考慮畸變的開口薄壁構件變形方程及其應用

摘要：

為簡化考慮截面畸變的薄壁桿件力學分析，提出一種把薄壁桿件拆分為兩個較簡單的部分分別分析、按需綜合的方法。該文重點探討截面畸變變形的效應分析：首先基于薄板小撓度彎曲理論，建立矩形板條的面外彎曲變形方程，然后適當簡化截面畸變的變形形式和平衡條件，實現(xiàn)反映開口薄壁桿件畸變和扭轉性能的“板件面外彎曲綜合抗力體系”分析，最后與另文探討的薄壁桿件“板件面內拉彎綜合抗力體系”的分析進行綜合，建立考慮截面畸變的開口薄壁桿件常微分變形方程。與目前較為常用的廣義梁理論及有線條法相比，該方法無需進行截面正交分析或假定變形沿桿長的分布。為提高方法的實用性，文中還基于該變形方程，探討了薄壁桿件單元剛度方程等矩陣位移法諸實現(xiàn)要件，據(jù)此編制的通用程序計算結論與基于殼單元的ANSYS軟件算例結論吻合良好。

關鍵詞：

薄壁結構；畸變；約束扭轉；薄板；有限桿元

中圖分類號：

TU3925； O342

文獻標志碼：A

文章編號：16744764（2015）01009608

Deformation equations of thinwalled openprofile members considering distortion and its application

Jin Sheng，Cheng Rui，Hu Jiewen，Cheng Mingyue

（School of Civil Engineering； Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P.R.China）

Abstract：

In order to simplify the analysis of thinwalled openprofile bars， a method is presented in which the analysis is split into two parts， dominated by inplane and outplane loading effects respectively. This article focuses on the outplane loading effects. Based on bending theory of thin plate with small deflection， each slab or strip is analyzed separately and the results are integrated into vectors， in which， the deformation shapes and equilibrium conditions are simplified appropriately， thus leading to the slabs outplane bending resistance system of thinwalled bars， which reflects the properties of the bars distortion and torsion. By composing the slabs inplane tensionbending resistance system and the slabs outplane bending resistance system， deformation equations of thinwalled openprofile bars considering distortion are deduced. In order to set up the finite bar element method， stiffness equation and equivalent nodal forces of internode loadings are deduced. Comparative analysis with finite shell element method indicates the high efficiency and accuracy of this method.

Key words：

thinwalled structures； distortion； constraint torsion； thin plate； finite member element

由于局部失穩(wěn)和畸變失穩(wěn)是制約開口薄壁桿件承載能力的重要因素[1]，考慮截面畸變的開口薄壁桿件分析理論受到重視。符拉索夫針對閉口截面薄壁桿件，提出可考慮截面變形的廣義坐標法[2]，目前廣泛應用于箱形梁的分析中。在薄壁桿件約束扭轉理論中，桿件不同的彎曲及扭轉變形模式下，截面軸向變形相互正交；廣義梁理論[34]對此進行推廣，提出畸變變形模式與彎曲及扭轉變形模式下的截面軸向變形也具有正交性，探索了一條薄壁桿件考慮畸變的有效分析途徑；該理論對于薄壁桿件失穩(wěn)的屈曲模態(tài)辨別能力受到廣泛重視[5]。在廣義梁理論的近期發(fā)展中，解決了當截面存在閉室、分支時的分析方法問題[6]。文獻[7]還提出了一種建立廣義梁方程的新方法，并通過構造特征值問題獲得解析解。有限條法[8]通過限定變形沿桿長分布的線型，在反映翹曲和畸變等變形因素的前提下，極大降低了問題的自由度。但由于變形沿桿長分布線型的限定性，該方法多用于桿件的屈曲[9]或振動[10]分析。有限單元法是處理薄壁桿件復雜變形和內力分布的有力工具[11]，但該方法對單元的選擇、劃分及求解方法等較為敏感，易遺漏變形模式，造成結論錯誤[12]。這就要求分析人員對薄壁桿件，特別是其畸變的力學性質和變形特點有深入的認識[13]。

