讓人“腦洞大開”的注水問題

用一次函數(shù)解決實際問題是近幾年中考的一個熱點.下面舉例說明用一次函數(shù)解決注水問題，以期對同學(xué)們有所啟發(fā).

例l 如圖1，在底面積為100c㎡、高為20cm的K方體水槽內(nèi)放入一個圓柱形燒杯，以恒定不變的流量先向燒杯中注水，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽為止，在此過程中，燒杯本身的質(zhì)量、體積忽略不汁，燒杯在水槽中的位置始終不變，水槽中水而的高度h與注水時間t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（l）寫出函數(shù)圖象中點A，B的實際意義；

（2）求燒杯的底面積；

（3）若燒杯的高為9cm，求注水的速度以及注滿水槽所用的時間.

解析：要注意關(guān)鍵點的實際意義，如點A表示燒杯中剛好注滿水，點B表示水槽中水位恰好與燒杯中的水位相齊，

設(shè)燒杯的底面積為Sc㎡，高為h1cm，注水速度為vcm3/s，注滿水槽所用的時間為t1s.

（1）m圖2可知，點A表示當注水18s時，燒杯剛好注滿：點B表示當注水90s時，水槽內(nèi)水面的高恰為h1cm（燒杯的高）.

（2）由題設(shè)可知

兩式相除，得S=20，故燒杯的底面積為20c㎡

（3）若h1=9，由（2）知l00×9=9v，解得v=10。從而

故注水速度為10cm3/s，注水時間為200s.

例2 圖3是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（cm）與注水時間x（min）之間的關(guān)系如圖4所示.根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）圖4中折線ABC表示_____槽中水的深度與時間之間的關(guān)系，線段DE表示______槽中水的深度與時間之間的關(guān)系，點B的縱坐標表示的實際意義是______.

（2）多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽的底面積為36c㎡（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積.

（4）若乙槽中鐵塊的體積為112cm3，求甲槽的底面積（壁厚不計）.

解析：（1）根據(jù)題意可以知道折線ABC是乙槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系，線段DE表示甲槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系，點B的橫坐標表示的實際意義是水剛好沒過乙槽中的鐵塊，鐵塊的高度為14cm.

（2）不妨先求出線段AB，DE的解析式，再令y相等，即可得到甲、乙兩個水槽中水的深度相同的時間.

由待定系數(shù)法易得線段AB的解析式為y=3x+2，線段DE的解析式為y=-2x+12.令3x+2=-2x+12，解得x=2.故當2min時兩個水槽中水的深度一樣高.

（3）由圖象知，乙槽中當水面沒有沒過鐵塊時4min水面上升了12cm，即1min上升3cm；當水面沒過鐵塊后，2min水面上升了5cm，即1min上升2.5cm.設(shè)鐵塊的底面積為xc㎡，則3×（36-x）=2.5x36，解得x=6.

∴鐵塊的體積為6x14=84（cm3）.

（4）因鐵塊的體積為112cm3，故鐵塊的底面積為112÷14=8（c㎡）.

可設(shè)甲槽的底面積為m c㎡，乙槽的底面積為nc㎡.由（2）知DE的解析式為y=-2x+12.把x=4代人y=-2x+12，可得y=4.從而可知前4 min甲槽水面下降了12-4=8（cm），乙槽水面上升了12cm.結(jié)合圖象，可知后2min甲槽中水面下降了4cm，乙槽水面上升了5cm.

根據(jù)前4min和后2min甲槽中流出的水的體積和乙槽中流人的水的體積分別相等，得：解得m=60，即甲槽的底面積為60c㎡

用一次函數(shù)解決注水問題，要理解關(guān)鍵點的實際意義，從而找到解題的突破口，如：例1中點A表示燒杯中剛好注滿水，點B表示水槽中水位恰好與燒杯中的水位相齊；例2中的點B是水沒過鐵塊時的關(guān)鍵點，再通過圖象得到線段的解析式和具體的等量關(guān)系，列出方程或方程組，從而求解.

練習(xí)：

1.將一塊a（cm）xb（cm）×12（cm） （a

（1）根據(jù)圖象填空：水槽的深度為______cm，a=____，b=____，t2=____.

（2）當注水24s時，試計算圖8的方式中鐵塊露出水面的高度是多少.

（3）求圓柱形水槽的底面積.

參考答案

1.（l）根據(jù)圖象可知水槽的深度為10cm.由圖7可知此時鐵塊的高為6cm.由圖8可知此時鐵塊的高為9cm.故a=6，b=9.兩種方式注滿的時間應(yīng)相同，故t2=64.

（2）圖8中，當在O≤t≤54時的解析式為h=

當t=24時，則24s時圖8方式中鐵塊露出水面的高度是9-4=5（cm）.

（3）設(shè)圓柱形水槽的底面積為Sc㎡，根據(jù)題意（不妨由圖7）得注水速度為：根據(jù)圖7知