簡(jiǎn)化圓錐曲線運(yùn)算的幾種數(shù)學(xué)思想

一、整體思想

對(duì)有些圓錐曲線問(wèn)題，注意其整體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)法將問(wèn)題整體變形轉(zhuǎn)化，以達(dá)到避免一些不必要的運(yùn)算，降低解題難度.

例1 已知F1（-c，0）、F2（c，0）是橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

圓F2是以F2為圓心，c為半徑的圓.若點(diǎn)P（-1，32）在橢圓上，線段PF2的中點(diǎn)在y軸上.

（1）求橢圓M的方程；

（2）如圖，過(guò)F2且斜率為正數(shù)的直線l與橢圓M交于A，D兩點(diǎn)，與圓F2交于B，C兩點(diǎn)（A、B、C、D自下而上），且AB=5CD，求直線l的方程.

解：（1）由已知，c=1，1a2+94b2=1，a2=b2+c2，解得a2=4b2=3.

∴橢圓M的方程為x24+y23=1.

（2）設(shè)直線l的斜率為k，（k>0），A（x1，y1），

D（x2，y2），

則l的方程為y=k（x-1），

x24+y23=1y=k（x-1）（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=8k24k2+3，①

x1x2=4k2-124k2+3，②

∵AB=5CD，

∴AF2-1=5（DF2-1），∴AF2=5DF2-4，

∴12（4-x1）=52（4-x2）-4，

∴x1=5x2-8，③

聯(lián)立①②③，得k2=3，又∵k>0，∴k=3.

二、方程思想

把圓錐曲線問(wèn)題中的解析式看作一個(gè)方程，通過(guò)解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯?，使?wèn)題得到解決，這種思想方法在解析幾何試題中經(jīng)常使用.

例2 已知雙曲線C：（1-a2）x2+a2y2=a2（a>1），設(shè)該雙曲線上支的頂點(diǎn)為A，且上支與直線y=-x相交于P點(diǎn)，一條以A為焦點(diǎn)，M（0，m）為頂點(diǎn)，開(kāi)口向下的拋物線通過(guò)點(diǎn)P，設(shè)PM的斜率為k，且14≤k≤13，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由雙曲線方程知A（0，1），則拋物線方程為x2=-4（m-1）（y-m），由雙曲線與直線相交，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，a），又因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以

a2=-4（m-1）（a-m） ①

而MP的斜率為k=m-aa，所以m=ak+a，

將m=ak+a代入①，

得a2=-4（ak+a-1）（-ak），

即4ak2+4（a-1）k-a=0 ②

根據(jù)題意，方程②在區(qū)間[14，13]上有實(shí)根，

令f（k）=4ak2+4（a-1）k-a，其對(duì)稱軸方程為k=1-a2a<0，

所以f（14）≤0f（13）≥0127≤a≤4，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[127，4].

三、極端思想

通過(guò)考查圓錐曲線問(wèn)題的極端元素，靈活地借助極限狀態(tài)解題，則可以避開(kāi)抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程，降低解題難度.這是簡(jiǎn)化運(yùn)算量的一條重要途徑.

例3 求已知離心率e=25，過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線l：2x-y+3=0相切于點(diǎn)（-23，53），長(zhǎng)軸平行于y軸的橢圓方程.

解：把點(diǎn)（-23，53）看作離心率e=25的橢圓（x+23）2+15（y-53）2=0（“點(diǎn)橢圓”），則與直線l：2x-y+3=0相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過(guò)直線l與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓系方程為：（x+23）2+15（y-53）2+λ（2x-y+3）=0，

又由于所求的橢圓過(guò)點(diǎn)（1，0），代入上式得，λ=-23，

因此，所求橢圓方程為：x2+y25=1.

四、補(bǔ)集思想

有些圓錐曲線問(wèn)題，從正面處理較難，常需分類討論，運(yùn)算量大，且討論不全又容易出錯(cuò)，如用補(bǔ)集思想考慮其對(duì)立面，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的.

例4 k為何值時(shí)，直線l：y-1=k（x-1）不能垂直平分拋物線y2=x的某弦.

解：設(shè)I={k|k∈R}，A={k|直線l垂直平分拋物線y2=x的某弦}.若直線l垂直平分拋物線的弦AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則y21=x1，y22=x2，

上述兩式相減得：（y1-y2）（y1+y2）=x1-x2，

即-1k=y1-y2x1-x2=1y1+y2.

又設(shè)M是弦AB的中點(diǎn)，且M（x0，y0），

則y0=y1+y22=-k2，

因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l上，所以x0=12-1k.

由于M在拋物線的內(nèi)部，所以y20

即（-k2）2<12-1kk3-2k+4k<0

（k+2）（k2-2k+2）k<0-2

故原命題中k的取值范圍是k≤-2或k≥0.