由于涉及的應變因素較多，上述考慮畸變的分析方法中，結論均由能量法導出。本研究將薄壁桿件的分析拆分為分別以中面內和中面外荷載效應為主導的兩個相互獨立的部分，使得兩部分分析的應力、應變和變形條件分別得到充分簡化。在文獻[14]中探討了其中第1個部分——反映桿件的拉壓、彎曲和翹曲性質的“板件面內拉彎綜合抗力體系”，文獻[15]在該體系的基礎上提出了一種計算桿件約束扭轉的方法。本文探討組成開口薄壁桿的各板件面外彎曲的變形效應，利用矩陣運算將單肢或板條的分析進行綜合，考察截面畸變及其影響。變形方程采用靜力平衡法建立，以探討薄壁桿件畸變的分析假定、力學性質和變形特點。分析中不進行基本變形模式的選擇和正交化處理，不限定變形沿桿長分布的線型。

金聲，等：考慮畸變的開口薄壁構件變形方程及其應用

1分析模型及其簡化假定

11開口薄壁截面及其節(jié)點

圖1所示開口薄壁截面由n個板件組成，截面中線上共n+1個關鍵節(jié)點，其中（2）～（n）號是各板件截面中線的交點。為推導的簡便和一致，在關鍵節(jié)點（1）和（n+1）處分別虛設了板件0和n+1，分別垂直于板件1和n；任意實際板件i在被關鍵節(jié)點再分為寬度分別是Ubi、Mbi、Dbi的縱向板條的基礎上，可進一步沿寬度方向任意再分，截面相應設置非關鍵節(jié)點，見圖1。橫向荷載作用于各節(jié)點。

圖1開口薄壁截面及其關鍵節(jié)點和非關鍵節(jié)點

Fig.1Key nodes and other nodes of a thinwalled opensection

12板條邊界荷載條件及其變形的簡化假定

長度為l的薄壁桿，其板件i中任意一個板條ik如圖2所示，寬度為kbi，兩側邊分別編號為1和2。對該板條建立直角坐標系Oxyz，見圖2。根據(jù)薄板小撓度彎曲理論[16]，該板條側邊的荷載條件為

q1y（x）q2y（x）=D（2-ν）3x2y+3y3w（x，0）-w（x，kbi）（1）

m1y（x）m2y（x）=Dν2x2+2y2-w（x，0）w（x，kbi）（2）

A端的荷載條件為

qxA（y）=D3w（0，y）x3+（2-ν）D3w（0，y）xy2（3）

mxA（y）=-D2w（0，y）x2+ν2w（0，y）y2（4）

VA1VA2=2D（1-ν）2xyw（0，0）-w（0，kbi）（5）

圖2板條ik的邊緣荷載條件

Fig.2Loads on the edges of stripe ik

其中：D=E·ti312（1-ν2）為板件i的彎曲剛度；ti為板件i厚度；ν為泊松比；w為板件中面法線向撓度。

為簡化分析，假設該板條的任意x截面撓曲線為三次曲線，則若已知該板側邊的z向撓度w1（x）、w2（x）和x向扭角β1（x）、β2（x），可確定撓曲面方程

wx，y=1 ykbi y2kbi2 y3kbi3·

1 0 0 00 0 1 0-3 3 -2 -12 -2 1 1·w1（x）w2（x）kbi·β1（x）kbi·β2（x）（6）

雖然該板條并無板面橫向荷載，但由于橫截面線型假定，D4w通常并不為0，所以該假定相當于在板面額外施加z向分布荷載Δq（見圖3）。

Δq=D·4w（7）

其中，算子4（·）=4x4（·）+24x2y2（·）+4y4（·）。

圖3簡化假定對微段板條ik的影響

Fig.3Effects of simplifying measures on stripe ik

13節(jié)點扭角的確定及其簡化

將式（6）代入式（2），得到撓曲面簡化條件下板條ik兩側的彎矩

my1my2=D6C1b2w1w2+2C2bβ1β2+ν·C3w1w2″（8）

其中C1=1-11-1，C2=2112，C3=-1001。

將式（8）應用于薄壁桿各板件的所有板條，并綜合，得到作用在橫截面各節(jié)點的x向外彎矩所組成的列向量myc，其各元素均應為0，因此：

myc=E·（D1·vc+D2·βc+νD3·v″c）=0（9）

其中列向量vc由各板件截面的中線向位移v0～vn+1（根據(jù)相鄰板件間夾角關系，v0～vn+1唯一確定了各關鍵節(jié)點的板面法向位移）及非關鍵節(jié)點的板面法向位移組成。

