排列組合易錯(cuò)點(diǎn)剖析

兩個(gè)原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，排列組合問題與其它知識(shí)聯(lián)系相對(duì)較少，但應(yīng)用性強(qiáng)，種類繁多，對(duì)同學(xué)們的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，因此同學(xué)們學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理和排列組合就易出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，下面對(duì)幾例典型錯(cuò)解進(jìn)行剖析，希望能幫助同學(xué)們防微杜漸.

易錯(cuò)點(diǎn)一 使用分類加法計(jì)數(shù)原理不當(dāng)致誤

例1 在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（ "）

A. 10 " B. 11 " C. 12 " D. 15

錯(cuò)誤解答：A

易錯(cuò)分析：至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同是本題的題眼，可分為0個(gè)相同，1個(gè)相同，2個(gè)相同.

正確解答：B

解析：分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論.

（1）若0個(gè)相同，則信息為：1001.共1個(gè).

（2）若1個(gè)相同，則信息為：0001，1101，1011，1000.共4個(gè).

（3）若2個(gè)相同，又分為以下情況：

①若位置一與二相同，則信息為：0101;

②若位置一與三相同，則信息為：0011;

③若位置一與四相同，則信息為：0000;

④若位置二與三相同，則信息為：1111;

⑤若位置二與四相同，則信息為：1100;

⑥若位置三與四相同，則信息為：1010.

共有6個(gè).

故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為1+4+6=11.

易錯(cuò)點(diǎn)二 分類不清造成增解

例2 2008年奧運(yùn)圣火在某市傳遞，在一重要的路段準(zhǔn)備安排7個(gè)火炬手傳遞，其中甲火炬手不跑第一棒，乙火炬手不跑最后一棒，問火炬手傳遞順序有多少種安排法？

錯(cuò)誤解答：安排在第一棒除甲火炬手之外的有A16種情形，安排在最后一棒除乙火炬手之外的也有A16種情形，然后余下的中間安排有A55種情形，所以不同的安排法有A16A16A55=4320種.

易錯(cuò)分析：安排第一棒的6種情形也有乙甲火炬不安排在最后一棒的情況，因此重復(fù)計(jì)算了5A55種情形.出現(xiàn)增解常見兩種情形：（1）選取元素時(shí)出現(xiàn)重復(fù);（2）分類時(shí)沒有嚴(yán)格分開而出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象.

正確解答：減去重復(fù)數(shù)，應(yīng)為A16A16A55-5A55=3720種.

易錯(cuò)點(diǎn)三 只知分類原理忽略分步原理

例3 從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的取法有 " "種.

錯(cuò)誤解答：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.

易錯(cuò)分析：錯(cuò)解的原因在于沒有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.

正確解答：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有C26種方法;第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有C35種方法，據(jù)乘法原理共有C26·C35種方法.同理，完成第二類辦法中有C36·C25種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有C26·C35+C36·C25=350種方法.

易錯(cuò)點(diǎn)四 分不清是排列還是組合

例4 有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？

錯(cuò)誤解答：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有A88種方法.

易錯(cuò)分析：錯(cuò)解中沒有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.

正確解答：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：C38=56排法.

易錯(cuò)點(diǎn)五 重復(fù)計(jì)算

例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ "）種.

A. 5040 "B. 1260 "C. 210 "D. 630

錯(cuò)誤解答：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：C27C25A33=1260，選B.

易錯(cuò)分析：這里是部分均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四;也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.

正確解答：C27C25A332=630種.

易錯(cuò)點(diǎn)六 忽略特殊情況

例6 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ "）

A. 1024種 " " "B. 1023種

C. 1536種 "D. 1535種

錯(cuò)誤解答：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有210-1=1023種.

易錯(cuò)分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成4種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).

正確解答：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29×3-1=1535種.

易錯(cuò)點(diǎn)七 分類討論思想應(yīng)用錯(cuò)誤

例7 在一個(gè)正方體中，各棱、各面對(duì)角線和體對(duì)角線所在的直線中，共有多少對(duì)異面直線？

錯(cuò)誤解答：一個(gè)正方體中有12條棱，12條面對(duì)角線和4條體對(duì)角線，這些棱、面對(duì)角線和體對(duì)角線共可組成C228對(duì)直線.又一個(gè)正方體中有底面和側(cè)面共6個(gè)，對(duì)角面6個(gè)，每個(gè)面都有6條直線，故共可組成C228-12C26=198對(duì)異面直線.

