關(guān)于函數(shù)的一些補(bǔ)充知識(shí)

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)《一次函數(shù)》這一章時(shí)，初步認(rèn)識(shí)了一個(gè)描述變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)工具——函數(shù)，下面，在教科書的基礎(chǔ)上再補(bǔ)充介紹一些有關(guān)函數(shù)的知識(shí)，供學(xué)有余力的同學(xué)參考，

一、一元函數(shù)與多元函數(shù)

1.一元函數(shù)

現(xiàn)實(shí)生活中處處可見變量.有些問題中只涉及兩個(gè)變量，而且它們互相聯(lián)系.例如，某種大米的價(jià)格為2元/kg，買5kg大米要花10元，買10kg大米要花20元，買15kg大米要花30元……隨著購(gòu)買大米質(zhì)量的變化，所付錢數(shù)也在變化.這里，“購(gòu)買大米質(zhì)量”與“所付錢數(shù)”是兩個(gè)不同的變量，它們之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，

在初中數(shù)學(xué)教科書中，函數(shù)的定義如下：

在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么x叫做自變量，y叫做x的函數(shù).

上面例子中，“購(gòu)買大米質(zhì)量”就是一個(gè)自變量，可以把它記為x，“所付錢數(shù)”若記為y，y=2x是x的函數(shù).正如只有一個(gè)未知數(shù)的方程叫做一元方程，只有一個(gè)變量是白變量的函數(shù)叫做一元函數(shù)，這里的“元”是指自變量，一元函數(shù)是反映兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.y是以x為自變量的一元函數(shù)，可以用符號(hào)記為y=f（x），這里的f表示函數(shù)關(guān)系，它來自英文function.目前，初中數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)都屬于一元函數(shù).

2.多元函數(shù)

有些問題中涉及三個(gè)或更多的變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在一個(gè)變化過程中，如果對(duì)于n個(gè)變量X1，X2…，Xn的每一組確定的值，另一個(gè)變量y都有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，那么X1，X2，…，Xn叫做自變量，y叫做X1，X2，…，Xn的函數(shù)，可以記作y=f（x1，x2，…，xn）.有n個(gè)自變量的函數(shù)叫做n元函數(shù).例如，隨著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a和寬b取值的變化，長(zhǎng)方形的面積S會(huì)發(fā)生變化.當(dāng)a=2，b=1.5時(shí)，5=3；當(dāng)a=5，b=3時(shí)，S=15……這里的a，b是兩個(gè)自變量，S=ab是一個(gè)二元函數(shù).類似地，隨著長(zhǎng)方體的長(zhǎng)a、寬b、高c取值的變化，長(zhǎng)方體的體積v會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)a=3，b=2，c=l時(shí)，V=6：當(dāng)a=5，b=3，c=2時(shí)，V=30……這里的a，b，c是三個(gè)自變量，V=abc是一個(gè)三元函數(shù).

二元以上的函數(shù)叫做多元函數(shù)，多元函數(shù)是反映一個(gè)變量與一組變量（兩個(gè)或更多的變量組成的自變量組）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)概念.在討論多個(gè)因素影響一個(gè)變量的問題時(shí)，多元函數(shù)可以發(fā)揮作用.

二、函數(shù)的表示法

在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)，不要因?yàn)楹瘮?shù)一詞中有“數(shù)”這個(gè)字，就以為函數(shù)也像整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)等是某類數(shù)的名稱，其實(shí)，函數(shù)指的是一個(gè)變化過程中的某個(gè)變量，它相對(duì)于另一個(gè)變量（自變量）有唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.表示一個(gè)函數(shù)，實(shí)際上就是要反映這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

教科書中已經(jīng)介紹了函數(shù)的通常的三種表示方法，即列表法、圖象法和解析式法，這三種方法各有千秋.根據(jù)不同的問題背景和需要，可以選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎竞瘮?shù).有時(shí)，三種方法可以互相轉(zhuǎn)化，例如由函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+l，可以列表表示x和y的某些具體的對(duì)應(yīng)值，也可以畫出一條直線作為函數(shù)圖象.但有時(shí)三種表示法并不能互相轉(zhuǎn)化.例如，圖1是某氣象站的自動(dòng)測(cè)溫儀記錄的一天中的氣溫變化情況，它以氣溫曲線的形式反映了氣溫與時(shí)間這兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由它可知這一天中每一時(shí)刻的氣溫，這里，是用圖象表示氣溫是時(shí)間的函數(shù)，但由它很難寫出這個(gè)函數(shù)的解析式.

解析式法以式子的形式反映變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是數(shù)學(xué)巾表示函數(shù)的主要形式.一般地，對(duì)于用解析法表示的函數(shù)，通過取特殊值、列表，用描點(diǎn)法可以繪出函數(shù)圖象.然而，也存在可以用解析式表示而不能繪出具體圖象的函數(shù)，例如，，是用解析式表示的一個(gè)特殊函數(shù)，當(dāng)自變量x是有理數(shù)時(shí)y=2x，當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)y=x+1.由于實(shí)數(shù)軸上的有理數(shù)點(diǎn)與無理數(shù)點(diǎn)都是處處存在而又處處不連續(xù)的，所以我們只能想象出這個(gè)函數(shù)的圖象由在兩條直線的位置上的無數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)排列而成的，但不能確切地繪出具體的圖象.

三、多項(xiàng)式函數(shù)與一次函數(shù)

1.多項(xiàng)式函數(shù)

我們學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式的概念.如果用x表示字母，則一元n次多項(xiàng)式的一般形式為其中是常數(shù)，并且.形式為的函數(shù)叫做n次多項(xiàng)式函數(shù)，其中字母x表示自變量，是常數(shù)，并且.例如，分別是三次函數(shù)和二次函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)是最基本的一類代數(shù)函數(shù)，其自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù).