由式（9）得節(jié)點的x向扭角所組成的列向量βc

βc=-D4·vc-ν·D5·v″c（10）

為方法的簡便計，略去式（10）中vc的二階項，得到βc的近似表達式

βc=-D4·vc（11）

其中

D4=D2-1·D1（12）

由式（10）簡化為式（11），對于板條ik而言，相當于忽略式中w關于x的二階偏導數(shù)項，或者相當于在板側額外施加x向彎矩（見圖3）。

Δmy1（x）Δmy2（x）=ν·D·2x2w（x，0）-w（x，kbi）（13）

在廣義梁理論中，考慮相鄰板條間變形協(xié)調條件時，采用了類似簡化措施，因此該理論在分析截面畸變翹曲與畸變橫向變形之間的關系時，未考慮板件面外縱向彎曲的影響，從而將板條交線上的扭轉角作為從自由度予以消除。因此，廣義梁理論的完備性受到部分研究人員的質疑[17]。若在廣義梁理論中取消該簡化措施，可消除該質疑；若在本文中取消該簡化措施，將致導得的變形方程（26）階次提高二階，但仍可求解?？紤]到該簡化措施帶來的誤差較小，本文不作進一步討論。

2板件面外彎曲綜合抗力體系

21板件面外彎曲綜合抗力體系的變形方程

在上節(jié)的分析中，在薄板小撓度彎曲理論的基礎上對橫截面的線型和板條間彎矩平衡條件進行了簡化，對于圖3所示長度為dx的微段板條ik，這兩個簡化措施施加了荷載Δq·dx、Δmx1·dx和Δmx2·dx，假設由該微段側邊支反力Δqx1·dx和Δqx2·dx提供平衡，則

Δqx1（x）Δqx2（x）=-Db20C4w1w2Ⅳ+b260C5β1β2Ⅳ+

2-νbC6w1w2″+2C3β1β2″（14）

其中C4=7337，C5=3-22-3，C6=-111-1。

將撓曲面方程式（6）應用于式（1），并減去式（14），得到簡化條件下該板條側邊的板面法向剪力

q1q2=Db20C4w1w2Ⅳ+b260C2β1β2Ⅳ+

2-νbC6w1w2″+ν·C3β1β2″-12b3C6w1w2+6b2CT1β1β2（15）

式（15）應用于各板件的所有板條并綜合，利用式消去扭角項，得到相應于vc的節(jié)點剪力qc

qc=E{F1·νⅣc+[（2-ν）F2+νF3]ν″c+F4·νc}（16）

式（16）就是開口薄壁桿“板件面外彎曲綜合抗力體系”的橫向變形方程。

22板件面外彎曲綜合抗力體系的端部荷載條件

與板條橫截面線型假定相適應，需要將板條端部荷載和約束條件向角點凝聚。

將式（6）應用于A端分布剪力式（3），然后向角點凝聚，并與VA1、VA2求和，得到A端剪力條件：

Q1Q2A=Db20C1w1w2A+b260C2β1β2A+

2-νbC3w1w2′A+ν·C4β1β2′A（17）

同法將A端分布彎矩向角點凝聚，得到A端彎矩條件

M1M2A=-Db20C1w1w2″A+b260C2β1β2″A+

νbC3w1w2A+ν·C4β1β2A（18）

式（17）、（18）分別應用于所有板條，綜合得到板件面外彎曲綜合抗力體系A端的荷載條件

QAc=EF1·vAc+[（2-ν）F2+ν·F3]·vA′c（19）

MAc=-EF1·vA″c+ν（F2+F3）·vAc（20）

同法得到B端的荷載條件

QBc=-E{F1·vBc+[（2-ν）F2+ν·F3]·vB′c}（21）

MBc=EF1·vB″c+ν（F2+F3）·vBc（22）

3開口薄壁桿的變形方程和桿端力

前面所討論的“板件面外彎曲綜合抗力體系”中并未考慮各板件的面內變形剛度，而文獻[14]則探討了后者的分析，兩者結論的綜合可得到薄壁桿件各種變形情況下應力和荷載的完整分析結論。

