一次函數(shù)圖象變換的“特技”

一條直線可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等方式來(lái)改變位置.圖象的位置發(fā)生了變化后，解析式當(dāng)然也會(huì)隨之改變.求變換后的圖象的解析式，是一次函數(shù)學(xué)習(xí)中的常見題型.

一 平移

直線的平移分為沿著坐標(biāo)軸的方向上下平移或左右平移，也可以是斜方向平移，上下平移只改變每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值，規(guī)律是“上加下減”；左右平移只改變每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，其規(guī)律是“左加右減”.斜方向的平移則可以分解為先上下（或左右）平移、再左右（或上下）平移，在平移的過(guò)程中，k的值始終保持不變.

例l （2012年·懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，把直線y=2x向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，其解析式為（）.

A.y=2（x+l）

B.y=2（x-l）

C.y=2x+1

D.y=2x-l

解析：選A.

側(cè)2 （2013年·包頭）如圖1.已知一條直線經(jīng)過(guò)A（O，2），B（1，0）.將這條直線向左平移，與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C，D.若DB=DC，則直線CD的解析式為______.

解析：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，由待定系數(shù)法可得解析式為y=-2x+2.

易證（斜邊直角邊），從而有（角角邊）.

平移相當(dāng)于AB向下平移4個(gè)單位，故平移后的直線的解析式為y=-2x-2.

例3（2012年·衡陽(yáng)）一次函數(shù)Y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，一2），則kb=______.

解析：根據(jù)兩條平行直線的解析式中的“k”相等可得出k的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，求出b的值.再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.填-8.

二 翻折與軸對(duì)稱

與直線y=kx+b關(guān)于x軸對(duì)稱的直線，其上每個(gè)點(diǎn)（x，y）與它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)互為相反數(shù).故（x，-y）應(yīng)在直線y=kx+b上，則-y=kx+b，即y=-kx-b.此為與直線y=kx+b關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的解析式，

同理，可得與直線-v=kx+b關(guān)于y軸對(duì)稱的lI線的解析式為y=-kx+b.

例4 （2013年·萍鄉(xiāng)）已知直線y=2x+6.求與直線y=2x+6關(guān)于直線x=5對(duì)稱的直線的解析式.

分析：求直線解析式，只要知道直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，顯然，直線y=2x+6與x=5的交點(diǎn)在要求的直線上，再取直線y=2x+6上的一個(gè)特殊點(diǎn)，求出它關(guān)于直線x=5的對(duì)稱點(diǎn)，就可以用待定系數(shù)法求出解析式了，

解：當(dāng)x=5時(shí).y=2x+6=2x5+6=16.

∴所求直線與直線x=5的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，16）.

當(dāng)x=-3時(shí)，y=2x+6=2x（-3）+6=0.點(diǎn)（-3，0）在直線y=2x+6上，它關(guān)于直線x=5的對(duì)稱點(diǎn)為（13，0）.故所求直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（5，16），（13，0）.

由待定系數(shù)法可得所求的解析式為y=-2x+26.

例5 （2013年·溫州）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（-1，0），BC⊥x軸.將△ABC以y軸為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱變換，得到△A'B'C'.若直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C’，則點(diǎn)C’的坐標(biāo)是______.

分析：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得OB=OB’，然后可求出AB'.再根據(jù)直線y=x+b（它與直線y=x平行，因而與x軸的夾角為45°）可得AB'=B'C'，然后寫出點(diǎn)C’的坐標(biāo)即可.

解：易知OA=2，OB=I.△A’B'C'和△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，故OB'=OB=1，AB’=OA+DB'=2+1=3.因直線Y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C'，所以△AB'C'是等腰直角三角形.B'C'=AB'=3.

∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，3）.

求變換后直線的解析式，關(guān)鍵是確定變換后直線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).如果是平移變換，k的值不變，只須再確定直線上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

練習(xí)：

1.（2013年·濟(jì)南）若直線y=kx與四條直線x=l，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)（如圖3），則k的取值范圍是______.

2.直線y=-3x+4沿第一、三象限的角平分線向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的直線的解析式.

參考答案：

1.因直線y=kx與直線x=l的最高交點(diǎn)為（1，2），與x=2的最低交點(diǎn)為（2，1），所以

2.（提示：可分解為向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度）.