多維思考 分解難點 全面攻破

題目 （2014年山東理21）已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|.當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形.

（1）求C的方程;

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，

（?。┳C明直線AE過定點，并求出定點坐標;

（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.

本題考查的內(nèi)容豐富、包羅萬象，涉及拋物線定義、方程、幾何性質(zhì)、焦點弦的特性、直線與拋物線的位置關(guān)系、切線問題等諸多基礎知識.在圓錐曲線背景下考査定點、最值問題一直以來都是高考熱點.下面老師從多個角度思考分析探究這一問題，揭示這一高考試題考査的內(nèi)容與目的.

一、問題剖析

條件及設問中涉及“五點、四線、兩等量”，“五點”：F、A、D、E、B，B、D、E三點的產(chǎn)生依賴于點A，而點D有在x軸的正半軸的位置限制，點E是直線與拋物線相切時的切點，點B是直線AD與拋物線的交點;“四線”：l、l1分別與拋物線相交、相切，并且l1∥l，直線AE過（?。┲卸c且是△ABE的一邊，直線EB因E、B的確定而產(chǎn)生;“兩等量”即為等量方程|FA|=|FD|和（ⅰ）中直線過的定點.縱觀此題條件及設問，我們發(fā)現(xiàn)“五點、四線、兩等量”的數(shù)學元素間的因果關(guān)系、變化聯(lián)系均為兩點A、F所致，針對本題而言，這就是“問題的心臟”.

1.第（1）問剖析

思考維度1 點F為拋物線的焦點，可思考采用拋物線的定義，因為點D在x軸的正半軸，但點D與焦點F的左右位置不明確，所以要注意線段FD長度的代數(shù)表達形式.

解法1：設D（x0，0），x0gt;0，由題意F（p2，0），當點A的橫坐標為3時，由|FA|=|FD|及拋物線定義得：3+p2=|x0-p2|，故x0=3+p或x0=-3（舍）;又因△ADF為正三角形，故F、D中點為3，即x0+p22=3，p=2，所以C的方程為y2=4x.

思考維度2 拋物線、正三角形均具有很好的平面幾何性質(zhì)，可根據(jù)題中涉及到的平面幾何元素構(gòu)造代數(shù)方程，但要警惕由點D位置造成的多解問題，注意將代數(shù)問題還原為幾何特征進行驗證.

解法2：設A（3，yA），由題意|kAF|=3，故|yA||3-p2|=3，所以y2A=3（3-p2）2，由于y2A=6p，故p2-20p+36=0，解得p=2或p=18.當p=18時，F(xiàn)（9，0），顯然A在點x=p2左側(cè)且|FA|=12，由|FA|=|FD|且△ADF為正三角形得：D（-3，0），這與點D在x軸的正半軸矛盾，故y2=36x應舍去.所以C的方程為y2=4x.

解法3：如圖，當D在F點右側(cè)時，過點A向拋物線準線x=-p2作垂線，垂足為M，由拋物線定義得|AM|=|FA|且AM∥FD，又因|FA|=|FD|=|AM|，所以AM∥FD且|AM|=|FD|，故四邊形ADFM為平行四邊形.因△ADF為正三角形，過F向AM作垂線，垂足為F′，則F′為A、M中點，即p2=12（3-p2），故p=2，所以C的方程為y2=4x.當點D在焦點F左側(cè)時，由|FD|=|AM|=xA+p2gt;p2，顯然可知點D位于x軸負半軸，不合題意.故C的方程為y2=4x.

點D的位置決定了拋物線的多樣性，如果僅僅抓住構(gòu)建含p的方程，而忽視對點D限制條件的思考，就會導致多解，后續(xù)解答無從下手，這也是同學們失分較多的重要原因.由此可見，解析幾何的基本思想是利用坐標法探究圖形具有的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應用能很自然地想到，但解題中要注意由“形”到“數(shù)”和“數(shù)”到“形”的充要性.這也體現(xiàn)了數(shù)學要“嚴謹”的學科特點.

2.第（2）問剖析

第（2）問在第（1）問的基礎上增加了拋物線的一條切線l1，利用l1∥l這一條件，使點E的位置得以確定，促使我們?nèi)ニ伎碱}中涉及到的“五點、四線”各元素之間的聯(lián)系.

（1） 第（2）問子問題（?。┢饰?/p>

由拋物線方程的求得，我們確定了五點中的F，其余四點的產(chǎn)生順序為A→D→B→E，抓住問題根源“點A”求出“點E”就成為解決（?。┑年P(guān)鍵.下面我們把（ⅰ）分解成求“點E”的坐標及證直線AE過定點兩個問題來解決.

問題1 求“點E”的坐標

思考維度1 由l1∥l得直線l1斜率，因直線l1與拋物線相切，通過方程聯(lián)立求點E.

