基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的Noether對稱性*

金世欣，張 毅

(1．南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210094；2．蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

?

基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的Noether對稱性*

金世欣1，張 毅2

(1．南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210094；2．蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

提出并研究基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量。建立了含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程；根據(jù)系統(tǒng)的含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量在無限小群變換下的泛函不變性，給出了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，Noether準(zhǔn)對稱變換以及Noether廣義準(zhǔn)對稱變換的定義判據(jù)；研究了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性與守恒量之間的聯(lián)系，并舉例說明結(jié)果的應(yīng)用。

非保守系統(tǒng)；時(shí)滯；Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；Noether對稱性；守恒量

近年來，Baleanu等[17-19]研究了分?jǐn)?shù)階模型下的含時(shí)滯的變分和最優(yōu)化控制問題。2012年，F(xiàn)rederico和Torres[20]首次討論了含時(shí)滯的變分和最優(yōu)化控制問題的Noether定理；隨后，張毅等[21-25]研究建立了含時(shí)滯的約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量理論。盡管含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階變分和最優(yōu)控制問題的研究已經(jīng)取得了一些重要成果，但是研究狀態(tài)變量或控制變量具有時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階變分和控制系統(tǒng)的對稱性與守恒量問題還是一個(gè)開放的課題，特別是在不同的分?jǐn)?shù)階模型下的對稱性與守恒量的問題。本文將進(jìn)一步研究基于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的Noether對稱性與守恒量。建立相應(yīng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性的定義和判據(jù)，并導(dǎo)出含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether定理。

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其若干性質(zhì)

在這一部分我們簡單地回憶一下將要用到的一些Riemann-Lionville以及Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)。詳細(xì)的討論和證明，可參考文獻(xiàn)[1-3]。

左Riemann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下

(1)

右Remiann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下

(2)

相應(yīng)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下：左Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(3)

右Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(4)

其中Γ(*)為Gamma函數(shù)，滿足k-1≤α

(5)

(6)

以及

(7)

(8)

(9)

2 含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,…,n)來確定?？紤]非保守力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton原理

(10)

其中，Lagrange函數(shù)以及非勢廣義力為

(11)

(12)

且時(shí)滯常量τ

(13)

(14)

其中Ωs(t)為[t1-τ,t1]上的已知分段光滑函數(shù)。則原理(10)可寫為

(15)

將式(15)的第三項(xiàng)，第五項(xiàng)進(jìn)行變量替換t=θ+τ，并考慮初始條件(13)，得到

(16)

考慮分部積分公式(6)和(7)以及(8)和(9)，并考慮條件(13)和(14)，則有

(17)

且有

(18)

以及

(19)

當(dāng)滿足條件

(20)

將(17)，(18)以及(19)式代入(16)式，并考慮到積分區(qū)間的任意性以及δqs的獨(dú)立性，得到

(21)

滿足式(20)，則方程(21)可稱為Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階運(yùn)動(dòng)微分方程。如果廣義非勢力Q″s=0，則方程(21)就成為

(22)

滿足式(20)，則方程(22)為Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程。

3 含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分

含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量為

(23)

引入r參數(shù)的有限變換群的無限小變換

(24)

其展開式為

(25)

(26)

(27)

(28)

對(28)式的第五項(xiàng)，第六項(xiàng)進(jìn)行變量替換t=θ+τ，并考慮邊界條件(13)，得到

(29)

注意到關(guān)系式

(30)

并考慮到分部積分公式(8)和(9)以及(6)和(7)，則(29)式可變?yōu)?/p>

(31)

滿足條件(20)。其中

(32)

式(29)和(31)是Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的兩個(gè)基本公式。

4 含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性

首先，給出Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換的定義和判據(jù)。

定義1 如果含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(23)，在無限小群變換(24)作用下，滿足條件

(33)

則稱無限小變換為含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換。

由定義1和公式(29)和(31)，可得判據(jù)：

判據(jù)1 對于無限小變換(24)，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，滿足條件

(34)

當(dāng)t2-τ

(35)

則變換(24)是含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換．

式(34)和(35)可表為：當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，有

(36)

當(dāng)t2-τ

(37)

當(dāng)r=1時(shí)，式(36)和(37)稱為含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

其次，研究Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱性。

設(shè)L1是某個(gè)另外的Lagrange函數(shù)，如果變換(24)精確到一階小量滿足如下關(guān)系

(38)

那么稱這種不變性為含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(23)在無限小變換(24)下的準(zhǔn)不變性。由此確定的L1與L具有相同的運(yùn)動(dòng)微分方程，因而變換(24)可稱為含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階準(zhǔn)對稱變換。于是有

定義2 如果含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(23)，在無限小群變換(24)作用下，滿足條件

(39)

由定義2和公式(29)和(31)，可得判據(jù)：

判據(jù)2 對于無限小變換(24)，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，滿足條件

(40)

當(dāng)t2-τ

(41)

則變換(24)是含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換．

式(40)和(41)可表為：當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí),

(42)

當(dāng)t2-τ

(43)

其中ΔG=εσGσ。當(dāng)r=1時(shí)，式(42)和(43)稱為含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

最后，討論Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階廣義Noether準(zhǔn)對稱性。

假設(shè)Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)受到廣義非勢力Q″s的作用，如果精確到一階小量滿足如下條件

(44)

則相應(yīng)不變性稱為含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(23)在無限小變換(24)下的廣義準(zhǔn)不變性，而變換(24)稱為力學(xué)系統(tǒng)的含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階廣義準(zhǔn)對稱變換。于是有

