立體幾何中的易錯(cuò)點(diǎn)剖析

立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是歷屆高考命題的熱點(diǎn).求解立體幾何問題時(shí)，常因概念不清晰，理解不透徹，盲目地套用性質(zhì)定理等導(dǎo)致錯(cuò)解.

一、概念不清導(dǎo)致錯(cuò)解

例1 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面；

（2）經(jīng)過同一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面；

（3）首尾順次相接的四條線段在同一平面內(nèi).

錯(cuò)解：（1）正確.錯(cuò)因：忽視公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)條件.

（3）正確.錯(cuò)因：空間四邊形的四條邊不共面.

正解：（1）不正確.如果點(diǎn)在直線上，這時(shí)有無數(shù)個(gè)平面；如果點(diǎn)不在平面上，在已知直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，由公理2知有唯一一個(gè)平面.

（2）正確.經(jīng)過同一點(diǎn)的兩條直線是相交直線，能確定一個(gè)平面.

（3）不正確.四邊形中三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，而第四點(diǎn)不一定在此平面內(nèi)，因此這四條線段不一定在同一平面內(nèi).

例2 給出下列幾種說法：

（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

（3）過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；

（4）過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與該平面平行.

其中正確說法的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解一：認(rèn)為（1）正確，沒有考慮已知點(diǎn)在直線上的情形；

錯(cuò)解二：認(rèn)為（2）正確，沒有在空間考慮問題，還是局限于初中平面幾何的思維方式；

錯(cuò)解三：認(rèn)為（3）正確，沒有正理解線面平行的定義.

正解：（1）當(dāng)點(diǎn)在已知直線上時(shí)，不存在過該點(diǎn)的直線與已知直線平行，故（1）錯(cuò)；

（2）由于垂直包括相交垂直和異面垂直，因而過一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無數(shù)條，故（2）錯(cuò)；

（3）過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的直線有無數(shù)條，故（3）錯(cuò)；

（4）過平面外一點(diǎn)與已知平面平行的平面有且只有一個(gè)，故（4）對(duì).

二、定義理解不清導(dǎo)致錯(cuò)解

例3 四面體ABCD中如圖所示，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若BD，AC所成的角為60°，且BD=AC=1，求EF的長(zhǎng)度.

錯(cuò)解：取AD中點(diǎn)O，連OE，OF，直接由條件得∠EOF=60°得EF=OE=OF=12.

錯(cuò)因分析：沒有真正理解兩異面直線所成角的定義，∠EOF可能是BD，AC所成的角或其補(bǔ)角.在解題過程中，通過直線的平移得到角，只有銳角或直角才是兩異面直線所成的角.

正解：取AD中點(diǎn)O，連OE，OF，

∵OE∥BD，OF∥AC，

∴OE與OF所成的銳角或直角，即為BD，AC所成的角，而BD，AC所成的角為60°，所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.

當(dāng)∠EOF=60°時(shí)，EF=OE=OF=12.

當(dāng)∠EOF=120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)M，

則OM⊥EF，EF=2EM=2×34=32.

三、忽視判定定理中的條件導(dǎo)致錯(cuò)解

例4 已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn).

求證：平面BDF∥平面B1D1E.

錯(cuò)解：錯(cuò)解一：漏掉解題過程中的BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E.

錯(cuò)解二：漏掉解題過程中的BF∩BD=B.

錯(cuò)因分析：缺一不可，應(yīng)用判定定理時(shí)需把條件羅列完全.

錯(cuò)解二：忽視了面面平行的判定定理中有五個(gè)條件，也是缺一不可，若沒有兩”相交”直線這個(gè)條件，不一定有面面平行，也可能相交.

正解：如圖，取BB1的中點(diǎn)G，連接EG，GC1，則有EG

A1B1，A1B1

C1D1，∴EG

C1D1，四邊形EGC1D1是平行四邊形.

∴D1E

GC1，

又∴BG

C1F，

∴BF∥C1G，∴BF∥D1E，又BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E，∴BF∥平B1D1E.

又∵BD∥D1B1，同理可得BD∥平面B1D1E，

又BF∩BD=B，

由平面與平面平行的判定定理得：平面BDF∥平面B1D1E.

四、盲目地套用性質(zhì)定理導(dǎo)致錯(cuò)解

例5 如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形BED1F是平形四邊形.

錯(cuò)解：平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由面面平行的性質(zhì)定理得D1E∥FB，

同理EB∥FD1，所以四邊形BED1F是平形四邊形.

錯(cuò)因分析：主要錯(cuò)誤在于沒有確定B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)是否滿足面面平行的性質(zhì)定理的條件，盲目地套用性質(zhì)定理.

正解：如圖所示，取D1D的中點(diǎn)G連接EG，GC.

∵E是AA1的中點(diǎn)，G是D1D的中點(diǎn)，

∴EG

AD.由正方體性質(zhì)知BC

AD，∴EG

BC，

所以四邊形EGCB是平形四邊形，∴EB

GC ①

又∵G，F(xiàn)分別是D1D，CC1的中點(diǎn)，∴D1G

FC，

四邊形是D1GCF平形四邊形，∴D1F

GC ②

由①②得EB∥D1F. ③

又平面A1ADD1∥平面B1BCC1，

平面EBFD1∩平面A1ADD1=ED1，

平面EBFD1∩平面B1BCC1=BF，

∴ED1∥BF， ④

由③④得，四邊形BED1F是平形四邊形.

例6 已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如圖所示，求證：PA⊥平面ABC.

錯(cuò)解：在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)作平面ABC的垂線DG，平面PAC的垂線DF.

錯(cuò)因分析：不能說作平面的垂線，在一個(gè)平面內(nèi)作另一個(gè)平面的垂線，若兩個(gè)平面不垂直，則不能作出，若兩個(gè)平面垂直，只需作交線的垂線即可.

正解：如圖所示，在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，

作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G，

∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC=AC，∴DF⊥平面PAC，

∵PA平面PAC，

∴PA⊥DF.

同理可證：PA⊥DG，DF∩DG=D，且DF平面ABC，DG平面ABC，

∴PA⊥平面ABC.