解法1：設A（x1，y1），E（x2，y2），由拋物線定義知|FA|=x1+1，因|FA|=|FD|得D（x1+2，0），故kAD=-y12，由l1∥l，則kl1=kAD=-y12，設直線l1：y=-y12x+m，y=-y12x+m

y2=4x，y1y2+8y-8m=0，故y2=-4y1，x2=y224=4y21=44x1=1x1，故E（1x1，-4y1）.

思考維度2 運用過拋物線上一點的切線方程求切線斜率，由l1∥l求點E坐標.

解法2：設E（x2，y2），因l1與拋物線相切，易得直線l1：yy2=2（x+x2），所以kl1=2y2，由解法1知kAD=-y12，又因l1∥l，故2y2=-y12，所以y2=-4y1，從而E（1x1，-4y1）.

問題2 證直線AE過定點

思考維度1 寫出AE方程，將其方程化為點斜式y(tǒng)-y0=k（x-x0），從而得到定點（x0，y0）.

解法1：由問題1知E（1x1，-4y1），又因A（x1，y1），當x1≠1時，kAE=y1+4y1x1-1x1=4（y1+4y1）y21-（4y1）2=4y1y21-4，所以直線AE方程為：y-y1=4y1y21-4（x-x1），又因y21=4x1，故直線AE方程可化為：y=4y1y21-4x-4y1y21-4，即y-0=4y1y21-4（x-1），所以直線AE恒過定點（1，0）;當x1=1時，顯然直線AE為x=1，也過點（1，0）.綜上直線AE恒過定點（1，0）.

思考維度2 利用斜率（或向量）相等證A、F、E三點共線，從而導出直線AE過定點.

解法2：由解法1知當x1≠1時，kAE=4y1y21-4，kAF=y1x1-1=y1y214-1=4y1y21-4，故kAE=kAF，

所以A、F、E三點共線，直線AE過點F（1，0）;當x1=1時，顯然直線AE為x=1，也過點（1，0）.綜上直線AE恒過定點（1，0）.

思維維度3 設出直線AE方程，結(jié)合A、E兩點坐標關(guān)系尋找直線方程參數(shù)間的關(guān)系.

解法3：設直線AE方程為x=my+b，則x=my+b

y2=4x，y2-4my-4b=0，故y1y2=-4b.由問題1知E（1x1，-4y1），又因A（x1，y1），y1y2=-4=-4b，則b=1，故直線AE方程為x=my+1，所以直線AE恒過定點（1，0）.

（2） 第（2）問子問題（ⅱ）剖析

對于三角形的面積公式，我們非常熟悉，容易聯(lián)想到三角形底乘高的一半以及S=12absinC公式.但此題的難點在于如果直接應用以上公式，三角形△ABE三邊長度未定且所在直線均未知，造成計算量非常大.能不能靈活表達△ABE的面積呢？無論采用哪種辦法表示三角形的面積，我們均要知道“點B”的坐標（（?。┲薪鉀Q了點E的坐標），因為這是△ABE的一個基本元素.所以，我們確定此問題的核心突破點應該是“點B”的坐標及△ABE的面積的表示方法.下面，我們把（ⅱ）分解為求“點B”的坐標和△ABE的面積的表示及最小值兩個問題.

問題1 求點B的坐標

思考維度1 點B是由直線l即AD與拋物線相交產(chǎn)生，由（?。┛芍猭AD=-y12，故直線AB可設為y-y1=-y12（x-x1），考慮到點B在拋物線上，其橫、縱坐標可以用一個字母表示，再結(jié)合方程的思想，把直線AB設為y=-y12x+b將會大大減少計算量.

解法1：設點B（x3，y3），直線AB：y=-y12x+b，故y=-y12x+b

y2=4x，y18y2+y-b=0，因此y1+y3=-8y1，即y3=-8y1-y1，x3=y234=4x1+x1+4，所以B（4x1+x1+4，-8y1-y1）.

思考維度2 由題意，我們知道A、D、B三點共線，點D的坐標可用點A的橫縱坐標表示，那么點B的坐標呢？另外點B又在拋物線上，從理論上利用斜率相等（或向量共線）是可以表達出點B坐標的.

解法2：由|FA|=|FD|知D（x1+2，0），因A、D、B三點共線，所以kAD=kAB，由（ⅰ）kAD=-y12，故kAB=y3-y1x3-x1=-y12，即y3-y1x3-x1=y3-y1y234-y214=4y3+y1=-y12，解得y3=-8y1-y1.所以B（4x1+x1+4，-8y1-y1）.

