例談雙圖象型行程問題的求解

近年來，以行程問題為背景的一次函數(shù)圖象信息題，越來越受到中考命題者的青睞.其中，以兩個(gè)一次函數(shù)圖象為主要信息源的雙圖象型問題尤為常見，應(yīng)引起大家的足夠重視.下面略舉幾例.

例1 （2013年·德州）在一次百米賽跑中，甲、乙兩人的路程s（米）與賽跑時(shí)間t（秒）的關(guān)系如圖1所示.則下列說法中正確的是（）.

A.甲、乙兩人的速度相同

B.甲先到達(dá)終點(diǎn)

C.乙用的時(shí)間短

D.乙比甲跑的路程多

解析：由圖象可知，兩人同時(shí)出發(fā)，甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)，甲的速度比乙的速度快.故選B.

一次函數(shù)的圖象是一條直線.但在實(shí)際問題中.由于自變量常常不能取負(fù)數(shù)，所以它的圖象不一定還是直線，有可能是線段，也有可能是射線.無論哪種情況，從圖象中提取信息都是順利解題的先決條件，

例2 （2014年·武漢）在一次越野跑中，當(dāng)小明跑了1600米時(shí)，小剛跑了l400米.小明、小剛在此后所跑的路程y（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則這次越野跑的全程為______米.

解析：設(shè)小明的速度為a米/秒，小剛的速度為b米/秒，由題意得所以這次越野跑的全程為1600+300x2=2200（米）.

例3 （2014年·新疆）如圖3所示，在A，B兩地之間有汽車站C.客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地.兩車同時(shí)出發(fā)，勻速行駛.圖4是客車、貨車與C站的距離y1（千米）、y2（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之問的函數(shù)關(guān)系的圖象.

（l）填空：A，B兩地相距_____千米.

（2）求兩小時(shí)后，貨車與C站的距離y2與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）客、貨兩車何時(shí)相遇？

解析：（l）由圖象易知，B，C之間的距離為60千米，A，C之問的距離為360千米，所以A，B兩地相距420千米.

（2）由圖可知，貨車的速度為60÷2=30（千米/時(shí)），貨車到達(dá)，A地共需420÷30=14（小時(shí)）.設(shè)y2=kx+b，將點(diǎn)（2，0），（14，360）分別代入，由待定系數(shù)法可得y2=30x-60，即為所求.

（3）兩車相遇，即兩函數(shù)的圖象相交，可通過聯(lián)立兩函數(shù)的解析式求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此需先確定y1的解析式.設(shè)y1=mx+n，將點(diǎn)（6，0），（0，360）分別代人，由待定系數(shù)法可得y1=-60x+360.令y1=y2，解得，即為所求.

例4 （2014年·泉州）某學(xué)校開展“青少年科技創(chuàng)新比賽”活動(dòng)，為此“喜洋洋”代表隊(duì)沒計(jì)了一個(gè)遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運(yùn)動(dòng)的模型，甲，乙兩車同時(shí)分別從A，B處出發(fā)，沿軌道到達(dá)C處，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，沒出發(fā)t分后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d，米和d：米，則d1，d2與t的函數(shù)關(guān)系如圖5所示，試根據(jù)圖象解決下列問題：

（1）填空：乙的速度v2=______米/分.

（2）寫出d1與t的函數(shù)關(guān)系式.

（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時(shí)信號不會(huì)相互產(chǎn)生干擾，試探求：什么時(shí)間兩遙控車的信號不會(huì)相互干擾？

解析：乙從B處出發(fā)到C處，距離B處越來越遠(yuǎn)，故圖中直線表示d2與t的函數(shù)關(guān)系，圖中折線表示d.與t的函數(shù)關(guān)系，于是B點(diǎn)在A，C兩點(diǎn)之間.

（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分）.

（2）需分段考慮d2與t的函數(shù)關(guān)系，其中的關(guān)鍵是確定a的值.甲的速度v1=1.5v2=1.5x40=60（米/分）.60÷60=1（分）可得a=1.于是，由待定系

（3）顯然，這里需要分類討論.易知d1=40t.①當(dāng)0≤t10，即-60t+60+40t>10，解得t<2.5，故0≤≠<1；②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，d2-dl>10，即40t-（60t-60）>10，解得1≤f<2.5.綜上，當(dāng)0≤t<2.5時(shí)，兩遙控車的信號不會(huì)相互干擾，

總之，解答雙圖象型行程問題，除了要銘記路程、速度、時(shí)間三者之間的關(guān)系外，還要結(jié)合文字?jǐn)⑹?，看懂函?shù)圖象，弄清橫、縱坐標(biāo)和一些關(guān)鍵點(diǎn)的實(shí)際意義.