重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 提升課程能力

【摘 要】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課與一般數(shù)學(xué)課的不同之處在于：素材的背景具有原生性，問(wèn)題的揭示具有生成性，研究的內(nèi)容具有綜合性，探索的過(guò)程具有實(shí)踐性，學(xué)習(xí)的方式具有自主性，思維的訓(xùn)練具有延展性，目標(biāo)的達(dá)成具有開(kāi)放性。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課成為學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體，也成為提升教師課程能力的平臺(tái)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課 課程能力 自主建構(gòu) 經(jīng)驗(yàn) 方法

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課以學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)為主體，以學(xué)生的親身體驗(yàn)、再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)為主要途徑，強(qiáng)調(diào)學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師、學(xué)生與社會(huì)之間的合作與交流，注重激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)和主動(dòng)建構(gòu)的積極性，力圖改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)過(guò)分強(qiáng)調(diào)“執(zhí)行教案”的狀態(tài)，容納師生的新體驗(yàn)、新感悟，有即興發(fā)揮的創(chuàng)造，也有過(guò)程和結(jié)果的開(kāi)放，最終引領(lǐng)學(xué)生“活學(xué)數(shù)學(xué)”“學(xué)活數(shù)學(xué)”。

一、解決問(wèn)題、積累經(jīng)驗(yàn)是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的基石

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將過(guò)程性目標(biāo)列為課程標(biāo)準(zhǔn)之一，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是過(guò)程性目標(biāo)，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的開(kāi)設(shè)就為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提供了機(jī)會(huì)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生和教師共同解決問(wèn)題、積累經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課案例1：從排隊(duì)來(lái)認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1：首先，把全班學(xué)生按身高由低到高排成一列，并依次編為1號(hào)、2號(hào)……，然后再把學(xué)生分成4個(gè)學(xué)習(xí)小組，每組5-6人。學(xué)生回到各小組后完成下面兩個(gè)圖（線上寫(xiě)姓名，線下寫(xiě)數(shù)字）。學(xué)生在圖1中，把自己及小組成員的編號(hào)依次標(biāo)在相應(yīng)位置。在圖2中，要求學(xué)生首先把自己（我）放在0的位置上，再標(biāo)出其他組員的對(duì)應(yīng)位置。

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2： 把活動(dòng)1中“按身高由低到高排成一列”改為“按年齡由小到大排成一列”，再完成與上面一樣的圖。

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)3：讓學(xué)生自己確定排隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)，再完成相同的任務(wù)。

對(duì)于“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”這一教學(xué)內(nèi)容，一般的數(shù)學(xué)教學(xué)都是采用從具有相反意義的量引入，“把一個(gè)量記為正，那么另一個(gè)量就記為負(fù)”。大多通過(guò)“零上與零下”“上升與下降”“收入與支出”等實(shí)例的比較來(lái)強(qiáng)調(diào)引入負(fù)數(shù)的必要性，對(duì)學(xué)生而言都是被動(dòng)地接受。許多學(xué)生難以感受到負(fù)數(shù)的實(shí)際存在，有的學(xué)生最終也不能理解“零并不表示沒(méi)有”這句話的真正涵義。

本案例將“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”作為一節(jié)實(shí)驗(yàn)課來(lái)上，可以幫助學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并自主完成從生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的提升。學(xué)生在自主完成第一個(gè)圖時(shí)，其實(shí)就是把排隊(duì)時(shí)的“隊(duì)列”提升為圖上的“直線”，隊(duì)列中的“學(xué)生”提升為直線上的“點(diǎn)”，并對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)。在思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中完成了這一提升過(guò)程。面對(duì)第二個(gè)圖，學(xué)生在前面積累經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行較為深入的思考與合作交流，最終引出了負(fù)數(shù)。整個(gè)負(fù)數(shù)的引入過(guò)程親切自然，順理成章。學(xué)生切實(shí)感受到“負(fù)數(shù)的引入是必要的，負(fù)數(shù)就在我們身邊”，學(xué)生也自然而然地認(rèn)識(shí)到：“由于‘0就是我’，所以‘零不能表示沒(méi)有’?！?/p>