問題2 △ABE的面積表示及最小值

思考維度1 仔細分析條件|FA|=|FD|，我們可以在圖形中找到一些相等的角，對于弦長|AB|除了較為復雜的弦長公式外，通過圖形觀察利用AB兩個端點的縱坐標及∠ADF就可以表示，此時弦AB邊上的高也可由|AE|及與∠ADF相等的角∠FAD表示，這樣我們圍繞著角和點的坐標來考慮問題將會更直接、有效.

解法1：如圖，設∠ADF=θ，0°lt;θlt;90°，由題意∠ADF=∠FAD=∠BDx=θ，

故|AB|=|y1-y3|sinθ=|8y1+2y1|sinθ，由拋物線定義得|AE|=x1+x2+2，由（?。┲獂1x2=1，故|AE|=x1+1x1+2，設點E到直線AB的距離為d，則d=|AE|sinθ=（x1+1x1+2）sinθ，故S△ABE=12|AB|·d=|4y1+y1|（x1+1x1+2）=（|4y1|+|y1|）（x1+1x1+2）≥16，當且僅當|4y1|=|y1|，x1=1x1同時成立時取得等號，即y21=4，x1=1.所以，當AF與x軸垂直時，S△ABE的最小值為16.

思考維度2 解析幾何的基本思想就是利用坐標法將幾何問題用代數(shù)方法來解決，那么對于圖形中涉及到的點的坐標亦能體現(xiàn)這些幾何元素的位置關(guān)系.

解法2：如圖，設點A、B中點為G，由A（x1，y1）、B（4x1+x1+4，-8y1-y1）知點G縱坐標為-4y1，

因E（1x1，-4y1），

故EG∥x軸，設直線AE的傾斜角為β，因|FA|=|FD|，所以|EG|=|EA|，因此S△ABE=2S△AGE=|EG|·|EA|sinβ=|EA|2sinβ，因|EA|=|y1|+|4y1|sinβ，故S△ABE=（|y1|+|4y1|）2sinβ，

又因|y1|+|4y1|≥4，當且僅當AE⊥x軸時取得，sinβ≤1，當且僅當AE⊥x軸時等號取得，

故S△ABE≥（|y1|+|4y1|）2min（sinβ）max=16.所以，當且僅當AE⊥x軸時取得.S△ABE的最小值為16.

思考維度3 既然我們能得到A、E、B三點的坐標，并且還能用A點的橫縱坐標來表示，那么我們就可以利用常規(guī)做法求弦長、求距離來做，當然這需要同學們有較強的計算能力和不畏困難的探索精神，這也充分體現(xiàn)了以能力為立意、考查同學們個性品質(zhì)、融德育于解題的命制意圖.

解法3：設直線AE的方程為x=my+1，將A（x1，y1）代入得m=x1-1y1，由問題1知B（4x1+x1+4，-8y1-y1），所以點B到直線AE的距離

d=|4x1+x1+4+m（y1+8y1）-1|1+m2

=4（x1+1）x1=4（x1+1x1），

又因|AE|=x1+1x1+2，

故S△ABE=12|AE|d=2（x1+1x1+2）·（x1+1x1）≥16，所以，當且僅當x1=1時，S△ABE的最小值為16.

思考維度4 以AB為底邊，利用三角形底乘高的一半為三角形面積亦能解出此題，方法同解法3.

二、結(jié)論推廣

性質(zhì)1 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|.若直線l∥AB，且與C相切于E，則直線AE過焦點.

性質(zhì)2 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|，延長AF交拋物線C于點E，則S△ABE的最小值為4p2.

簡證：設直線AE：y=tanβ（x-p2），則y=tanβ（x-p2）

y2=2px，x2-p（1+2tan2β）x+p24=0，故x1+x2=p（1+2tan2β），由拋物線定義得|AE|=x1+x2+p=p（2+2tan2β）=2psin2β.由（ⅱ）問題2解法2知，S△ABE=2SAGB=|EG|·|EA|sinβ=|EA|2sinβ=4p2.sin3β≥4p2，當且僅當β=90°時等號取得.

性質(zhì)3 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|，若直線l1∥l，且與C相切于E，直線l1與拋物線C的準線交于Q，則S△ABE=4S△AEQ.

注：需要特殊說明的是，△AEQ其實是阿基米德三角形，這也是本題的命制背景，細研此題還有很多有趣的性質(zhì)，有興趣的同學們可以繼續(xù)探究，因篇幅有限，不再贅述.

三、結(jié)束語

2014年年山東省數(shù)學高考理科卷壓軸題以阿基米德三角形為背景，以拋物線為載體，考査圓錐曲線定點、最值、直線與圓錐曲線的關(guān)系等內(nèi)容的方方面面，同學們在接受考試的同時，又能感悟到數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，體會到數(shù)學結(jié)論的和諧，這正是該壓軸題命題的高明之處.