jié)合懲罰函數(shù)法對(duì)擬合函數(shù)的光滑度進(jìn)行控制。之后對(duì)擬合好的函數(shù)進(jìn)行函數(shù)型主成分分析（FPCA），并通過(guò)Matlab及相關(guān)軟件包進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。最后提出函數(shù)型主成分預(yù)測(cè)模型及模型的改進(jìn)之處。

[關(guān)鍵詞]Black-Scholes-Merton模型；函數(shù)型數(shù)據(jù)；懲罰函數(shù)法；主成分分析

一、Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型

在之前的期權(quán)定價(jià)模型中，投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及期權(quán)預(yù)期收益率的確定是難點(diǎn)，而1976年Black-Scholes-Merton的期權(quán)定價(jià)模型很好的解決了這一問(wèn)題。

該模型假設(shè)【1】：股票價(jià)格S（t）服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)；證券交易連續(xù)進(jìn)行，無(wú)摩擦；短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)；不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；在期權(quán)期限內(nèi)，股票不支付股息。在上述假設(shè)下，設(shè)股票s的期權(quán)價(jià)格為f，到期期限為T-t，構(gòu)造一份期權(quán)空頭和△數(shù)量股票的交易組合。在△t時(shí)間內(nèi)，資產(chǎn)組合價(jià)值變化為，由Ito公式有：

為消除隨即項(xiàng)，令，根據(jù)無(wú)套利原理，，即

此即Black-Scholes-Merton微分方程，由此可見(jiàn)該方程中無(wú)期望收益率μ，因此該方程與風(fēng)險(xiǎn)選擇無(wú)關(guān)。該方程的解不唯一，與邊界條件有關(guān)。以看漲期權(quán)為例，當(dāng)執(zhí)行價(jià)格為k時(shí)，邊界條件為：

對(duì)于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解

其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)概率分布函數(shù)，

二、函數(shù)型數(shù)據(jù)分析

2.1函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的基本概念

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析（Function Data Analysis，簡(jiǎn)稱FDA）最早由加拿大學(xué)者Ramsay提出，當(dāng)觀測(cè)的時(shí)間點(diǎn)十分密集時(shí)，這些數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一些的函數(shù)特征。函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的基本出發(fā)點(diǎn)是把數(shù)據(jù)看成一個(gè)單獨(dú)的函數(shù)項(xiàng)。當(dāng)數(shù)據(jù)量非常大時(shí)，如果再采取之前傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法，可能會(huì)造成信息量的丟失或者模型估計(jì)失真等問(wèn)題。

在進(jìn)行函數(shù)型數(shù)據(jù)分析時(shí)，首先將收集到的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，選擇合適的基函數(shù)對(duì)其進(jìn)行擬合，并采用光滑函數(shù)來(lái)控制擬合函數(shù)的平滑度，可以有效避免傳統(tǒng)擬合方法中過(guò)擬合現(xiàn)象的發(fā)生。之后通過(guò)對(duì)函數(shù)型數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，探求數(shù)據(jù)的整體性質(zhì)。

2.2函數(shù)型數(shù)據(jù)的光滑性處理

本文采用B-樣條基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合?；瘮?shù)平滑法【2】是用k個(gè)已知的基函數(shù)的線性組合來(lái)給出函數(shù)x（t）的估計(jì)，即：

對(duì)于B-樣條基函數(shù)平滑法，首先將觀測(cè)點(diǎn)所在的區(qū)間用斷點(diǎn)序列 為定義區(qū)間兩端點(diǎn)）分成L個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上，定義一個(gè)m階的多項(xiàng)式，相鄰多項(xiàng)式在內(nèi)斷點(diǎn)處取值相同，并且在定義域上存在m-2次導(dǎo)數(shù)，B-樣條基函數(shù)定義為：

在有了基函數(shù)之后，我們只需確定基函數(shù)個(gè)數(shù)K和其系數(shù)ck即可。其中K決定了觀測(cè)數(shù)據(jù)yi的平滑度，K越小，擬合的函數(shù)越平滑，但擬合度越差。為權(quán)衡擬合度和光滑度，我們用懲罰函數(shù)法來(lái)確定系數(shù)與基函數(shù)個(gè)數(shù)。

