細節(jié)決定成敗

不等式在高考試卷上“看似沒有，但處處皆有”，推理與證明更是數學高考的重要能力要求，對于這兩部分內容同學們常常因為理解不透徹，解題思路不嚴謹而致誤.細節(jié)決定成敗，忽視知識、方法的細微之處，想當然地去考慮問題，把問題主觀化、簡單化，必然導致錯誤的發(fā)生.下面我們分門別類，結合示例，剖析致錯原因，讓同學們學會關注細節(jié)，增強思維的嚴密性，笑對高考.

一、不等式易錯點探究

運用不等式知識解題時容易發(fā)生以下錯誤：求范圍問題多次利用不等式后擴大了變量的取值范圍；使用基本不等式求最值時，忽視了其前提“一正、二定、三相等”；連續(xù)使用基本不等式，忽視驗證同時滿足任何一次的字母取值是否存在、是否一致；對使用基本不等式時等號取不到的情況，不能改變解題策略（例如借助函數y=x+mx（m>0）的單調性）.

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二、推理與證明易錯點剖析

從近幾年的高考來看，推理與證明這部分內容主要考試題型有：1.利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結論；2.將演繹推理與立體幾何、解析幾何、函數與導數等知識結合在一起命制綜合題；3.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數與方程、數列知識為載體，考查分析法、綜合法、反證法.同學們容易發(fā)生的錯誤有：

類型1 歸納不準確

例8 如圖所示，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應數列{an}（n∈N*）的前12項，如下表所示.

a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12

x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6

按如此規(guī)律下去，則a2013+a2014+a2015= .

易錯分析：本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個點的坐標和數列的對應法則，歸納出該數列的一般關系.可能出現的錯誤有兩種：一是歸納時找不準“前幾項”的規(guī)律，胡亂猜測；二是弄錯奇偶項的關系.

正解分析：本題中各個點的縱坐標對應數列的偶數項，并且逐一遞增，即a2n=n（n∈N*），各個點的橫坐標對應數列的奇數項，正負交替后逐一遞增，并且滿足a4n-3+a4n-1=0（n∈N*），

正解：a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，…，這個數列的規(guī)律是奇數項為1，-1，2，-2，3，…，偶數項為1，2，3，…，故a2013+a2015=0，a2014=1007，故a2013+a2014+a2015=1007.

點評：本題實質是根據前幾項，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現一般性規(guī)律的重要方法.

類型2 類比不得法

例9 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：1AD2=1AB2+1AC2，那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由.

易錯分析：沒有掌握類比的一般規(guī)律，不知道從平面如何過渡到空間，感覺無從下手，只能瞎寫一通.

其實由平面中的結論類比到空間，一般規(guī)律是：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；②三角形各邊的邊長與三棱錐各面的面積是類比對象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；⑤三角形面積公式中的“二分之一”與三棱錐體積公式中的“三分之一”是類比對象.

正解：類比AB⊥AC，AD⊥BC，1AD2=1AB2+1AC2猜想：

四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，E為垂足，則1AE2=1AB2+1AC2+1AD2.

證明：如圖，連結BE并延長交CD于F，

連結AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，

∴AB⊥平面ACD.

而AF平面ACD，∴AB⊥AF，

在Rt△ABF中，AE⊥BF，

∴1AE2=1AB2+1AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2=1AC2+1AD2.

∴1AE2=1AB2+1AC2+1AD2，故猜想正確.

探究提高：（1）類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）.

（2）類比推理的關鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論.

類型3 利用反證法時，不能作出正確的反設

例10 否定“自然數a，b，c中恰有一個是偶數”時，正確的反設為 .

錯解：自然數a，b，c中沒有偶數.

錯因分析：對“恰有”否定出錯.數學中“恰有”是指“有且只有”.自然數a，b，c中為偶數的情況為a，b，c全為偶數；a，b，c中有兩個數為偶數；a，b，c中恰有一個數為偶數；a，b，c全為奇數.所以反設應為“a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數”.

正確答案：a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數.

類型4 分析法、綜合法運用不到位

例11 已知函數f（x）=log2（x+2），a，b，c是兩兩不相等的正數，且a，b，c成等比數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論.

易錯分析：一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會用綜合法表述，從而導致解題格式不規(guī)范.

正解分析：（1）判斷兩式的大小關系，可用特例法；（2）用分析法探尋證題思路；（3）用綜合法完成證明.事實上，取a=1，b=2，c=4，則f（a）+f（c）=f（1）+f（4）=

探究提高：綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程.有時還要把分析和綜合結合起來交替使用，才能成功.

（作者：夏志勇，海安縣曲塘中學）