定義3 如果含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(23)，在無限小群變換(24)作用下，滿足條件

(45)

則稱無限小變換為含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether廣義準(zhǔn)對稱變換。

由定義3和公式(29)和(31)，可得判據(jù)：

判據(jù)3 對于無限小變換(24)，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，滿足條件

(46)

當(dāng)t2-τ

(47)

則變換(24)是含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階廣義Noether準(zhǔn)對稱變換。

式(46)和(47)可表為：當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí),

(48)

當(dāng)t2-τ

(49)

當(dāng)r=1時(shí)，式(48)和(49)稱為含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether等式。

利用判據(jù)1-判據(jù)3或含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether等式(36)和(37)，(42)和(43)，(48)和(49)可以判斷含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性。

5 含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether定理

本節(jié)我們研究Caputo導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。首先給出所論含時(shí)滯的力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量的定義。

(50)

對于含時(shí)滯的Lagrange系統(tǒng)(22)，如果能找到系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換或分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換，便可求得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。于是，有如下定理。

定理1 對于含時(shí)滯的Lagrange系統(tǒng)(22)，如果無限小變換(24)是定義1下的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，形如

(51)

當(dāng)t2-τ

(52)

證明 由于無限小變換(24)是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，由定義1，以及式(31)，并將方程(31)代入式(33)，由積分區(qū)間的任意性和εσ的獨(dú)立性，并利用含時(shí)滯的Lagrange方程(22)，得到，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，有

(53)

當(dāng)t2-τ

(54)

對(53)和(54)式進(jìn)行積分，便得到結(jié)果。

定理2 對于含時(shí)滯的Lagrange系統(tǒng)(22)，如果無限小變換(24)是定義2下的分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量，當(dāng)t1≤t≤t2-τ時(shí)，形如

Gσ=const.

(55)

當(dāng)t2-τ

(56)

證明 由于無限小變換(22)是系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對稱變換，由定義2，以及式(39)，并將方程(31)代入式(39)，由積分區(qū)間的任意性和εσ的獨(dú)立性，并利用含時(shí)滯的Lagrange方程(22)，易知定理成立。證畢。

下面，我們進(jìn)一步討論含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether定理。

定理3 對于含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)(21)，如果無限小變換(24)是定義3下的分?jǐn)?shù)階廣義Noether準(zhǔn)對稱變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線性獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階守恒量(53)和(54)。

證明 由于無限小變換(24)是系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對稱變換，由定義3，以及(45)式，并將方程(31)代入式(45)，由積分區(qū)間的任意性和εσ的獨(dú)立性，并利用含時(shí)滯的Lagrange方程(21)，易知定理成立。

定理1-3稱為含時(shí)滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether定理。由Noether定理可知，對于所論分?jǐn)?shù)階模型下的含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)，如果能找到系統(tǒng)的一個(gè)含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，便有可能得到系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階守恒量。

6 算 例

例 已知力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和非勢廣義力為

(57)

其中質(zhì)量m及阻尼系數(shù)c均為常數(shù)。且t∈[t1,t2]，時(shí)滯常量τ

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程給出

(58)

由含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether等式(48)和(49)給出

(59)

方程(59)有解

(60)

(61)

生成元(60)和(61)都相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對稱變換．由定理3，得到

I1=0

(62)

(63)

因此，生成元(62)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量是平庸的．若分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，方程(63)就成為含時(shí)滯的運(yùn)動(dòng)微分方程

(64)

式(63)就成為

(65)

式(65)是含時(shí)滯的非保守系統(tǒng)的廣義Noether準(zhǔn)對稱性相應(yīng)的守恒量。若時(shí)滯常量τ=0時(shí)，式(65)就成為經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的相應(yīng)的守恒量

(66)

7 結(jié) 論

提出并研究了Caputo導(dǎo)數(shù)下含時(shí)滯的非保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性與守恒量。建立了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton原理(15)和(16)，并由此進(jìn)一步導(dǎo)出了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Lagrange方程(21)。給出了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的兩個(gè)基本公式，建立了含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階Noether對稱性的定義和判據(jù)，并得到了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Noether定理。文章的方法和結(jié)果具有普遍性，可進(jìn)一步應(yīng)用于Caputo導(dǎo)數(shù)下含時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階非完整力學(xué)系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)以及分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)等。

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Noether Symmetries for Non-Conservative Lagrange Systems with Time Delay Based on Caputo Fractional Derivative

JINShixin1，ZHANGYi2

(1.College of Physics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China；2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

The Noether symmetries and the conserved quantities of a mechanical system with time delay based on Caputo fractional derivatives are proposed and studied. Firstly, the fractional Lagrange equations with time delay are established. Secondly, based upon the invariance of the fractional Hamilton action with time delay under the group of infinitesimal transformations, the fractional Noether symmetric transformations, the definitions and criteria of the Noether quasi-symmetric transformations and generalized Noether quasi-symmetric transformations with time delay are given. Finally, the relationship between the fractional symmetries and the fractional conserved quantities with time delay are studied. At the end, an example is given to illustrate the application of the results.

nonconservative system; time delay; Caputo fractional derivative; Noether symmetry; conserved quantity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.011

2015-02-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10972151，11272227)

金世欣(1987年生)，男；研究方向：一般力學(xué)與力學(xué)基礎(chǔ)；通訊作者：張毅;E-mail:weidiezh@gmail.com

O316

A

0529-6579(2015)05-0049-08