定義帶懲罰項(xiàng)的殘差平方和：

上式中第一項(xiàng)衡量了曲線的擬合效果，第二項(xiàng)衡量了曲線的光滑度。通過(guò)求解最小化以獲得估計(jì)函數(shù)，其中懲罰項(xiàng)越大，曲線越粗糙，且正常數(shù)表示擬合度和光滑度之間的權(quán)衡。

三、函數(shù)型主成分分析

當(dāng)我們想對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維分析時(shí)，如果觀測(cè)數(shù)據(jù)相當(dāng)大，此時(shí)樣本的協(xié)方差矩陣維數(shù)將會(huì)很大，如果對(duì)這樣的協(xié)方差矩陣直接進(jìn)行主成分分析，得到的結(jié)果將并不會(huì)理想。

此時(shí)，我們將數(shù)據(jù)看稱作函數(shù)的形式，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析。設(shè)觀測(cè)矩陣【3】為 ，每次觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)型數(shù)據(jù)xi（t）。

對(duì)構(gòu)造得到的函數(shù)型數(shù)據(jù)其進(jìn)行主成分分析，設(shè)為權(quán)重函數(shù)，第一主成分的求解即在下述約束條件下的最大化問(wèn)題：

函數(shù)型主成分分析即對(duì)在B-樣條擬合時(shí)得到的矩陣求解特征值和特征函數(shù)，求解策略便是將連續(xù)的函數(shù)型特征分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為近似矩陣的特征分析問(wèn)題，這可通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行離散化或?qū)瘮?shù)進(jìn)行基函數(shù)展開(kāi)實(shí)現(xiàn)。

四、香港恒生指數(shù)期權(quán)的實(shí)證研究

本文所采用的數(shù)據(jù)來(lái)自香港證券交易所官方網(wǎng)站www.hkex.com衍生品交易數(shù)據(jù)庫(kù)，選取交易量較為活躍的前5個(gè)看漲期權(quán)進(jìn)行研究（均在存續(xù)期）。

4.1Black-Scholes模型理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格比較

由Black-Scholes模型可知，期權(quán)的價(jià)值與指數(shù)St，執(zhí)行價(jià)格K，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，到期日時(shí)間T-t以及波動(dòng)率σ有關(guān)。本文根據(jù)歷史數(shù)據(jù)資料求得的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估算波動(dòng)率。同時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率采用一年期銀行利率代替。

根據(jù)BS模型給出的計(jì)算公式，借用Matlab軟件做出實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格的關(guān)系圖，我們發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算價(jià)格要低于實(shí)際價(jià)格，且對(duì)于存續(xù)期長(zhǎng)的期權(quán)來(lái)說(shuō)，BS模型估算較精確。這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中達(dá)不到模型假設(shè)的完美條件，比如交易不能連續(xù)，存在交易費(fèi)用，投資者的不理性跟風(fēng)等。同時(shí)，參數(shù)的估計(jì)也會(huì)對(duì)模型產(chǎn)生一定的擾動(dòng)。

4.2期權(quán)日收益率的主成分分析

計(jì)算這5個(gè)樣本的日收益率，將每一個(gè)看漲期權(quán)的日收益率數(shù)據(jù)視為其對(duì)應(yīng)函數(shù)產(chǎn)生的一組樣本觀測(cè)值，利用Malab中相關(guān)的FDA函數(shù)包，采用4階B-樣條基函數(shù)對(duì)樣本觀測(cè)值進(jìn)行擬合，得到5個(gè)期權(quán)的日收益率曲線。

在得到光滑曲線后，我們對(duì)5個(gè)光滑函數(shù)進(jìn)行主成分分析，畫(huà)出主成分權(quán)重系數(shù)，從圖中我們可以看出，第一主成分幾乎占了全部的方差比例，因此第一主成分系數(shù)的效果是顯著的。

在函數(shù)型主成分分析模型基礎(chǔ)上，我們也可以建立函數(shù)主成分預(yù)測(cè)模型，將觀測(cè)到的真實(shí)值，模型估計(jì)出的預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，從而判定預(yù)測(cè)模型的效率。

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