直線與圓考查熱點

解析幾何是一門經(jīng)典的數(shù)學分支，當我們還在樂此不疲地談論著學習它的重要意義的時候，西方許多國家卻不開設解析幾何，這引起了我國數(shù)學教育專家的關注.原來，西方國家注重讓學生掌握更多的具有時代氣息的數(shù)學（如概率、向量）.我國把解幾內(nèi)容及教學要求作了適度的調(diào)整，高考中，淡化了對雙曲線、拋物線的考查，明顯地，直線與圓的“地位”上升了.

直線與圓的位置關系問題的研究方法，在解析幾何中具有“承上啟下”的作用.如今，這部分內(nèi)容在高考中經(jīng)常出現(xiàn).一方面，直線與圓有許多平面幾何性質(zhì)，在研究它們之間的位置關系的時候，如果善于借助于平面幾何知識，既能開闊思路，又能簡化運算；另一方面，研究直線與圓的位置關系，又可以利用直線和圓的方程聯(lián)立成方程組，通過對方程（組）解情況的研究來判斷它們之間的位置關系，這種方法是研究直線與圓錐曲線位置關系的一般方法.

本文對直線和圓的常見問題和考查熱點做了一些歸納整理，以期對同學們復習有所幫助.

一、直線與圓的位置關系的判斷

例1 已知圓C：（x-3）2+（y+5）2=r2和直線l：4x-3y-2=0.

（1）若圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；

（2）若圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍；

（3）若圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1，求半徑r的取值范圍.

解法1：與直線l：4x-3y-2=0平行且距離為1的直線為l1：4x-3y+3=0和

l2：4x-3y-7=0，圓心C到直線l1的距離為d1=6.圓心C到直線l2的的距離為d2=4.

（1）圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1r>4且r>6，∴r>6；

（2）圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1r>4且r=6，∴r=6；

（3）圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1r>4且r<6，∴4

解法2：設圓心C到直線l的距離為d，則d=5.

（1）圓C上有且只有4個點到直線l的距離等于1r-d>1，∴r>6；

（2）圓C上有且只有3個點到直線l的距離等于1r-d=1，∴r=6；

（3）圓C上有且只有2個點到直線l的距離等于1-1

例2 在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是 .

解：畫圖可知，圓上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，該圓半徑為2即圓心O（0，0）到直線12x-5y+c=0的距離d<1，即0<|c|13<1，∴-13

二、阿波羅尼斯圓的應用

例3 已知點A（-3，0），B（3，0），動點P滿足PA=2PB.

（1）若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；

（2）若點Q在直線l1：x+y+3=0上，直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求QM的最小值，并求此時直線l2的方程.

解：（1）設點P的坐標為（x，y），

則（x+3）2+y2=2（x-3）2+y2，

化簡可得（x-5）2+y2=16即為所求.

（2）如圖，曲線C是以點（5，0）為圓心，4為半徑的圓，則直線l2是此圓的切線，連接CQ，則△CQM必為直角三角形，

QM=CQ2-CM2=CQ2-16，

當CQ⊥l1時，CQ取最小值.

由點線距離公式得：CQ=|5+3|2=42，

此時QM的最小值為32-16=4，

此時△CQM為等腰直角三角形，故這樣的直線l2有兩條，

即l2的方程是x=1或y=-4.

三、直線與圓的綜合應用

例4 已知△ABC的三個頂點A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為⊙H.

（1）若直線l過點C，且被⊙H截得的弦長為2，求直線l的方程；

（2）對于線段BH上的任意一點P，若在以點C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求⊙C的半徑r的取值范圍.

解：（1）線段AB的垂直平分線方程為x=0，線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0，所以外接圓圓心為H（0，3），半徑為（-1）2+32=10，

⊙H的方程為x2+（y-3）2=10.

設圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被⊙H截得的弦長為2，所以d=10-1=3.

當直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x=3為所求；

當直線l不垂直于x軸時，設直線方程為y-2=k（x-3），則|3k+1|1+k2=3，解得k=43，直線方程為4x-3y-6=0.

綜上，直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0.

（2）直線BH的方程為3x+y-3=0，

設P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y），

因為點M是線段PN的中點，

所以M（m+x2，n+y2），

又M，N都在半徑為r的⊙C上，

所以（x-3）2+（y-2）2=r2，（m+x2-3）2+（n+y2-2）2=r2.

即（x-3）2+（y-2）2=r2，（x+m-6）2+（y+n-4）2=4r2.

因為該關于x，y的方程組有解，

即以（3，2）為圓心，

r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，

2r為半徑的圓有公共點，

所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（r+2r）2，

又3m+n-3=0，

所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對m∈[0，1]成立.

而f（m）=10m2-12m+10，

在[0，1]上的值域為[325，10]，

故r2≤325且10≤9r2.

又線段BH與圓C無公共點，

所以（m-3）2+（3-3m-2）2>r2對m∈[0，1]成立，

即r2<325.

故⊙C的半徑r的取值范圍為[103，4105）.

例5 已知圓M：x2+（y-2）2=1.Q是x軸上的動點.QA、QB分別切圓M于A，B兩點.

（1）若點Q的坐標為（1，0），求切線QA、QB的方程；

（2）求四邊形QAMB的面積的最小值；

（3）若AB=423，求直線MQ的方程.

解：（1）設過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，則圓心M到切線的距離為1，

∴|2m+1|m2+1=1m=-43或0，∴切線QA、QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1.

（2）∵MA⊥AQ，∴SMAQB=MA·QA=QA=MQ2-MA2=MQ2-1≥MO2-1=3.

（3）設AB與MQ交于點P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，

MP=1-（223）2=13，在Rt△MBQ中，MB2=MP·MQ，即1=13MQ，∴MQ=3.

設Q（x，0），則x2+22=9，x=±5，∴Q（±5，0），

∴直線MQ的方程為2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.

同學們在解直線和圓問題時還要注意以下兩點：一是求圓切線時注意斜率不存在的情況，要注意判斷直線和圓的位置關系；二是某些含有根式的方程只可轉(zhuǎn)化為圓的一部分，注意阿波羅尼斯圓的應用.

（作者：吉俊杰，如皋市第一中學）