圓錐曲線重點解析

一、知識點歸納

二、重難點解讀

1.圓錐曲線的定義：圓錐曲線的定義是解決圓錐曲線問題的根本依據(jù).可以判斷動點的軌跡的形狀，可以求距離或其他量.特別地，利用拋物線的定義還可以實現(xiàn)點點距和點線距之間的轉(zhuǎn)化，從而把某些問題化繁為簡.

2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：對于橢圓和雙曲線來說，就是中心在原點且焦點在坐標(biāo)軸上的曲線的方程；對于拋物線來說，就是頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的拋物線的方程.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線定義的“代言人”，要通過橫向?qū)Ρ龋慈N圓錐曲線的方程相對比）和縱向?qū)Ρ龋ㄒ环N圓錐曲線焦點在不同位置時的方程相對比），明確方程的特征.在求圓錐曲線的方程時，要注意“先定型、后定量”，還要注意根據(jù)不同的題設(shè)條件靈活地選設(shè)方程，要能熟練地運用待定系數(shù)法求方程.

3.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是解決圓錐曲線問題的根本依據(jù)，要善于通過橫向?qū)Ρ壤斫夂陀洃浰鼈?，?zhǔn)確運用的前提是明確它們的功能.其中橢圓和雙曲線的離心率、雙曲線的漸近線是其中的重點，它們的求法、應(yīng)用要著重掌握.

4.圓錐曲線綜合問題

（1）圓錐曲線間的綜合問題

這類問題指的是圓、橢圓、雙曲線和拋物線這四種圓錐曲線中的兩種或多種的綜合問題，常見類型有：方程的綜合問題、性質(zhì)的綜合問題、圖形的綜合問題，其中性質(zhì)的綜合問題是重點.

（2）直線與圓錐曲線問題

①直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷問題

判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般采用數(shù)形結(jié)合法.當(dāng)直線的斜率不存在或為0時，用圖形易判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，可求出直線方程，把它與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x，y中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一個一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0），用此方程的根的判別式確定其解的個數(shù)，即為直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)，進而可判斷二者關(guān)系.此外，要注意以下幾點：①若直線經(jīng)過橢圓內(nèi)的一點，則直線與橢圓一定相交.②直線與雙曲線相交有兩種情形，一是兩個交點在雙曲線的一支上；二是兩個交點分居兩支.直線與雙曲線只有一個公共點也有兩種情形，一是直線與雙曲線相切，對應(yīng)著方程ax2+bx+c=0，Δ=0的情形；二是直線與雙曲線相交只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行，對應(yīng)著方程ax2+bx+c=0中a=0的情形；③直線與拋物線只有一個公共點也有兩種情形，一是直線與拋物線相交，此時直線與拋物線的對稱軸平行；二是直線與拋物線相切.

②弦長問題

|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]

=1+k2（-ba）2-4ca

=1+k2b2-4aca2=Δ|a|1+k2，

我們把|AB|=Δ|a|1+k2叫做弦長公式.若聯(lián)立直線和二次曲線方程后消去x，則得出的是關(guān)于y的一個一元二次方程ay2+by+c=0（a≠0），則相應(yīng)的弦長公式為|AB|=Δ|a|1+1k2.

三、易錯點警示

復(fù)習(xí)本章需注重下列幾點：

（1）深刻理解定義，掌握定義在解題中的應(yīng)用.

（2）掌握各種知識版塊，如“方程塊”——處理直線與圓錐曲線問題；“點代換”——處理中點弦問題等.解答直線與圓錐曲線問題，一定要注意過三關(guān)：一是斜率關(guān)，即設(shè)直線的斜率時，一定要注意分析直線的斜率是否一定存在，若不一定存在要分類討論；二是二次項系數(shù)關(guān)，即聯(lián)立直線與曲線方程并將其化為一元方程后，要留心看二次項系數(shù)是否含參數(shù)，若含參數(shù)需對其是否等于0進行討論；三是Δ關(guān)，即要根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系恰當(dāng)限定Δ，進而限定其中參數(shù)的取值范圍，求參數(shù)值時，要在此范圍內(nèi)進行.

