一次函數(shù)中常用的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂和精髓.在學(xué)習(xí)中，一定要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想的挖掘、提煉和應(yīng)用.下面，舉例說明一次函數(shù)中常用的數(shù)學(xué)思想，

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在解泱問題時(shí)，把注意力和著眼點(diǎn)放在問題的結(jié)構(gòu)上，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整和改變?cè)械乃季S方式，以使問題得到解決.

例l（2014年·婁底）一次函數(shù)y=kx-k（k<0）的圖象大致是（）.

分析：這里含有字母k，故可利用選擇題的特點(diǎn)用特殊值法來處理.

解：由k<0，可取一個(gè)滿足要求的k代人，如取k=-2，則v=-2x+2.作H{草圖可知其圖象經(jīng)過第一、二、四象限，因此選A.

點(diǎn)評(píng)：本題固然也可借助于一次函數(shù)的性質(zhì)來推理：因k<0，故-k>0，所以一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，但對(duì)于含“字母”的函數(shù)的圖象識(shí)別問題，借助特殊值來確定答案往往更直觀.

二、整體思想

整體思想，就是在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，由整體人手，通過觀察和分析，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從整體上把握問題.

例2 若y+b與x+a（a，b為常數(shù)）成正比例，且，當(dāng)x=3時(shí)y=5，當(dāng)x=2時(shí)y=2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

解：由條件可得y+b=k（x+a），即y=kx+（ka-b）因?yàn)閤=3時(shí)y=5，x=2時(shí)y=2，所以有解得.所以所求的函數(shù)關(guān)系式是y=3x-4.

點(diǎn)評(píng)：這里應(yīng)用整體思想求出了ka-b的值.要想直接求出a，b的值是做不到的.

三、分類思想

在解決有關(guān)一次函數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)考慮到所有的可能情況.在必要時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論，以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性、完整性，用分類討論解題時(shí)應(yīng)注意：（1）要明確分類的對(duì)象以及分類的標(biāo)準(zhǔn)；（2）所分各類之間既不重復(fù)，也不遺漏；（3）最后要對(duì)各類結(jié)果歸納總結(jié).

例3 （2014年·自貢）已知一次函數(shù)y=kx+b.若當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，則的值是______.

分析：當(dāng)k的符號(hào)不同時(shí)，一次函數(shù)的增減性也不同，x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同.

解：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大.因當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，故當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=4時(shí)，y=6.

（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨戈的增大而減小，因當(dāng)l≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，故當(dāng)x=l時(shí)，y=6；當(dāng)x=4時(shí)，y=3.

同理可得

綜上，答案為2或-7.

四、方程思想

方程思想是指把一個(gè)數(shù)學(xué)問題通過恰當(dāng)?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程（組），從而使問題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法，

例4 （2014年·黔西南）甲、乙兩人在直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑500m，先到達(dá)終點(diǎn)的人原地休息.已知甲先出發(fā)2s.在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（m）與乙出發(fā)的時(shí)間x（s）之間的關(guān)系如圖2所示.給出以下結(jié)論：①a=8；②b=92；③c=123.其中正確的結(jié)論是（）.

A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

分析：易知乙出發(fā)時(shí)，兩人相距8m，除以時(shí)間2s即為甲的速度，由于出現(xiàn)了兩人距離為0的情況，那么可知乙的速度較快.乙100s跑完總路程500m，可得乙的速度，進(jìn)而求得100s時(shí)兩人的距離，可得b的值，由兩人距離為0列出方程，可得到相應(yīng)的時(shí)間a讓乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩人的距離除以甲的速度，再加上100，即為c的值.

解：甲的速度為8÷2=4（m/s），乙的速度為500÷100=5（m/s）；6=5xl00-4x（100+2）=92： 5a-4x（a+2）=0，解得a=8；c=100+92÷4=123.所以正確的有①②③，選A.

五、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)量與圖形結(jié)合起來，分析、研究、解決問題的一種思想方法，利用數(shù)形結(jié)合思想解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，可以迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，

例5（2014年·煙臺(tái)）如圖3，已知函數(shù)y=2x+b與函數(shù)y=kx-3的圖象交于點(diǎn)P，則不等式kx- 3>2x+b的解集是____.

解：觀察圖象可知，當(dāng)x<4時(shí)，直線y=kx-3在直線y=2x+b的上方，所以不等式kx-3>2x+b的解集是x<4.

點(diǎn)評(píng)：本題也可以將點(diǎn)P（4，-6）代入到兩個(gè)函數(shù)解析式，求出b和k的值，再解不等式得到答案.但運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以從圖象上直接“看”出不等式的解集，既簡(jiǎn)捷又不易出錯(cuò).