幾何綜合測試卷

一、填空題

1.已知a，b是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，給出下列命題：

①若α∥β，aα，則a∥β；

②若a∥α，b∥α，則a∥b；

③若α⊥β、β⊥γ，則α∥γ；

④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.

其中正確的命題的序號是 .

2.離心率為53且與橢圓y240+x215=1有公共焦點的雙曲線方程為 .

3.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為 .

4.設(shè)過拋物線x2=py（p≠0）的焦點的一條直線和拋物線有兩個交點，且兩交點的橫坐標為x1，x2，則x1x2= .

5.已知橢圓x24+y23=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左右焦點，P為橢圓上一點，若PF2=32，則PF1= .

6.若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，它的焦點到漸近線的距離等于1，則該雙曲線的方程為 .

7.設(shè)橢圓與雙曲線y2-3x2=3共焦點，且經(jīng)過點（2，2），則該橢圓的離心率為 .

8.已知單位圓被兩條平行直線l1：x-y+a=0，l2：x-y+b=0分成四段長度相等的圓弧，則a2+b2= .

9.若圓C過直線2x+y+4=0和圓（x+1）2+（y-2）2=4的交點，則圓C面積的最小值為 .

10.如圖，點A是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）右頂點，過橢圓中心的直線交橢圓于B、C兩點，滿足BC=2AB，AB⊥BC.則該橢圓的離心率為 .

11.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x2+y2-ay-6=0（a>0）的公共弦長為23，則a= .

12.已知圓M：x2+y2=92，直線l：x+y-3=0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B、C，使得∠BAC=90°，則點A的橫坐標的取值范圍是 .

13.△PAB中，AB=4，PA=3PB，則該三角形面積的最大值為 .

14.已知A為橢圓x24+y22=1上一點，B為直線l：y=2上一點，O為坐標原點，OA⊥OB，則線段AB長的最小值為 .

二、解答題

15.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點E是棱DD1的中點.

（1）求證：BD1∥平面EAC；

（2）若平面EAC⊥平面AB1C，求AA1AB的值.

16.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）左、右焦點，A是橢圓C的上頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，且滿足∠F1AF2=90°.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若△ABF1面積為4，求橢圓C的標準方程.

17.有一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路（中間有護欄隔開），其截面是由一長方形ABCD和一以CD為直徑的半圓弧構(gòu)成，如圖所示.已知AB=10m，AD=2m.要保證安全，要求車輛（車輛截面設(shè)為矩形）頂部在豎直方向距離隧道頂部的距離和車輛距離護欄距離均不小于05m.（護欄寬度忽略不計）

（1）在如圖所示的平面直角坐標系中，求半圓弧CED所在圓的方程；

（2）問現(xiàn)有一輛載重汽車寬3.5m，高4.2m，能否保證安全通過隧道？

18.已知圓E經(jīng)過三點A（2，1）、B（3，0），且點C（m，0）在線段OB上（不含端點）.

（1）求圓E的方程；

（2）過點P（0，2m）的直線與圓E相切與點為Q，求線段PQ長度的取值范圍.

19.設(shè)橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）經(jīng)過點（0，3），離心率為12，左右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

（1）求橢圓M方程；

（2）若直線l：y=kx與橢圓M交于A，B兩點，與以F1O為直徑的圓交于C，O兩點，且滿足|AB||CO|=6155，求直線l的方程.

20.如圖（1），在平面直角坐標系xOy中，離心率為的e橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.已知點（2，2e）在橢圓上，點A1、B1分別為橢圓的右頂點和上頂點，從橢圓上一點M向x軸作垂線，垂足為焦點F1，且MF2∥A1B1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)的點，如圖（2），點P關(guān)于原點O的對稱點為A，點P關(guān)于x軸的對稱點為Q，線段PQ與x軸交于點C，CD=12DQ，若直線AD與橢圓C的另一個交點為B，試判斷直線PA、PB是否互相垂直，并證明你的結(jié)論.

理科選做題

21.已知E，F(xiàn)是正方體ABCDA1B1C1D1的棱CD和AD上的點，CE=ED，DF=2FA，求：

（1）B1A與EF所成角的余弦；

（2）試在直線B1B上確定一點M，使得二面角D1EFM為直二面角.

22.在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內(nèi)的動點，且滿足PM·PF=0，PM+PN=0.

（1）求動點N的軌跡C的方程；

（2）設(shè)點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設(shè)切線QS，QT的斜率分別為k1，k2，直線QF的斜率為k0.求證：k1+k2=2k0.

參考答案

一、填空題

1. ①④

2. y29-x216=1

3. 1256π

4. -p24

5. 52

6. 3x2-y2=1

7. 22

8. 2

9. 4π5

10. 63

11. 2

12. [0，3]

13. 43

14. 8

二、解答題

15.解：（1）連BD交AC于點O，連EO.則O為BD的中點.

∵E為DD1的中點，

∴OE∥BD1.

∵OE面EAC，BD1面EAC，

∴BD1∥面EAC.

