立體幾何中的計(jì)算

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，也是歷年高考必考內(nèi)容.立體幾何中的計(jì)算考查形式多樣，主要考查同學(xué)們的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力以及運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法分析和解決問題的能力.其中空間想象能力的高考考查要求是：能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解和組合.

以體積、表面積、距離等運(yùn)算為主設(shè)計(jì)試題，解答題中還會(huì)涉及“以算代證”法的應(yīng)用，或以立體幾何為載體的應(yīng)用題.

本文對(duì)立體幾何中的計(jì)算常見題型做了一些歸納整理，以期對(duì)同學(xué)們復(fù)習(xí)有所幫助.

題型一 空間幾何體的表面積、體積

例1 如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積.

解析：思路一 直接求出四棱錐C1B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積.

思路二 將四棱錐C1B1EDF分割為兩個(gè)三棱錐B1C1EF與DC1EF求解.由于兩個(gè)三棱錐B1C1EF與DC1EF體積相等，求出三棱錐B1C1EF體積即可.注意到通過變更頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)化成利于求三棱錐B1C1EF底面積和高，故可考慮轉(zhuǎn)化為三棱錐EFB1C1，本題答案為16a3.

題型二 側(cè)面展開圖及其應(yīng)用

例2 如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行.吃到上底面上C點(diǎn)處的食物.當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)=12厘米，底面半徑r=3厘米時(shí)，螞蟻沿側(cè)面爬行一圈時(shí)最短路程是多少？（結(jié)果用π表示）

解析：可借助實(shí)物比劃確定展開圖，本題答案為64+π2.

變式：同樣的條件下“爬行兩圈呢？三圈呢？”

題型三 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用

例3 如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求證：PC⊥BC；

（2）求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

解析：注意到第一問證明的結(jié)論，取AB的中點(diǎn)E，容易證明DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍.由第一問證明的結(jié)論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求.

還可用等體積法求解：連接AC，則三棱錐PACB與三棱錐APBC體積相等，而三棱錐PACB體積易求，三棱錐APBC的底面PBC的面積易求，其高即為點(diǎn)A到平面PBC的距離，設(shè)為h，則利用體積相等即求.

解：（1）略；

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等.

又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍.

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F.

易知DF=22，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于2.

（方法二）連結(jié)AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.

因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.

從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1.

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐PABC的體積V=13S△ABC·PD=13.

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC.

又PD=DC=1，所以PC=PD2+DC2=2.

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積S△PBC=22.

由VAPBC=VPABC，13S△PBC·h=V=13，得h=2，

故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于2.

題型四 “以算代證”在立體幾何證明題中的應(yīng)用

例4 如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.

（1）求證：直線PA∥平面DEF；

（2）平面BDE⊥平面ABC.

解析：第（2）問的處理運(yùn)用“以算代證”的方法.

證明：（1）略；

（2）∵D，E為PC，AC中點(diǎn)，∴DE=12PA=3，

∵E，F(xiàn)為AC，AB中點(diǎn)，∴EF=12BC=4，

∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF，

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC，

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，

∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.

題型五 類比思維在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用

例5 在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為 .

解析：在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶22.類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為1∶23.

題型六 以立體幾何為載體的應(yīng)用題

例6 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.

（1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？

（2）某廣告商要求包裝盒容積V（cm3）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.

分析：本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)閱讀能力及解決實(shí)際問題的能力.本題屬中等題.

解：設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm）.由題設(shè)知

a=2x，h=60-2x2=2（30-x），0

（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800（0

所以當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值.

（2）V=a2h=22（-x3+30x2），V′=62x（20-x），

由V′=0得x=0（舍），或x=20.

當(dāng)00，V遞增；當(dāng)20

所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，此時(shí)ha=12，

由題設(shè)的實(shí)際意義可知x=20時(shí)，V取得最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值為12.

我們?cè)诮饬Ⅲw幾何計(jì)算題時(shí)常常采用以下兩種方法1.根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，其本質(zhì)是將符號(hào)語言或文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言；2.掌握棱柱、棱錐各個(gè)部分幾何特征，旋轉(zhuǎn)體則要抓住“旋轉(zhuǎn)”特性，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)進(jìn)行分析，尋找圖形間的聯(lián)系建立其中量的關(guān)系.我們?cè)诮饬Ⅲw幾何計(jì)算題時(shí)要注意以下幾個(gè)問題：1.審題不注意區(qū)分題設(shè)中是“表面積”還是“側(cè)面積”亦或是“體積”，與此類似審題要看準(zhǔn)題設(shè)是“棱柱”還是“棱錐”，“四棱柱”還是“三棱錐”等，憑解題經(jīng)驗(yàn)主觀臆斷，出現(xiàn)低級(jí)失誤；2.注意“分解與組合”的思想方法的運(yùn)用，如研究不規(guī)則幾何體，可以通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為常見幾何體解決；3.將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，如幾何體表面上的最短距離問題，通過幾何體的展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段距離最短解決；4.學(xué)會(huì)運(yùn)用“算兩次”的思想方法，如利用等積法求距離，通過變更頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)化成利于求幾何體底面積和高.

（作者：吳雅琴，如皋市第一中學(xué)）