數(shù)學(xué)思考力：在“自然境遇”中自由生長(zhǎng)

楊友平

摘要：在新課改語(yǔ)境下，數(shù)學(xué)思考力培養(yǎng)得到重視。但是，數(shù)學(xué)課堂的常態(tài)教學(xué)所呈現(xiàn)的學(xué)材“程式化”、思維“標(biāo)準(zhǔn)化”、語(yǔ)境“小眾化”、思考“零碎化”等問(wèn)題制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的培養(yǎng)，教師需進(jìn)一步檢讀“本質(zhì)”、檢視“形式”、檢行“發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中與“逆境”相應(yīng)、與“異境”相融、與“我境”相適，讓數(shù)學(xué)思考力在“自然境遇”中自由生長(zhǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考力；自然境遇；自由生長(zhǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2015）04A-0062-04

一、檢讀“本質(zhì)”：數(shù)學(xué)思考力的概念再認(rèn)識(shí)

什么是數(shù)學(xué)思考力？數(shù)學(xué)思考力實(shí)質(zhì)是一種隱性學(xué)力。學(xué)者論述頗多，且存在認(rèn)識(shí)差異。我們不妨換個(gè)角度，嘗試用解構(gòu)策略檢讀一下“思考”、“數(shù)學(xué)思考”、“力”等相關(guān)核心概念，以幫助重新認(rèn)識(shí)本質(zhì)要素?！八伎肌币辉~在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中解釋為“進(jìn)行比較深刻的、周到的思維活動(dòng)?！薄皵?shù)學(xué)思考”是人們?cè)诿媾R各種問(wèn)題情境時(shí)從數(shù)學(xué)的角度去觀察分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)信息，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法去解決問(wèn)題的思考方式。[1]所謂“力”是指學(xué)力、能力。日本學(xué)者細(xì)野真宏認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思考力”是一種邏輯運(yùn)用、本質(zhì)聯(lián)系、信息建立的能力，也就是通過(guò)消除自己的偏見(jiàn)，整理思考事物結(jié)構(gòu)的能力。[2]不難看出，“數(shù)學(xué)思考力”的特質(zhì)指向其思維性。教師應(yīng)更多地關(guān)注思考過(guò)程中的獨(dú)立性、適應(yīng)性、敏感性等積極要素作用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考。

1.關(guān)注思維的獨(dú)立性

心智自主是重要的思維特質(zhì)。[3]教師要善于發(fā)揮學(xué)生“自我”意識(shí)在思考過(guò)程中的主體作用力，把思考的選擇權(quán)還給學(xué)生，激發(fā)開(kāi)放的意向與意愿，釋放獨(dú)立思考的自由，喚醒學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)思考發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)及隱含的思想，用數(shù)學(xué)的方式去聯(lián)系構(gòu)建“自己意義的”邏輯結(jié)構(gòu)，獨(dú)立自主地應(yīng)對(duì)不可預(yù)見(jiàn)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

2.關(guān)注情境的適應(yīng)性

數(shù)學(xué)思考力形成是師、生與數(shù)學(xué)的課堂相遇、相識(shí)與相應(yīng)的過(guò)程。無(wú)論是建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念和統(tǒng)計(jì)觀念，還是發(fā)展合情推理和演繹推理、形象思維與抽象思維能力，都需要通過(guò)參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，建立起“數(shù)學(xué)常識(shí)”和“問(wèn)題情境”的聯(lián)系，逐步在數(shù)學(xué)形式與發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中積淀生長(zhǎng)出數(shù)學(xué)思考力。

3.關(guān)注思考的敏感性

敏感性是對(duì)某一行為適當(dāng)性的感知能力，是思維特質(zhì)的重要成分，其積極作用得到學(xué)者們的廣泛認(rèn)同。[4]因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注思考的敏感性培養(yǎng)，通過(guò)充滿了求同與求異、形象與抽象、邏輯與直覺(jué)、聯(lián)想與猜想等思維方式的動(dòng)態(tài)交融、有機(jī)統(tǒng)整，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，尋找信息與問(wèn)題的聯(lián)系，培養(yǎng)他們的思考方向的敏感、信息關(guān)聯(lián)的敏感、非常規(guī)思考的敏感、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的敏感、復(fù)雜思維情境的敏感等，不斷改善思維方式、提高思考水平。

二、檢視“形式”：窺探課堂常態(tài)的數(shù)學(xué)思考力“虛實(shí)”