31考慮畸變的開口薄壁桿件變形方程

開口薄壁桿板件面內拉彎綜合抗力體系的橫向變形方程是[14]

q=E·J·vⅣ（23）

桿端反力是

QA=E·J·vA，QB=-E·J·vB（24）

MA=-E·J·v″A，MB=E·J·v″B（25）

綜合兩種抗力體系的變形方程（23）、（16），得到開口薄壁桿的橫向變形方程

qc=E{F5vⅣc+[（2-v）F2+vF3]v″c+F4vc}（26）

這是一個Sn+1元四階常微分方程（橫截面的節(jié)點總數(shù)計為Sn）。其中，F(xiàn)5由J和F1按元素對應關系迭加得到。

另外，桿件的縱向變形方程來自板件面內拉彎綜合抗力體系的分析[14]。

′=EA（27）

32變形方程應用舉例

文獻[18]、[19]采用廣義梁理論計算了截面如圖4所示的簡支梁跨中處的變形和內力，梁長1 200 mm，壁厚3 mm，頂部作用有滿跨均布線荷載q=001 kN/mm，材料彈性模量E=210 kN/mm2，泊松比ν=03。將式（26）應用于該例，并考慮邊界條件，可得到一致結論。

圖4簡支梁的截面尺寸及跨中位移

Fig.4Deflections of crosssection at the midspan of a simplysupported beam

首先根據(jù)截面尺寸：確定式（26）中各系數(shù)矩陣（簡潔起見，將各板件視為單獨板條，不予再分）；然后確定邊界條件：由于兩端簡支，并注意到式（20）、（22）和（25），端截面位移vc及其二階導數(shù)均應為0；最后采用MATLAB求解該常微分方程邊值問題，得到vc及其各階導數(shù)沿桿長的分布?？缰薪孛娴膙0～ v5示于圖4，可據(jù)此得到各節(jié)點的面內位移，與文獻[18]、[19]中的廣義梁理論結論一致；該截面的v″1～v″4依次為-2606×10-6、6509×10-6、-6509×10-6、2606×10-6，根據(jù)文獻[14]中式（33），可知該簡支梁跨中截面各節(jié)點的正應力滿足

σ=-E·JT5·{ v″1v″2v″3v″4}T（28）

其中：

J5=-555555-80-80404040-40-40-408080-5-5-5-555（29）

因此節(jié)點正應力與文獻[18]、[19]中的廣義梁理論結論也是一致的。

對比兩種方法的分析過程可以發(fā)現(xiàn)，作為廣義梁理論核心措施的截面變形模式分析，其效果是通過系數(shù)矩陣對角化對式解耦，該措施有利于方程的求解，特別在是手算條件下。但系數(shù)矩陣對角化并非求解線性方程的最有效方式，特別是以計算機作為求解工具時。而本文的方法則只需根據(jù)截面尺寸就可直接構造變形方程系數(shù)矩陣，無需較為繁瑣的系列模式正交分析及其數(shù)據(jù)抽象，其求解則可交由成熟有效的數(shù)學計算工具完成。

33考慮畸變的開口薄壁桿件桿端力

綜合兩體系的桿端反力（19）～（22）及（24）、（25），得到桿端橫向力

f=E（F6·δ+F7·λ）（30）

其中：

f=MAcQAcMBcQBc，δ=vA′cvAcvB′cvBc，λ=vAcvA″cvBcvB″c（31）

F6=

ν·0-F2-F3002-ννF2+F3000000F2+F300ν-2νF2-F30（32）

F7=0-F500F5000000F500-F50（33）

桿端縱向力來自板件面內拉彎綜合抗力體系的分析：

AB=EAl1-1-11AB（34）

根據(jù)變形方程（26）、（27）以及桿端力與位移的關系、，可確定任意荷載和桿端約束條件下桿件的變形、內力以及反力。

4開口薄壁桿件單元分析

在考慮截面畸變的情況下，由于未知量較多，桿件變形方程求解有一定難度，為此，編制了通用計算程序以提高其實用性。

為使本方法能融入常用桿系結構計算體系，程序的核心是薄壁桿件單元矩陣位移法的實現(xiàn)。為提高方法的準確性，并不預設而是直接采用MATLAB求解微分方程所得到的數(shù)值形函數(shù)?；诔绦虻幕居嬎氵^程是：

首先根據(jù)截面尺寸及板件的再分方式，生成式（26）中諸系數(shù)矩陣，然后利用該方程建立單元剛度矩陣并計算結間荷載的等效結點力，最后在整體剛度方程求解結論的基礎上，確定單元的變形和內力分布。