五、函數(shù)思想

對(duì)于圓錐曲線問(wèn)題上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，此時(shí)，用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來(lái)十分方便.

例5 直線m：y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)P（-2，0）和AB線段的中點(diǎn)M，求l在y軸上的截距b的取值范圍.

解：由y=kx+1x2-y2=1（x≤-1）消去y得（k2-1）x2+2kx+2=0，由題意，有：

Δ=4k2+8（1-k2）>0x1+x2=2k1-k2<0x1x2=-21-k2>01

設(shè)M（x0，y0），則x0=x1+x22=k1-k2y0=kx0+1=11-k2.

由P（-2，0）、M（k1-k2，11-k2）、Q（0，b）三點(diǎn)共線，可求得b=2-2k2+k+2，

設(shè)f（k）=-2k2+k+2=-2（k-14）2+178，

則f（k）在（1，2）上為減函數(shù).

所以f（2）

所以-（2-2）2.

六、參數(shù)思想

處理圓錐曲線問(wèn)題，可以通過(guò)引入?yún)⒆兞刻鎿Q，使許多相關(guān)或不相關(guān)的量統(tǒng)一在參變量下，其妙處在于減少未知量的個(gè)數(shù)或轉(zhuǎn)化原命題的結(jié)構(gòu)，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的.

例6 當(dāng)a為何實(shí)數(shù)時(shí)，橢圓（x-a）22+y2=1與曲線C：y2=12x有公共點(diǎn)？

解：橢圓方程變形為：（x-a2）2+y2=1，

設(shè)x-a2=cosθ，y=sinθ，即x=a+2cosθ，y=sinθ代入曲線C得：

sin2θ=12（a+2cosθ），

即a=2sin2θ-2cosθ （1）

橢圓與曲線C有交點(diǎn)，等價(jià)于方程（1）有解，即等價(jià)于函數(shù)y=2sin2θ-2cosθ的值域，

所以a=2sin2θ-2cosθ=94-2（cosθ+24）2，

因?yàn)?2≤94-2（cosθ+24）2≤94，所以a的取值范圍是[-2，94].

七、轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程，實(shí)際上就是問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程.它主要體現(xiàn)在條件由“隱”轉(zhuǎn)化為“顯”，結(jié)論由“暗”轉(zhuǎn)化為“明”，即從陌生向熟悉、復(fù)雜向簡(jiǎn)單、間接向直接的過(guò)程.

例7 設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3∶1.在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解：設(shè)圓的圓心為P（a，b），半徑為r，由①知r2=a2+1；由②知，圓P截x軸所得劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，即圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為2r，故有r2=2b2，消去r得圓心的軌跡為：2b2-a2=1.

如何求圓心P（a，b）到直線l：x-2y=0的距離d=|a-2b|5的最小值，這樣轉(zhuǎn)化為從不同角度求條件最值問(wèn)題.

轉(zhuǎn)化1：變量替換求最值

∵2b2-a2=1，∴（2b+a）（2b-a）=1，

設(shè)2b+a=t（t≠0），則有2b-a=1t，解得2a=t-1t，22b=t+1t，所以有

d=|a-2b|5=|（t-1t）-2（t+1t）|25

=|（2-1）t+（2+1）1t|25

=（2-1）t+1（2-1）t25≥55，

當(dāng)且僅當(dāng)（2-1）|t|=1（2-1）|t|，即|t|=2+1時(shí)，d達(dá)到最小值.此時(shí)可求得a=b=1或a=b=-1.

由于r2=2b2，故r=2.于是所求圓的方程是：

（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.

轉(zhuǎn)化2：三角代換求最值

令2b=1cosθ，a=tanθ，0≤θ≤2π，

則d=|a-2b|5=2-sinθ5|cosθ|sinθ±5dcosθ=2，

所以1+5d2sin（θ±φ）=2，

由sin（θ±φ）=21+5d2≤1，得d≥55，

當(dāng)d達(dá)到最小值55時(shí)，sin（θ±φ）=1，從而φ=±π4，并由此解得θ=π4或θ=3π4，

即a=b=1或a=b=-1，以下同解法1.

轉(zhuǎn)化3：判別式法求最值

由d=|a-2b|5得a-2b=±5b，

即a2=4b2±45bd+5d2 ①

將a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±45bd+5d2+1=0 ②

把它看作b的一元二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即

Δ=8（5d2-1）≥0，得5d2≥1，

所以d≥55，

將d=55代入②，得2b2±4b+2=0，

解得b=±1，

從而r2=2b2=2，a=±1，由|a-2b|=1，知a與b同號(hào)，

于是，所求圓的方程為：（x-1）2+（y-1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2.