（3）對涉及的基本題型進行有針對性的訓(xùn)練.強化運算，力求避繁就簡：根據(jù)求簡意識，突出解析幾何設(shè)而不求的運算本色，充分發(fā)揮圓錐曲線的定義和利用平面幾何知識化難為易、化繁為簡的作用.

四、高考鏈接

考點一：求圓錐曲線的方程

例1 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線過點（2，3），且雙曲線的一個焦點在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 .

解：由題意，ba=32，因為拋物線y2=47x的準(zhǔn)線方程為x=-7，雙曲線的一個焦點在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線上，所以c=7，所以a2+b2=c2=7，所以a=2，b=3，所以雙曲線的方程為x24-y23=1.

點評：本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查同學(xué)們的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點，再根據(jù)焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程，得a、b的另一個方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

考點二：圓錐曲線的性質(zhì)

例2 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的

離心率的取值范圍是 .

解：如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，所以4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，所以a=2.取M（0，b），因為點M到直線l的距離不小于45，所以|4b|32+42≥45，解得b≥1.所以e=ca=1-b2a2≤1-122=32.

所以橢圓E的離心率的取值范圍是（0，32].

點評：解決本題首先明確四邊形AFBF′是平行四邊形，再結(jié)合橢圓的定義以及不等式的知識.考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

考點三：圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基本知識綜合

例3 如圖，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.

（1）若|PF1|=2+2，|PF2|=2-2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若|PF1|=|PQ|，求橢圓的離心率e.

解：（1）由橢圓的定義，2a=|PF1|+|PF2|=2+2+2-2=4，故a=2.

設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF2⊥PF1，

因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=23，即c=3，

從而b=a2-c2=1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

（2）連接F1Q，由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，

從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，

有|QF1|=4a-2|PF1|，

又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，

知|QF1|=2|PF1|=4a-2|PF1|，解得|PF1|=2（2-2）a，從而|PF2|=2a-|PF1|=2（2-1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2，

因此

e=ca=|PF1|2+|PF2|22a

=（2-2）2+（2-1）2=9-62=6-3.

點評：本題考查了橢圓的定義2a=|PF1|+|PF2|，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直角三角形的勾股定理，屬于中檔題.

考點四：考查直線與圓錐曲線綜合問題

例4 已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓C2：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為26，過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且AC與BD同向.

（1）求C2的方程；

（2）若|AC|=|BD|，求直線l的斜率.

解：（1）由C1方程可知F（0，1），因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2-b2=1，

又因為C1與C2的公共弦的長為26，C1與C2的圖象都關(guān)于y軸對稱，

所以易得C1與C2的公共點的坐標(biāo)為（±6，32），所以94a2+6b2=1，

又因為a2-b2=1，所以a2=9，b2=8，所以C2的方程為y29+x28=1.

（2）如圖，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）.

因為AC與BD同向，且|AC|=|BD|，所以AC=BD，所以x1-x2=x3-x4，

所以（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4.

設(shè)直線l的斜率為k，則l方程：y=kx+1，由y=kx+1x2=4y，可得x2-4kx-4=0，

由韋達定理可得x1+x2=4k，x1x2=-4.

由y=kx+1y29+x28=1，得（9+8k2）x2+16kx-64=0，

由韋達定理可得x3+x4=-16k9+8k2，

x3x4=-649+8k2.

又因為（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4，

所以16（k2+1）=162k2（9+8k2）2+4×649+8k2，

化簡得16（k2+1）=162×9（k2+1）（9+8k2）2，

所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±64，即直線l的斜率為±64.

點評：本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達定理等知識，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

五、備考建議

1.圓錐曲線是高考重點考查的內(nèi)容，填空題主要考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，難度不會太大；解答題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合問題，以此來考查同學(xué)們的邏輯思維能力、運算能力以及分析、解決問題的能力.

2.正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)條件求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單的問題，掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線的位置共線的判定方法.

3.注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)了解析幾何的基本思想——用代數(shù)的手段研究幾何問題，對解析幾何的基本思想高度認(rèn)識，可以大大提高分析與解決問題的能力.