法國(guó)作家法朗士說(shuō)：“形式是一只金瓶，思想之花插入其內(nèi)，便可流芳百世?！碑?dāng)下“課改”，以“改課”推進(jìn)，“改課”的意義并不在形式本身，重要的是形式背后的實(shí)質(zhì)變革：學(xué)生數(shù)學(xué)思考力及問(wèn)題解決能力等學(xué)力是否得到真正提升。教師需要更理性地觀察自己的課堂，檢視靜態(tài)形式下所影射出的動(dòng)態(tài)思考力的虛實(shí)。

1.學(xué)材“程式化”：“有思路”未必“有出路”

人們總堅(jiān)信“有思路就有出路”這一由思考轉(zhuǎn)化為思考力的成功秘訣。但從發(fā)展學(xué)力的角度看，這樣的邏輯實(shí)現(xiàn)需要一個(gè)條件支持：“思路”來(lái)自學(xué)生自己的思考。意味著在數(shù)學(xué)思考轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思考力過(guò)程中，教師為學(xué)生提供適合的啟思學(xué)材并幫助學(xué)生表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考顯得尤為重要。學(xué)材作為思考力轉(zhuǎn)化的重要媒介，對(duì)啟思引學(xué)、深化探索有重要意義。但是，不少展示課、家常課所呈現(xiàn)的學(xué)材都有意無(wú)意地透露著現(xiàn)成思路或模式，問(wèn)題解決幾乎沒(méi)有難度。看似邏輯呈現(xiàn)的學(xué)材使教學(xué)更順暢，但同時(shí)也暴露了思考被動(dòng)與發(fā)現(xiàn)單一的另一面。長(zhǎng)期思考現(xiàn)成，只會(huì)養(yǎng)成惰性思維。這樣的培養(yǎng)方式未必有出路。

2.思維“標(biāo)準(zhǔn)化”：“沒(méi)問(wèn)題”其實(shí)“有問(wèn)題”

熱衷于尋找“標(biāo)準(zhǔn)答案”不知何時(shí)成為群體的思維共性，以唯一性與排他性為特征的“標(biāo)準(zhǔn)化”思維無(wú)疑成為一種桎梏創(chuàng)造的文化。窺視課堂，我們不難發(fā)現(xiàn)種種思維的“標(biāo)準(zhǔn)化”教學(xué)的硬傷。

現(xiàn)象一：質(zhì)疑環(huán)節(jié)“走過(guò)場(chǎng)”。對(duì)“同學(xué)們還有什么疑問(wèn)嗎？”之類的意見(jiàn)征詢，通常無(wú)人問(wèn)津，課堂上不容易聽(tīng)到不同聲音，與好奇好問(wèn)的兒童天性不相符合，與更高質(zhì)量的思考背道而馳。

現(xiàn)象二：思考方式“照這樣”。盡管形式上主張算法多樣化、解法個(gè)性化……但最終教師會(huì)基于答題風(fēng)險(xiǎn)考慮，對(duì)算法、解法作“強(qiáng)勢(shì)比較”后，形成統(tǒng)一方式，表面的“尊重”和答題“沒(méi)問(wèn)題”，實(shí)質(zhì)難掩思維僵化和思想失自由。

現(xiàn)象三：速求結(jié)果“造公式”。在追求“標(biāo)準(zhǔn)化”的功利驅(qū)動(dòng)下，一些解決實(shí)際問(wèn)題的習(xí)題被教師“額外重用”，提煉推導(dǎo)出一大堆更抽象的“衍生公式”：S環(huán)=（R2-r2）π、S半圓=πr2÷2、C半圓周=πr、C半圓=5.14r等。當(dāng)數(shù)學(xué)思考淪為枯燥推導(dǎo)與符號(hào)游戲，所“造公式”只是空有其“殼”，反而會(huì)拖累兒童思考與前行。

3.語(yǔ)境“小眾化”：“被思考”實(shí)質(zhì)“無(wú)成長(zhǎng)”

“語(yǔ)言是思維本身的要素?！盵5]通過(guò)課堂對(duì)話所構(gòu)筑起來(lái)的語(yǔ)境表征學(xué)生思考的結(jié)果，同時(shí)也透露出他們?cè)趯W(xué)習(xí)中的話語(yǔ)狀態(tài)。數(shù)學(xué)課堂本是多樣性思維碰撞與激發(fā)的自由“場(chǎng)域”，但由于教師偏好合乎己意的學(xué)生應(yīng)答，課堂經(jīng)常會(huì)被少數(shù)能言善思者“把控”，“小眾化”的“代言”比比皆是。多數(shù)學(xué)生在強(qiáng)勢(shì)語(yǔ)境中只能淪為旁觀者和迎合者，課堂貌似精彩，實(shí)質(zhì)是一種“被思考”形式。這種“無(wú)思想”的盲從行為極不利于思考自覺(jué)和批判性思維的自由生成。

