立體幾何考點(diǎn)透視

縱觀(guān)近幾年各省高考題，命題的形式比較穩(wěn)定，難易適中.主要考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面的平行和垂直，空間角和距離的計(jì)算.從解答題來(lái)看，遵循先證明后計(jì)算的原則，即融推理于計(jì)算之中，突出模型法、平移法等方法.

考點(diǎn)一：掌握平面的基本性質(zhì)

平面的基本性質(zhì)是整個(gè)立體幾何的基礎(chǔ)，其中確定平面的四種方法是立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的依據(jù)，該部分的主要問(wèn)題是點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的確定，共點(diǎn)和共面問(wèn)題，主要考查對(duì)平面基本性質(zhì)的理解和掌握.

例1 正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線(xiàn)A1C∩平面BDC1=O，AC和BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1、O、M共線(xiàn).

分析：要證明若干點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，只需要證明這些點(diǎn)同在兩個(gè)相交平面內(nèi)即可.

證明：如圖所示，由A1A∥C1C，則AA1，CC1確定平面AA1C.

∵A1C平面AA1C，O∈A1C，∴O∈平面AA1C.

又A1C∩平面BDC1=O，∴O∈平面BDC1.O在平面BDC1與平面AA1C的交線(xiàn)上.

又AC∩BD=M，∴平面AA1C∩平面BDC1=C1M，∴O∈C1M，即O、C1、M三點(diǎn)共線(xiàn).

點(diǎn)撥：該題的考向是點(diǎn)共線(xiàn)的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這樣就可以根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都是在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上.

考點(diǎn)二：異面直線(xiàn)所成的角與線(xiàn)面之間的距離

我們知道空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：平行、相交、異面.在這三種中“異面直線(xiàn)”是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，幾乎每年高考都要涉及到，考查的內(nèi)容多涉及到異面直線(xiàn)的定義，異面直線(xiàn)所成的角，異面直線(xiàn)間的距離這三方面.

求異面直線(xiàn)所成的角的方法有：（1）平移法；（2）向量法，主要轉(zhuǎn)化為兩條直線(xiàn)上兩個(gè)向量的夾角或它的補(bǔ)角，利用公式cos〈a，b〉=n1·n2|n1||n2|來(lái)計(jì)算.

例2 正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，若θ為CM和D1N所成的角，則sinθ的值為 .

分析：該題可以采用平移法，方法要煩瑣，但采用向量法，計(jì)算量可以大大降低.先建立空間直角坐標(biāo)系，找出CM和ND1的夾角即可.

解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，0，12），N（1，1，12），

CM=（1，-1，12），ND1=（-1，-1，12），

∴cos〈CM，ND1〉=CM·ND1|CM||ND1|

=

-1+1+141+1+14·1+1+14=19，

則cosθ=19，θ∈（0，π），所以sinθ=459.

點(diǎn)撥：此題若不用向量法，用平移法來(lái)求解也可以，這留給同學(xué)們自己完成.

考點(diǎn)三：平行關(guān)系

考綱要求能掌握線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用定理論證一些問(wèn)題.本考點(diǎn)是立體幾何的重要組成部分，是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查的是兩方面：一是直接考查直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系判別或平行的證明；二是通過(guò)計(jì)算題中必不可少的證明步驟間接考查直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行.

例3 已知m、n是不重合的直線(xiàn)，α和β是不重合的平面，有下列命題：

（1）若mα，n∥α，則m∥n；

（2）若m∥α，m∥β，則α∥β；

（3）若α∩β=n，m∥n，則m∥α且m∥β；

（4）若m⊥α，m⊥β，則α∥β.

其中真命題的個(gè)數(shù)是 .

分析：（1）是假命題，如果一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，該直線(xiàn)不與平面內(nèi)所有直線(xiàn)平行，只與部分直線(xiàn)平行；（2）是假命題，平行于同一直線(xiàn)的兩平面的位置關(guān)系不確定；（3）是假命題，因?yàn)閙可能為α和β內(nèi)的直線(xiàn)，則m∥α且m∥β不一定成立；（4）是真命題，垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行.

答案：1個(gè).