本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課沒(méi)有純粹的教師教的活動(dòng)，更多的是從學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景出發(fā)，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)寬松和諧、無(wú)拘無(wú)束的心理自由和安全的環(huán)境，讓學(xué)生以飽滿的熱情參與教學(xué)。體現(xiàn)了從學(xué)生熟悉的常識(shí)或基本的生活及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)和感悟?qū)W習(xí)內(nèi)容，尋求解決問(wèn)題的途徑，獲得新知，解決問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。這種思考與解決問(wèn)題的方法，更符合人的認(rèn)知規(guī)律，也是指導(dǎo)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的思想基石。

二、提升經(jīng)驗(yàn)、學(xué)會(huì)方法是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的核心

思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。它是眾多的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決后總結(jié)而成的，它凌駕于具體問(wèn)題之上而熠熠生輝。數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有指導(dǎo)作用，它不一定是非常明確的解題方法，但它總能指明解決問(wèn)題的方向。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課案例2：從翻轉(zhuǎn)茶杯來(lái)認(rèn)識(shí)有理數(shù)的乘法法則

將學(xué)生4-5 人分為一組，按序編號(hào)，每小組選擇若干個(gè)大小一樣的茶杯。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：“3翻2”。3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過(guò)若干次操作，能否使3只茶杯的杯口都朝下？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二：“4翻2、3”。4只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過(guò)若干次操作，能否使4只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉(zhuǎn)3只茶杯呢？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三：“5翻2、3、4”。5只杯口都朝上的茶杯，先每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯，改變它們杯口的朝向，經(jīng)過(guò)若干次操作，能否使5只茶杯的杯口都朝下？如每次翻轉(zhuǎn)3只、4只茶杯呢？

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)四：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提出需要研究的問(wèn)題——“5翻2”“5翻3”“5翻4”“6翻4”“6翻5”等。讓學(xué)生充分活動(dòng)、交流、展示。

1.引導(dǎo)學(xué)生思考。

（1）“3翻2”是否的確無(wú)法實(shí)現(xiàn)？如何解釋？

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后已有2只茶杯的杯口朝下，只有1只茶杯的杯口朝上；“每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯”是否可以看作“將1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次”？

（2）如何解釋“5翻2”也無(wú)法實(shí)現(xiàn)？

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后已有2只茶杯的杯口朝下，還有3只茶杯的杯口朝上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上述的“3翻2”。

（3）關(guān)于“5翻3”。

提示：第一次翻轉(zhuǎn)后“5翻3” 轉(zhuǎn)化為“2翻3”；第二次翻轉(zhuǎn)后（將1只茶杯翻轉(zhuǎn)1次，另1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“1翻3”；每次翻轉(zhuǎn)3只茶杯可以看作將1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)3次。所以“5翻3”可以完成。

（4）一次“6翻4”的操作相當(dāng)于進(jìn)行兩次“6翻2”。

2.實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

在生活中，“杯口朝上” 與“杯口朝下”意義相反，數(shù)學(xué)上常用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。如用“+1”表示“杯口朝上”，那么“杯口朝下”就可以表示為“-1”。翻轉(zhuǎn)茶杯的問(wèn)題就變?yōu)椋航?jīng)過(guò)若干次操作，表示各個(gè)杯子狀態(tài)的數(shù)字從“+1”變?yōu)椤?1”。

下面我們用各個(gè)數(shù)字積來(lái)代表茶杯的整體狀況。翻轉(zhuǎn)1只茶杯，就是改變1只茶杯的杯口朝向，即相當(dāng)于改變1個(gè)因數(shù)的符號(hào)。同時(shí)翻轉(zhuǎn)3只茶杯，就是同時(shí)改變3個(gè)因數(shù)的符號(hào)，這時(shí)若干茶杯的整體狀況改變；同時(shí)翻轉(zhuǎn)2只茶杯，就是同時(shí)改變2個(gè)因數(shù)的符號(hào)，這時(shí)若干茶杯的整體狀況不改變。這樣，我們就可以用有理數(shù)乘法運(yùn)算的“符號(hào)法則”來(lái)解決“翻轉(zhuǎn)茶杯”的問(wèn)題了，也就把“翻轉(zhuǎn)茶杯”的問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”了。

以“3翻2”為例 ：

由于每次翻轉(zhuǎn)兩只茶杯，整體狀態(tài)不發(fā)生改變，始終為“+1”，不可能變?yōu)槟繕?biāo)狀態(tài)的“-1”，所以“3翻2”是不可能實(shí)現(xiàn)的。