4.思考“零碎化”：“無(wú)整體”帶來(lái)“沒(méi)力度”

數(shù)學(xué)思考是一種數(shù)學(xué)化、系統(tǒng)化的思維方式，我們需要把整體思考作為認(rèn)識(shí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)，幫助學(xué)生養(yǎng)成整體思考與構(gòu)建的意識(shí)和能力，培養(yǎng)更高層次的思維方式，既要用規(guī)律解釋與推理，又要用辯證聯(lián)系與架構(gòu)。目前，我們的課堂還顯然偏重于“是不是”、“對(duì)不對(duì)”的對(duì)白式“零碎問(wèn)”，甚至“滿堂問(wèn)”，缺少來(lái)自學(xué)生內(nèi)部的“是什么”、“怎么辦”的整體性思考，更缺少“我覺(jué)得”、“我發(fā)現(xiàn)”等自悟式思考，難以喚醒學(xué)生的自我參與，難以促進(jìn)系統(tǒng)思考和深層發(fā)現(xiàn)。

三、檢行“發(fā)現(xiàn)”：數(shù)學(xué)思考力在“自然境遇”中自由生長(zhǎng)

愛(ài)默生說(shuō)：“人，全都是為‘發(fā)現(xiàn)而航行的探尋者”。數(shù)學(xué)思考的種子究竟投放到何種境遇里，才能生長(zhǎng)出自己的思想，并生發(fā)出能夠驅(qū)動(dòng)理智行為的數(shù)學(xué)思考力呢？形式似乎很多，但歸根結(jié)底要服從教育的“自然適應(yīng)性”，將數(shù)學(xué)知識(shí)“形式”與動(dòng)態(tài)“發(fā)現(xiàn)”有機(jī)結(jié)合，面對(duì)于“逆境”、立足于“我境”、引發(fā)于“異境”，自由穿行在觀察、感知、發(fā)現(xiàn)、歸納、演繹、構(gòu)建等思維過(guò)程中，發(fā)展和增進(jìn)數(shù)學(xué)思考力。

1.“逆境”相應(yīng)，自己撬開(kāi)問(wèn)題的“外殼”

當(dāng)前對(duì)數(shù)學(xué)課堂的預(yù)設(shè)與生成討論頗熱，不可忽略的是：教師要把應(yīng)對(duì)“逆境”作為課堂設(shè)計(jì)的重要線索。因?yàn)椋澳婢场彼伎茧m艱辛，但從思考過(guò)的地方總會(huì)生長(zhǎng)出自己的智慧來(lái)。如，《圓的周長(zhǎng)》教學(xué)重點(diǎn)環(huán)節(jié)“探索圓周率”，教師向?qū)W生拋出一個(gè)整體性問(wèn)題，引發(fā)矛盾，在逆境中探究。

第一步：整問(wèn)留白，引發(fā)“頭腦風(fēng)暴”。教師在簡(jiǎn)要回顧上節(jié)課內(nèi)容，并了解例題3直徑表達(dá)輪胎大小規(guī)格的信息后，出示整體性探究問(wèn)題：王伯伯編了個(gè)長(zhǎng)31.4米的籬笆，要在門(mén)前一大塊空地上圍個(gè)盡可能大的圓形菜園，這個(gè)圓的規(guī)格（直徑）是多少？請(qǐng)你幫他出主意。

生1：用籬笆直接圍一個(gè)圓形。

生2：不行，沒(méi)有圓規(guī)的幫忙，不容易圍成圓。

生1：可以先用一根繩子拉直畫(huà)個(gè)圓再圍嘛。

生3：繩子畫(huà)的圓可能太小，也可能超過(guò)籬笆的長(zhǎng)度。

生4：多畫(huà)幾個(gè)圓試試就行了。

生5：王伯伯把籬笆圍來(lái)圍去太辛苦！

師提示：文具盒里的細(xì)線能幫助圍圓嗎？

生6：可以用31.4厘米的細(xì)線圍一圍，找找直徑多少就行了。

通過(guò)大問(wèn)題覆蓋所知所感，讓所學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)在“逆境”中思考“突圍”——找合適的直徑，避免問(wèn)題咀嚼過(guò)細(xì)，臺(tái)階過(guò)于細(xì)小，反而制約了思考的腳步。

