必修三、選修23單元測試

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.若Cn18-C2n+918=0（n∈N*），則n= " ".

2.（2x-1x）6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 " ".

3.甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)4年的單位面積平均產(chǎn)量如下：

品種第1年第2年第3年第4年

甲9.89.910.210.1

乙9.7101010.3

其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的水稻品種是 " ".

4.從5名男生和5名女生中任選3人參加綜合實(shí)踐活動，則所選同學(xué)中既有男生又有女生的概率是 " ".

5.如圖，隨機(jī)向半徑為R的⊙O內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落入該圓的內(nèi)接正△ABC內(nèi)的概率是 " ".

6.下面是某小組學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的得分莖葉圖，則該組男生的平均得分與女生的平均得分之差是 " ".

7.執(zhí)行右邊的程序框圖，若p=15，則輸出的n= " ".

8.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果a為 " ".

9.某校100位學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100].則圖中a的值為 " ".

10.在5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生2次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的最小值是 " ".

11.隨機(jī)變量ξ的分布列如下：

ξ-101

Pabc

其中a，b，c成等差數(shù)列，若期望E（ξ）=13，則方差V（ξ）的值是 " ".

12.若（2x+1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，則a4= " ".

13.將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的放入方法共有 "種.

14.有兩個細(xì)胞，每個細(xì)胞每次分裂成2個細(xì)胞或死亡的概率均為12，則分裂兩次后有細(xì)胞存活的概率為 " ".

二、解答題（本大題共6小題，共90分）

15.（本題滿分16分）

某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人;乙組有10名工人，其中有6名女工人.現(xiàn)采用分層抽樣（層內(nèi)采用不放回簡單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核.

（1）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);

（2）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;

（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.

16.（本小題滿分14分）

已知（x+12x）n展開式中前三項(xiàng)系數(shù)依次為等差數(shù)列.

（1）求n的值;

（2）求展開式中系數(shù)最大項(xiàng).

17.（本題滿分16分）

男運(yùn)動員6名，女運(yùn)動員4名，其中男女隊(duì)長各1人，從中選5人外出比賽.

（1）若選出男運(yùn)動員3名，女運(yùn)動員2名，有多少種不同的選派方法？

（2）若隊(duì)長至少有1人參加，有多少種不同的選派方法？

（3）若至少有1名女運(yùn)動員，有多少種不同的選派方法？

（4）若既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動員，有多少種不同的選派方法？

18.（本題滿分16分）

設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

（1）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.

（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率.

19.（本小題滿分16分）

某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高一年級開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動期間同時開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座.（規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時稱為滿座，否則稱為不滿座）

統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座概率如下表：

信息技術(shù)生物化學(xué)物理數(shù)學(xué)

周一1414141412

周三1212121223

周五1313131323

（1）求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率;

（2）設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（本題滿分16分）

已知（1+x4）2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n（n∈N*）.

（1）若a0+a1+a2+…+a2n=625256，求a3的值;

（2）若存在整數(shù)k（0≤k≤2n），對任意的整數(shù)m（0≤m≤2n），總有ak≥am成立，這樣的k是否唯一？并說明理由.

參考答案

一、填空題

1. 3

2. 60

3. 甲

4. 56

5. 334π

6. 2

7. 5

8. 3

9. a=0.005

10. 13

11. 59

12. -560

13. 18

14. 3964

二、解答題

15.解：（1）由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人.

（2）記A表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則

P（A）=C14C16C210=815.

（3）Ai表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2

Bj表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2

B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人.

Ai與Bj獨(dú)立，i，j=0，1，2，且B=A0·B2+A1·B1+A2·B0

故P（B）=P（A0·B2+A1·B1+A2·B0）

=P（A0）·P（B2）+P（A1）·P（B1）+P（A2）·P（B0）

=C24C210·C24C210+C14C16C210·C16C14C210+C26C210·C26C210=3175

所以抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率為3175.

16.解：（1）由題意，前三項(xiàng)系數(shù)分別為C0n，12C1n，14C2n，

則C1n=C0n+14C2n，解得n=1（舍），n=8.

（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)為tr+1，且設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則

tr+1≥tr

tr+1≥tr+2即Cr8（12）r≥Cr-18（12）r-1

Cr8（12）r≥Cr+18（12）r+1，解得2≤r≤3，且t3=t4=7，

所以展開式中最大項(xiàng)為第三、第四項(xiàng).

17.解：（1）C36C24=120（種）;

（2）C12C48+C22C38=140+56=196（種）;

（3）C510-C56=246（種）;

（4）C510-C58-C45=191（種）;

答：略

18.解：設(shè)事件A為“方程a2+2ax+b2=0有實(shí)根”.

當(dāng)agt;0，bgt;0時，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為：a≥b.

（1）基本事件共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.

其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.

事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為P（A）=912=34.

（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}.

構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}.

所以所求的概率為=3×2-12×223×2=23.

19.解：（1）設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件A，則

P（A）=（1-12）（1-23）（1-23）=118.

（2）ξ可能取值為0，1，2，3，4，5，

P（ξ=0）=（1-12）4（1-23）=148，

P（ξ=1）=C1412（1-12）3（1-23）+（1-12）423=18，

P（ξ=2）=C24（12）2（1-12）2（1-23）+C1412（1-12）323=724，

P（ξ=3）=C34（12）3（1-12）（1-23）+C24（12）2（1-12）223=13，

P（ξ=4）=（12）4（1-23）+C34（12）3（1-12）23=316，

P（ξ=5）=（12）423=124，則隨機(jī)變量ξ的分布列如下：

ξ012345

P1481872413316124

所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×148+1×18+2×724+3×13+4×316+5×124=83.

20.解：（1）取x=1，有a0+a1+a2+…+a2n=（1+14）2n=625256，解得n=2，

此時a3=C34·（14）3=116.

（2）由題意知：ak是a0，a1，a2，…，a2n中的最大項(xiàng)，ak=Ck2n4k，ak-1=Ck-12n4k-1，

所以akak-1=Ck2n4k·4k-1Ck-12n

=（2n）！k?。?n-k）！4·（2n）?。╧-1）?。?n-k+1）！

=2n-k+14k（1≤k≤2n，k∈N*），

令2n-k+14k≥1，得k≤2n+15，設(shè)小于或等于2n+15的最大整數(shù)為M，則

當(dāng)1≤k≤M時，ak-1≤ak，故a0lt;a1lt;…lt;aM-1≤aM（M=2n+15時取等號）;

當(dāng)Mlt;k≤2n時，2n-k+14klt;1，ak-1gt;ak，故aMgt;aM+1gt;…gt;a2n.所以當(dāng)2n+15=M時，滿足條件的正整數(shù)k有2個，即k=M或k=M-1;

當(dāng)2n+15gt;M時，滿足條件的正整數(shù)k只有1個，即k=M.

（作者：蔣國慶，泰興市第四高級中學(xué)）