在有限元法中，桿件單元分析的任務是：1）建立單元剛度方程；2）計算結間荷載的等效結點力；3）在整體分析結論的基礎上，確定單元的變形和內力分布。這些任務的基本實現(xiàn)措施簡要說明如下：

41單元分析的措施

首先對變形微分方程進行降階。通過構造薄壁桿的廣義橫向位移函數(shù)列向量g（x），可將Sn+1元四階常微分方程（26）轉化為4Sn+4元一階常微分方程

令：gx=v′c（x）vc（x）vc（x）v″c（x），則：g′x=

0 0 0 II 0 0 00 -F5-1F40 -F5-12-νF2+ν·F30 0 I 0·gx+1E00F5-1qc0（35）

對應于單元分析的3個任務：1）在式（35）中，令qc=0，使之成為齊次方程，求解可得薄壁桿件的單元剛度方程；2）qc≠0時，根據(jù)固端桿的端部位移條件，求解非齊次方程（35），得到qc的等效端部力。3）根據(jù)已知的端部位移條件，求解方程（35），得到廣義橫向位移函數(shù)沿桿長的分布，從而確定單元的變形和內力分布情況。

42開口薄壁桿的單元剛度方程

任意選取4Sn+4組線性無關的初值向量1～4Sn+4gA，采用RoungKutad等數(shù)值方法，確定齊次方程相應的4Sn+4組解函數(shù)列向量1～4Sn+4g（x），記它們所組成的函數(shù)陣為

Γ（x）=1g（x）…4Sn+4g（x）（36）

因ΓA各列向量（即1～4Sn+4gA）線性無關，Γ（x）和ΓB各列向量均分別線性無關。

對于線性問題，廣義橫向位移函數(shù)在兩端的值之間具有線性轉換關系，記為

λ=F8·δ（37）

根據(jù)式（31）可知，桿端變形列向量δ和λ由gA和gB的元素組成，因此，把ΓA和ΓB代入上式，得到轉換關系矩陣

F8=1λ…4Sn+4λ·Ψ-1（38）

其中：

Ψ=1δ…4Sn+4δ（39）

把式（37）代入式（30），得到桿端橫向力與橫向位移間的關系

f=E·F·δ（40）

其中：

F=F6+F7·F8（41）

綜合式（40）和（34），得到考慮畸變的開口薄壁桿單元剛度方程

AMAcQAcBMBcQBc=EA/l0-A/l00FUL0FUR-A/l0A/l00FDL0FDRAvA′cvAcBvB′cvBc（42）

式（42）中，2Sn+2階方陣FUL、FUR、FDL、FDR是F的分塊矩陣

F=FULFURFDLFDR（43）

43結間荷載的等效節(jié)點力及廣義橫向位移函數(shù)沿桿長的分布

任選一組始端條件0gA，求解非齊次方程（35），得到廣義位移函數(shù)沿桿長的分布0g（x），特別的，在末端的值0gB。根據(jù)式（30），此時桿端力是

0f=E（F6·0δ+F7·0λ）（44）

對于無結間荷載的固端桿，當桿端位移為Ⅰδ=-0δ時，根據(jù)式，可知桿端力為

Ⅰf=-E·F·0δ（45）

桿端位移Ⅰδ在以Ψ的各列向量為基的空間中的坐標是Ψ-1·Ⅰδ，此時，廣義橫向位移函數(shù)Ⅰgx在以Γ（x）各列向量為基的函數(shù)空間中的坐標與之相同，因此