（2）連B1O，則B1A=B1C，又O為AC的中點，

∴B1O⊥AC.

∵平面EAC⊥平面AB1C，平面EAC∩平面AB1C=AC，B1O平面AB1C，

∴B1O⊥平面EAC.

∵EO平面EAC，

∴B1O⊥EO.

∴△ODE∽△B1BO，

∴DOED=B1BBO，從而12AB2=12B1B2，

∴AA1AB=1.

16.（1）因為∠F1AF2=90°，

所以b=c，

所以a=2c，

所以e=22.

（2）y=-x+cx2+2y2=2c2

得B（43c，-c3），

S△ABC=12F1F2|yA-yB|=c×4c3=4，

c2=3，

所以橢圓的標準方程為x26+y23=1.

17.（1）由題意可知圓的半徑為5，圓心在坐標原點，

所以半圓弧所在圓的方程為x2+y2=25.

（2）當x=4時，y=3，

這時距離底部5米，

大于4.2+0.5=4.7米，

所以能通過隧道.

18.（1）圓心的橫坐標為m+32，

AB的中垂線為y=x-2，

所以圓心E的坐標為（m+32，m-12），

半徑為r=（3-m2）2+（m-12）2=m2-4m+52，

（x-m+32）2+（y-m-12）2=m2-4m+52，

即x2-（m+3）x+y2-（m-1）y+3m=0.

（2）PQ2=PE2-r2=2m2+5m，

又因為0

0

所以PQ的長度的取值范圍為（0，33）.

19.解：由題意可知b=3，ca=12，

所以a=2，b=3，c=1，

所以橢圓的標準方程為x24+y23=1.

（2）以F1O為直徑的圓的方程為x2+x+y2=0，

y=kxx2+x+y2=0，

解得xc=-11+k2，

y=kx3x2+4y2=12，

解得xA，xB=±123+4k2，

ABCO=2123+4k211+k2，

（ABCO）2=48（1+k2）23+4k2=1085，

20k4+4k2-7=0，

解得k2=12或k2=-710（舍），

所以直線方程為y=±22x.

20.解：（1）因為M的橫坐標為-c，

則M（-c，b2a），

因為MF2∥B1A1，

所以b2a2c=ba，

所以e=55，

又因為點（2，255）在橢圓上，

45c2+454c2=1，

解得：c=1，

所以橢圓的標準方程為x25+y24=1.

（2）設(shè)P點坐標為（x0，y0），B點坐標為（xB，yB），則A點坐標為（-x0，-y0），Q點坐標為（x0，-y0），D點坐標為（x0，-y03），

kAB·kPB=yB+y0xB+x0·yB-y0xB-x0=y2B-y20x2B-x20，

又因為y2B4=1-x2B5，y204=1-x205，

kBA·kPB=-45，

kBA=kDA=-y03-（-y0）x0-（-x0）=y03x0=13kPA，

kPA·kPB=-125，

所以直線PA、PB不垂直.

21.解：設(shè)正方體的棱長為6，以A為坐標原點，直線AB，AD，AA1分別為x，y，z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標系.

（1）A（0，0，0），B1（6，0，6），E（3，6，0），F(xiàn)（0，2，0），

所以B1A=（-6，0，-6），EF=（-3，-4，0），

所以cos〈B1A，EF〉=1862·5=3210.

所以B1A與EF所成角的余弦為3210.

（2）D1（0，6，6），EF=（-3，-4，0），F(xiàn)D1=（0，4，6），B1A=（-6，0，-6），

設(shè)平面D1EF的一個法向量為n=（x，y，z）.

則n·EF=0n·FD1=03x+4y=04y+6z=0，

令y=-3，則x=4，z=2，

所以平面D1EF的一個法向量為n=（4，-3，2）.

設(shè)面EFM的法向量為m=（p，q，r），

設(shè)M（6，0，m），則FM=（6，-2，m），而EF=（-3，-4，0），

所以6p-2q+mr=03p+4q=0，

令p=-4，則q=3，r=30m，

所以面EFM的一個法向量為m=（-4，3，30m）.

要使二面角D1EFM為直二面角，

必須m·n=-25+60m=0，

∴m=125.

故當M在B1B上且滿足BMBB1=25時，二面角D1EFM為直二面角.

22.解：（1）設(shè)點N（x，y），M（a，0），P（0，b）.

由PM+PN=0可知，點P是MN的中點，

所以a+x2=0，0+y2=b，即a=-x，b=y2，

所以點M（-x，0），P（0，y2）.

所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）.

由PM·PF=0，可得-x+y24=0，即y2=4x.

所以動點N的軌跡C的方程為y2=4x.

（2）設(shè)點Q（-1，t），

由于過點Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y2=4x相切，

聯(lián)立方程y2=4xy-t=k（x+1），整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0.

則Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，

化簡得k2+tk-1=0.

顯然，k1，k2是關(guān)于k的方程k2+tk-1=0的兩個根，所以k1+k2=-t.

又k0=-t2，故k1+k2=2k0.

所以命題得證.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）