3.方法應(yīng)用：試用這種方法解釋其他情形。

“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，幾個(gè)非零因數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正”。一般的課堂教學(xué)中都是教師隨意舉例得出法則，教會(huì)學(xué)生用來(lái)解題即可。很少有教師會(huì)細(xì)究法則的原因。而這節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，使學(xué)生對(duì)這一法則有了進(jìn)一步理解。

本節(jié)課針對(duì)問(wèn)題情景，合理地設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容以及教學(xué)方法，既考慮到學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生思考，以提升他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也考慮到問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法，講解方法，引導(dǎo)他們總結(jié)思想方法。從具體教學(xué)中可以看出，學(xué)生能夠借助所學(xué)的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的全過(guò)程，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)、討論、解決問(wèn)題等活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的興趣、好奇心、投入程度、合作態(tài)度、意志力和探索精神等，都比常態(tài)課要高得多。

三、運(yùn)用方法、形成觀念是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的靈魂

通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出、分析和解決的過(guò)程，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和內(nèi)化，他們?cè)陬^腦中會(huì)逐步留下對(duì)數(shù)學(xué)的綜合性認(rèn)識(shí)，這就是數(shù)學(xué)觀念。它是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)、情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體，對(duì)數(shù)學(xué)觀念的追求應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最原始、最永恒、最有效的動(dòng)力。一旦形成積極、正確的數(shù)學(xué)觀念，學(xué)生就會(huì)有學(xué)以致用的意識(shí)和能力，會(huì)積極參與合作學(xué)習(xí)，能夠積極思考、勇于探索，既能夠發(fā)現(xiàn)自己的思維方式中的錯(cuò)誤，接受別人的幫助，調(diào)整思維策略，也能夠勇于懷疑、大膽創(chuàng)新，還能夠表現(xiàn)自我、展示思維、迸發(fā)智慧、體驗(yàn)成功。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課案例3：五邊形能鑲嵌嗎？

問(wèn)題1：只用正方形或者是等邊三角形的地板磚能不能將一塊地面鋪滿？

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)一：拿出準(zhǔn)備好的正方形和等邊三角形的硬紙片試著拼。

問(wèn)題2：正五邊形能鑲嵌嗎？

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)二：拿出準(zhǔn)備好的正五邊形硬紙片試著拼，觀察并討論為什么正三角形、正方形可以鑲嵌，而正五邊形不可以。

問(wèn)題3：全等的三角形、四邊形能不能進(jìn)行鑲嵌呢？

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)三：拿出準(zhǔn)備好的全等的三角形和四邊形，只利用全等的三角形或者只利用全等的四邊形，試著拼一下。

問(wèn)題4：用不同的正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌要具備什么條件？

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)四：正五邊形是不可以進(jìn)行鑲嵌的，普通的五邊形是否能夠鑲嵌呢？

對(duì)于這一問(wèn)題，《教師用書(shū)》給出的參考答案是：“用全等的五邊形不能鑲嵌平面，因?yàn)樵趫D形的每一個(gè)拼接點(diǎn)處，無(wú)法用五邊形的某些角構(gòu)成周角?！钡珜W(xué)生卻通過(guò)實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)五邊形是可以鑲嵌的。學(xué)生還通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)發(fā)現(xiàn)，迄今為止，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有十多種可以鑲嵌的五邊形。本課之所以這樣設(shè)計(jì)，就是從這一錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)自我學(xué)習(xí)與積累，運(yùn)用所掌握的方法，勇于懷疑、大膽創(chuàng)新，幫助他們養(yǎng)成良好的治學(xué)品質(zhì)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科素養(yǎng)，形成積極的數(shù)學(xué)觀念。沒(méi)有一種解題方法是最完美的，我們的數(shù)學(xué)課應(yīng)該承擔(dān)起培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力的重任。每個(gè)學(xué)生的想法都有其發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，這些過(guò)程都應(yīng)該被關(guān)注。也許有些想法是錯(cuò)誤的，但這種錯(cuò)誤也同樣有價(jià)值。讓學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，還能發(fā)現(xiàn)教師解決問(wèn)題的片面性。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課使合作探究成為可能，使知識(shí)的流動(dòng)有了載體。

（本文獲江蘇省第十三屆“五四杯”中學(xué)青年教師教育教學(xué)論文競(jìng)賽一等獎(jiǎng)；作者單位：江蘇省連云港市朐山中學(xué)）