Ⅰgx=-Γ（x）·Ψ-1·0δ（46）

綜上可知，對于作用有橫向荷載q的固端桿（桿端位移δ=0），桿端力是

Ⅱf=0f+Ⅰf=E·F7（-F8·0δ+0λ）（47）

廣義橫向位移函數(shù)是

Ⅱg=0g+Ⅰg=0g-Γ（x）·Ψ-1·0δ（48）

可見橫向荷載q的等效結點力是

fq=-Ⅱf=E·F7（F8·0δ-0λ）（49）

而作用有結間橫向荷載q，且桿端位移為δ的桿件單元的廣義橫向位移函數(shù)是

g=Γ（x）·Ψ-1·δ+Ⅱg=0g+Γ（x）·Ψ-1（δ-0δ）（50）

根據(jù)其向量構成，可知廣義橫向位移函數(shù)描述了位移、內力等沿桿長的分布。

上述計算過程具有通用性，可予以程序化，已采用MATLAB實現(xiàn)。整體剛度方程的合成和求解無特殊性，不再贅述。

5實例對比分析

圖5所示懸臂開口薄壁桿，長度l=6 m，壁厚t=10 mm，橫截面尺寸示于圖6，在自由端橫截面開口側和距自由端25 m的橫截面關鍵節(jié)點（2）處，分別作用有平行于y軸的集中荷載Q=50 kN，板件2表面垂直作用有沿其寬度等分線均勻分布的線荷載q=5 kN/m。材料彈性模量E=206 kN/mm2，泊松比ν=03。采用本文所介紹的方法和通用有限元分析軟件ANSYS分別分析該桿件，并對比兩者結論。

圖5懸臂開口薄壁桿

Fig.5A thinwalled openprofile cantilever

圖6懸臂桿橫截面尺寸及節(jié)點設置

Fig.6Dimensions and nodes of the crosssection

在ANSYS中，采用三維殼單元Shell63離散該桿件，沿長度方向等分為120段，沿各板件截面寬度方向分別等分為8段。

在本文的方法中，根據(jù)荷載情況，將桿件劃分為長度分別是25、35 m的兩個桿件單元，實施桿系結構有限元分析并計算各單元內力和位移分布，方法如前所述。在分析中，對板件2和3分別采用一個非關鍵節(jié)點沿寬度方向各等分為兩個縱向板條（詳圖6），對板件1和4未作再分。

兩種方法所得到的桿件整體變形一致，示于圖7?？扇芜x縱、橫向斷面，對位移、應力、應變等項沿桿長或橫截面中線的分布作細化對比，如圖8～11。

圖7桿件變形軸測圖

Fig.7Axonometric drawings of the deformed cantilever

圖8關鍵節(jié)點（1）縱向位移沿桿長的分布

Fig.8Longitudinal displacements of key node（1） along span

圖9自由端截面的板面法向位移展開圖

Fig.9Normal displacements along midline of freeend crosssection

圖9、11的橫坐標是沿橫截面中線的曲線坐標，坐標軸上標出了各關鍵節(jié)點及其相應坐標值。圖9的各段曲線彎曲程度反映了截面各板件的畸變情況。因為本方法假定板件橫截面中線上的正應變線性分布，所以在桿端和集中荷載作用點處的應變結論與ANSYS略有出入（圖10），符合預期。圖8～11的細化對比表明本文所所提出的方法準確度較高。

圖10關鍵節(jié)點（2）正應變沿桿長的分布

Fig.10Normal strains of key node（2） along span

圖11固端截面中線正應力展開圖

Fig.11Normal stresses along midline of fixed end

對比表明，較之基于殼單元的有限元法，本文所實現(xiàn)的考慮畸變的桿件有限元法在保持了較高的適用性和準確性的同時，還具有建模簡便，計算規(guī)模小、效率高的特點。

6結論

從薄板小撓度彎曲理論出發(fā)，探討了開口薄壁桿的板件面外彎曲綜合抗力體系；綜合板件面內拉彎綜合抗力體系與板件面外彎曲綜合抗力體系，導出考慮畸變的開口薄壁桿件變形控制方程。在此基礎上，推導了桿系有限元法諸實現(xiàn)要件，如單元剛度方程，等。針對作用有復雜荷載的具體實例，與基于殼單元的ANSYS分析結論進行了對比。得到如下結論：

1）薄壁桿件的分析可以拆分為分別以薄壁中面內荷載效應和中面外荷載效應為主導的兩個相互獨立的部分，使兩部分分析的應力、應變及變形條件得到充分簡化，有利于對薄壁桿件的翹曲、畸變等變形因素形成更明確、直接的認識。

2）板件面外彎曲綜合抗力體系反映了開口薄壁桿件的畸變和扭轉性能。

3）本文所推導的開口薄壁桿件單元剛度方程中的桿端位移與荷載列向量的物理意義明確具體，便于桿件有限元整體分析的實施。

4）在板件組合型開口薄壁桿的分析中，假設各板件縱向位移沿橫截面中線方向線性分布，并適當簡化截面畸變的變形形式和平衡條件，能有效降低計算規(guī)模，且滿足工程精度要求。

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（編輯王秀玲）