2.一次函數(shù)

次數(shù)是1的多項(xiàng)式函數(shù)，即y=kx+b（其中k，b是常數(shù)，并且k≠0），如y=2x+1，y=-x-5，等，叫做一次函數(shù)，一次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，

一次函數(shù)v=kx+b的圖象是一條直線（可以稱它為直線y=kx+b），而其他多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都是非直的曲線（如二次函數(shù)的圖象是拋物線）.因此，一次函數(shù)也叫做（直）線性函數(shù).

一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)x=0時(shí)，y=b.由此可知，直線y=kx+b與y軸交于點(diǎn)（0，b），于是常數(shù)b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距，以函數(shù)y=x+l，y=-x+1，y=2x+l，y=-2x+1的圖象（圖2）為例，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b從左向右上升；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b從左向右下降.|k|越大，直線越“陡”，總之，常數(shù)k的值決定了直線y=x+b的傾斜方向和傾斜程度，于是k叫做直線y=kx+b的斜率，斜率和截距能表示y=kx+b中兩個(gè)常數(shù)的幾何意義，所以y=kx+b也叫做直線的斜截式，它在大家以后要學(xué)的解析幾何中常常用到.

四、自變量值與函數(shù)值

1.由自變量值確定函數(shù)值

從函數(shù)的概念可知，對(duì)于自變量x的每一個(gè)確定的取值，函數(shù)y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).這種對(duì)應(yīng)關(guān)系反映了兩個(gè)變量之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，其中白變量是起主導(dǎo)作用的變量，當(dāng)函數(shù)的解析式確定后，由x的值求y的值就是用代入法求值的問題.例如，用代入法很容易算出，函數(shù)y=4x-20在x=-2和x=3時(shí)的值分別是-28和-8.

2.由函數(shù)值考慮自變量值

與上面的問題相反，有些問題是考慮自變量取何值時(shí)函數(shù)值是事先設(shè)定的值，即限定函數(shù)y的值，反過來求自變量x相對(duì)應(yīng)的值，例如，求自變量x的值是多少時(shí)，（1）函數(shù)y=4x-20的值是24；（2）函數(shù)y=4x-20的值是負(fù)數(shù).容易想到，這樣的問題可以通過解方程4x-20=24和解不等式4x-20<0來解決，用圖3中的一次函數(shù)圖象可以直觀地解釋解方程、解不等式與函數(shù)值、自變量值之間的聯(lián)系.這提示我們：對(duì)以前學(xué)習(xí)過的方程和不等式，都可以從函數(shù)的角度進(jìn)行再認(rèn)識(shí).這種再認(rèn)識(shí)不是簡(jiǎn)單的回顧，而是用更具廣泛意義的函數(shù)概念來包容方程和不等式，即把方程和不等式問題看作是函數(shù)問題的一部分，從而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性的認(rèn)識(shí)，

對(duì)于所有函數(shù)，從自變量值到函數(shù)值是單值對(duì)應(yīng)的，即當(dāng)白變量取一個(gè)值時(shí)，只有一個(gè)函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，其幾何意義是：如果能畫出函數(shù)圖象，則平行于y軸的任一直線與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn).然而，從函數(shù)值到自變量值則未必是單值對(duì)應(yīng)的，對(duì)于某些非一次函數(shù)的函數(shù)，限定一個(gè)函數(shù)值，可能有不止一個(gè)白變量的值與之對(duì)應(yīng).例如，若要使函數(shù)y=4x2-2的值為2，自變量x的值可以取l或-1.如果畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，則平行于x軸的直線與函數(shù)圖象可能會(huì)有不止一個(gè)交點(diǎn)（圖4）.對(duì)于一次函數(shù)，限定一個(gè)函數(shù)值，則只有唯一的自變量的值與之對(duì)應(yīng).其幾何意義是：一次函數(shù)的圖象是不平行于x軸的直線，任一平行于x軸的直線與一次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

五、顯函數(shù)與隱函數(shù)

比較等式和4y-3y=6，可以發(fā)現(xiàn)雖然兩式的表達(dá)形式不同，但是對(duì)于表示x與y的關(guān)系，它們卻具有相同的意義.從其中任一式子，可以推出另一式子.

像這樣的等式，一邊是單獨(dú)一個(gè)字母y，另一邊是關(guān)于字母x的解析式，可以明顯地表示y是x的函數(shù)，所以這種式子叫做顯函數(shù)的表達(dá)式，像4x-3y=6這樣的等式，雖然不是顯函數(shù)形式，但是隱含了兩個(gè)變量之間的某種函數(shù)關(guān)系，所以這種式子叫做隱函數(shù)的表達(dá)式.有些表面上看不出與函數(shù)有關(guān)的問題，其實(shí)包含了隱函數(shù)關(guān)系，于是可以轉(zhuǎn)化為與函數(shù)相關(guān)的問題來解決.例如，解二元一次方程組如果能看出兩個(gè)方程都是隱函數(shù)，它們分別對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)與y=-2x+3，就能夠想到：解這個(gè)二元一次方程組，可以轉(zhuǎn)化為畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看看它們的交點(diǎn)在哪里.交點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，yo）同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，因而就是兩個(gè)方程的公共解，于是，有如圖5所示的圖象解法，得方程組的解為x=1.5，y=0.

讀過以上內(nèi)容后，你對(duì)函數(shù)有了更多的認(rèn)識(shí)了嗎？