點(diǎn)撥：本題考查的是有關(guān)線(xiàn)面關(guān)系命題的真假，所以利用定理來(lái)解決上述有關(guān)問(wèn)題.

考點(diǎn)四：垂直關(guān)系

我們要理解直線(xiàn)和平面垂直的概念，掌握直線(xiàn)和平面垂直的判定定理，同時(shí)要掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.由于垂直關(guān)系是重要的位置關(guān)系，所以該考點(diǎn)在高考中考查的頻率也非常高.特別要注意垂直關(guān)系的判定與證明，其次是以垂直關(guān)系為工具解決空間中其他的計(jì)算和證明問(wèn)題.

例4 在下列關(guān)于直線(xiàn)l、m與平面α和β的命題中，真命題的是 .

（1）若lβ且α⊥β，則l⊥α；

（2）若l⊥β且α∥β，則l⊥α；

（3）若l⊥β且α⊥β，則l∥α；

（4）若α∩β=m且l∥m，則l∥α.

分析：高考中通常以選擇或填空的形式來(lái)考查垂直關(guān)系的判定.

（1）顯然是錯(cuò)誤的；（3）中l(wèi)可在平面α內(nèi)，故l∥α錯(cuò)誤；（4）中l(wèi)可在平面α內(nèi)，故l∥α錯(cuò)誤.

答案是選（2）.

點(diǎn)撥：該題主要考查的是想象能力和位置關(guān)系.

考點(diǎn)五：線(xiàn)面所成角與二面角的平面角問(wèn)題

對(duì)于線(xiàn)面所成角確定的方法主要有兩種：一是通過(guò)找到這條線(xiàn)在平面上的射影，接下來(lái)求出這條斜線(xiàn)和射影所成的角就是線(xiàn)面所成角；二是通過(guò)利用空間向量來(lái)確定.

求二面角的平面角的方法通常有：一是利用三垂線(xiàn)定理或逆定理；二是作二面角棱的垂面；三是用空間向量的方法來(lái)求解，方法是：求出兩個(gè)平面的法向量n1和n2，然后利用數(shù)量積公式計(jì)算出銳二面角，其公式為|cos〈n1，n2〉|=|n1·n2||n1||n2|，當(dāng)然考慮到二面角的取值范圍是[0°，180°]，所以，二面角的平面角θ與這兩個(gè)平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ).

例5 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD交于點(diǎn)E，C1B與CB1交于點(diǎn)F.

（1）求證：A1C⊥平面BDC1；

（2）求二面角BEFC的平面角的余弦值.

分析：該題的第（2）問(wèn)是求二面角的平面角，這里可以利用向量來(lái)求解，則可以降低難度.

解：以C為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

（1）A1（1，1，1），C（0，0，0），

則A1C=（-1，-1，-1），

又B（0，1，0），D（1，0，0），C1（0，0，1），

則BD=（1，-1，0），BC1=（0，-1，1），

則A1C·BD=0，A1C·BC1=0，

所以A1C⊥BD，A1C⊥BC1，

則A1C⊥平面BDC1.

（2）由（1）A1C⊥平面BDC1，

同理，BD1⊥平面AB1C，

則A1C與D1B可以視作為平面BDC1與平面AB1C的法向量，即為平面BEF和平面EFC的法向量，則可以求得A1C=（-1，-1，-1），D1B=（-1，1，-1），所以cos〈A1C，D1B〉=|A1C·D1B||A1C||D1B|=13.

點(diǎn)撥：本例中平面BDC1的法向量A1C和平面AB1C的法向量D1B都指向二面角的內(nèi)部，因而〈A1C，D1B〉為二面角BEFC的補(bǔ)角.若將平面AB1C的法向量改為BD1，則〈A1C，D1B〉的大小等于二面角BEFC.

同時(shí)在求兩個(gè)平面的法向量n1和n2的夾角時(shí)，關(guān)鍵是求n1·n2，所以可以將其中的一個(gè)法向量分解成為兩個(gè)向量的和（或差），如n1=m1+m2，而m1與m2和n2所成的角是特殊角，這時(shí)就容易求得n1·n2的值.

（作者：周文國(guó)，江蘇省張家港職業(yè)教育中心）