初中數(shù)學教科書“相似”的比較

【摘 要】本文以Van Hiele理論為依據(jù)，對新加坡版、上海版、人教版三個版本教科書中“相似”知識點的具體內(nèi)容進行全面、深入的分析，揭示了三個版本的教科書對學生提出的不同認知要求，探討這樣的編寫是否符合學生幾何思維發(fā)展的規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學 教科書 “相似”

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）12-0085-01

在有關(guān)學生幾何概念發(fā)展與學習的研究中，Van Hiele的幾何思維水平體系是最有影響力的理論之一（Clements Battista，1992）。這一理論的核心內(nèi)容之一就是對學生幾何思維發(fā)展五個水平的劃分與描述（格勞斯，1999）。筆者根據(jù)Van Hiele理論，并借鑒梁竹（2010）的分析成果，將“相似”內(nèi)容各水平的要求具體化如下。

一 水平，感受相似

學生能通過圖形從整體上直觀感受圖形的相似。具體地：（1）學生通過圖形能初步感受“相似”。（2）學生能舉例說明現(xiàn)實生活中相似的圖形或?qū)嵨?。?）學生能從一組圖形中主觀地辨認出相似圖形，但理由只是“看上去形狀相同”或“看上去一個圖形放大（縮?。┖竽芘c另一個圖形重合”。如：上海版24.1觀察三個四邊形，通過放縮運動，得出相似形的概念。人教版27.1給出四組實物圖片，得出相似圖形的概念，并讓學生舉例說明。

二 水平，分析相似

學生能從圖形的基本組成元素得出相似形的性質(zhì)，能通過給出的條件構(gòu)造圖形說明相似。具體地：（1）學生能借助刻度尺、量角器等工具在紙上繪制已知圖形的相似圖形。（2）學生能用測量法和操作法發(fā)現(xiàn)對應角和對應邊之間的關(guān)系。（3）學生能得出對應邊成比例、對應角相等的結(jié)論，但不清楚這一結(jié)論的逆命題也成立。（4）學生能利用相似的性質(zhì)求出相似形中的未知量。（5）相似三角形的概念、符號及讀法。如：上海版24.1通過格點圖感受兩個三角形是相似形，并度量角之間的關(guān)系以及三組邊的長度比值的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角對應相等，邊對應成比例。人教版27.1也通過格點圖中的兩個三角形和兩個四邊形感受相似形，并通過測量得出對應角相等，對應邊成比例。

三 水平，關(guān)系推理

學生能理解相似的判定定理，并能通過簡單的推理得到更多的性質(zhì)。具體地：（1）學生能通過操作、結(jié)合推理等方式，從具體的實例中歸納出相似形的判定定理。（2）學生能認識到對應邊成比例、對應角相等的兩圖形相似，但只能通過放縮運動的思想或計算機模擬實現(xiàn)判別。（3）學生能通過相似的性質(zhì)對應邊成比例推出周長、面積、體積等相應的比例關(guān)系。（4）學生能得出對應中線、對應高等之間相應的比例關(guān)系。（5）能通過比率（位似）畫已知圖形的相似圖形。（6）學生能利用對應邊成比例、對應角相等的圖形是相似圖形這一性質(zhì)判別相似形。如：上海版24.4中問題1：通過移動三角形，借用預備定理，歸納出判定定理：兩角對應相等，兩三角形相似（AA）。人教版27.2.1中的思考，通過回顧HL可以證明兩個直角三角形全等，猜測，滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個直角三角形相似，并給出證明過程。

四 水平，形式演繹

學生能對判定定理進行演繹證明，并能進行多步驟的演繹推理。具體地：（1）學生能利用三角形一邊的平行線這一預備定理和相似三角形的判定定理等相關(guān)知識證明圖形的相似。（2）能證明相似。如：上海版中24.5例題4：根據(jù)直角三角形相似判定HL證明兩直線垂直。人教版中27.2.2利用相似三角形的原理求金字塔的高度。

五 水平，整合

學生能對相似形的關(guān)系進行分類，發(fā)現(xiàn)其與圖形變換間的關(guān)系，并能將判定定理與其他數(shù)學知識結(jié)合，進行較復雜的演繹推理。如：上海版中24.5例題1：根據(jù)相似的HL和AA證明對應高的比等于相似比。

由上表可以看出，相似方面，水平1，人教版略高于新加坡版，但兩者都超過上海版的2倍。水平2，新加坡超過了50%，比人教版高出近20個百分點，是上海版的2倍多；水平3，三個版本基本持平，差距不大；水平4，上海版比人教版高出近7個百分點，而新加坡版沒有水平4；水平5，只有上海版有。新加坡版的教科書各個水平分布不均衡，特別注重水平2，關(guān)注不到水平4和水平5的學生的發(fā)展；上海版除水平1略低外，其余各個水平分布相對比較均衡，教科書能關(guān)注到不同水平學生的發(fā)展，水平安排合理；人教版除水平5外，其余各水平分布比較均衡，水平安排較合理。

參考文獻

[1]梁竹.中國、新加坡初中教材平面幾何的比較研究[D].華東師范大學，2010

〔責任編輯：龐遠燕〕