易錯(cuò)分析：以上解答的誤區(qū)在于只考慮了正方體中底面、側(cè)面、對(duì)角面中的直線不能構(gòu)成異面直線，忽視了一些雖不是同在上述各面上但共點(diǎn)的直線也不能構(gòu)成異面直線.例如圖中所示，正方體ABCDA1B1C1D1中的三條面對(duì)角線AD1、AB1、AC，其中任意兩條也都不能構(gòu)成異面直線.

正確解答：一個(gè)正方體的棱、面對(duì)角線和體對(duì)角線共有28條，底面、側(cè)面和對(duì)角面共12個(gè)面的每一個(gè)面中任兩條直線不能構(gòu)成異面直線，8個(gè)頂點(diǎn)中過每個(gè)頂點(diǎn)的三條面對(duì)角線不能構(gòu)成異面直線，故共有C228-12C26-8C23=174對(duì)異面直線.

另解：因?yàn)橐粋€(gè)三棱錐的6條棱中有且只有三對(duì)異面直線，而一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有C48種，上述12個(gè)底面、側(cè)面和對(duì)角面每個(gè)面的4個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三棱錐，故一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成C48-12=58個(gè)三棱錐，所以一個(gè)正方體共有3×（C48-12）=3×58=174對(duì)異面直線.

易錯(cuò)點(diǎn)八 混淆“相間”與“不相鄰”

例8 2014年某電視臺(tái)在春節(jié)期間舉辦了一臺(tái)相聲、戲曲晚會(huì)，向全世界展示中華民族特有的藝術(shù)瑰寶，共安排有5個(gè)相聲節(jié)目，有5個(gè)戲曲節(jié)目，安排節(jié)目出場(chǎng)順序時(shí)要求相聲與戲曲節(jié)目相間演出，共有多少種安排法？

錯(cuò)誤解答：先將5個(gè)相聲節(jié)目全排列有A55種，然后再將5個(gè)戲曲節(jié)目插入5個(gè)相聲前后及之間的6個(gè)空檔中有A56種，共有A55A56=86400種.

易錯(cuò)分析：上面解法并不能保證兩類節(jié)目相間，因?yàn)楫?dāng)?shù)谝粋€(gè)節(jié)目與最后一個(gè)節(jié)目均為戲曲節(jié)目時(shí)，一定有兩個(gè)相聲節(jié)目的順序是連續(xù)的.

正確解答：5個(gè)相聲與5個(gè)戲曲節(jié)目要相間分為兩類：相戲相戲相戲相戲相戲，或戲相戲相戲相戲相戲相.因此節(jié)目安排順序有2A55A55=28800種.

易錯(cuò)點(diǎn)九 審題錯(cuò)誤

例9 在100件產(chǎn)品中，有3件次品與7件正品，從中任選3件，至少抽取一件次品的不同方法有多少種？

錯(cuò)誤解答：從3件次品中任選一件，有C13種方法，再?gòu)挠嘞?9件產(chǎn)品中任選2件，有C299種方法，于是至少一件次品的抽取方法有以C13C299種.

易錯(cuò)分析：上述解法中的分步表面看是正確的，實(shí)際上是錯(cuò)誤的，不妨設(shè)三件次品為a1，a2，a3，97件正品為b1，b2，…，b97.從3件次品中任選一件后再?gòu)钠溆?9件產(chǎn)品中任選2件的選法包含了如下情形：a1，b1，b2和a1，b2，b1，這只能算是一種抽取方法.因抽取的三件產(chǎn)品是不要考慮順序的，

正確解答：按抽取次品件數(shù)分類：①恰有一件次品，有C13C297種方法;②恰有2件次品，有以C23C197種方法;③恰有3件次品，有C33種方法，故符合條件的抽取方法共有C13C297+C23C197+C33種.

另解：從反向考慮用間接法.抽取3件正品的方法為C397種，故至少一件次品的抽取方法為C3100-C397.

易錯(cuò)點(diǎn)十 忽視題設(shè)條件出錯(cuò)

例10 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 " "種.（以數(shù)字作答）

錯(cuò)誤解答：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有C13·2·A22=12種，由乘法原理共有：4×12=48種.

易錯(cuò)分析：這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).

正確解答：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法;當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有C34種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C34×3×2=24種.綜上共有：48+24=72種.