第二步：操作留意，嘗試“直感調(diào)適”。用31.4厘米的棉線最大可圍成直徑多少的圓？學(xué)生用直感參與操作思考，嘗試與調(diào)整：先估一估周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，再借助圓規(guī)畫(huà)圓，用線圍一圍，量一量周長(zhǎng)與直徑；棉線有剩余再調(diào)整直徑畫(huà)圓……嘗試中用操作、直感、形象等發(fā)現(xiàn)方式探究周長(zhǎng)與直徑存在的聯(lián)系。第三步：觀察留心，系統(tǒng)“聯(lián)系信息”。用數(shù)學(xué)的眼光觀察是數(shù)學(xué)思考的重要特征。學(xué)生通過(guò)系統(tǒng)收集圓周長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)直徑的信息，通過(guò)計(jì)算觀察，發(fā)現(xiàn)“圓周長(zhǎng)/直徑的值都是大約3”，在尋找“圍最大的圓”的探索調(diào)整過(guò)程中發(fā)展了數(shù)學(xué)思考力。

2.“我境”相適，自主構(gòu)建發(fā)現(xiàn)的“意義”

研究表明，數(shù)學(xué)思維不是靠傳授而得，必須從“自我”參與下的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)與理解過(guò)程中獲得。用王國(guó)維先生“有我之境”的觀點(diǎn)就是“以我觀物”、“物皆著我之色彩”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該基于學(xué)生的“我思、我義、我決”之境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視、用自適的方式發(fā)現(xiàn)、用自己的體驗(yàn)感悟，達(dá)成內(nèi)部與外部的自然相適，體驗(yàn)思考過(guò)程的發(fā)現(xiàn)樂(lè)趣與意義感知。如，《長(zhǎng)方形和正方形面積計(jì)算》教學(xué)：

第一步：學(xué)材催化，“我”先思一步。學(xué)材一：拼一拼，面積變了嗎？拿出6個(gè)1cm2的小正方形紙片，觀察感知兩種長(zhǎng)方形面積不變。發(fā)現(xiàn)：面積的大小就是單位面積的多少（方格數(shù)）。學(xué)材二：數(shù)一數(shù)，面積是多少？呈現(xiàn)長(zhǎng)方形方格圖，尋找快捷的數(shù)面積方法。發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形面積大小取決于長(zhǎng)與寬的格數(shù)。學(xué)習(xí)材料的合理投放能夠有效激活經(jīng)驗(yàn)背景，支持學(xué)生獨(dú)立思考，使其廣泛獲得“什么是長(zhǎng)方形面積”“面積與長(zhǎng)寬相關(guān)”等基本經(jīng)驗(yàn)。

第二步：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化，“我”多想一步。教師出示長(zhǎng)6cm寬4cm的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生用小正方形紙片擺一擺算面積?；顒?dòng)中有幾個(gè)學(xué)生想到只擺長(zhǎng)邊與寬邊求面積，教師肯定“少擺”的智慧后順勢(shì)追問(wèn)：擺的小方格還可以再少嗎？在“少擺”的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下引發(fā)全體思考，更多學(xué)生生成創(chuàng)見(jiàn)性擺法（圖1），通過(guò)“擺滿—少擺—只擺一個(gè)”等問(wèn)題轉(zhuǎn)化，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用一個(gè)方格動(dòng)態(tài)量一量長(zhǎng)邊與寬邊并作標(biāo)記，同樣可以求長(zhǎng)方形面積，讓數(shù)學(xué)思考走向抽象與動(dòng)態(tài)，不斷突破思考層級(jí)。

第三步：思考優(yōu)化，“我”少做一步。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。教師需要幫助學(xué)生在優(yōu)化思考策略中，超越現(xiàn)實(shí)情境，從具象走向抽象，從特殊走向一般。教師在第一步與第二步探究基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)思考：如果我們要知道教室的面積，還用1平方厘米的小方塊測(cè)量合適嗎？該怎么辦？

生1：太不合適了，教室有好幾米長(zhǎng)，量幾百次，人都要累趴下啦。

生2：用1平方米的小方塊量合適。

師：1平方米的方塊小嗎？（笑）用這樣的大方塊量面積就方便嗎？觀察一下前面方法，有什么求長(zhǎng)方形面積的捷徑？

生3：都是量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬里各有幾塊方格，再用方格數(shù)相乘求面積。

生4：我覺(jué)得教室面積可以用米尺或卷尺量教室的長(zhǎng)和寬是幾米，就知道長(zhǎng)邊與寬邊各擺幾個(gè)1平方米的“大方塊”了……

通過(guò)實(shí)際應(yīng)用中的思考“少操作一步”，以邏輯關(guān)聯(lián)的遞進(jìn)式探究逐步將求長(zhǎng)方形面積模型化，不斷將數(shù)學(xué)思考引向深層。

3.“異境”相融，自由感悟隱含的思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和理解過(guò)程中最重要之力。只有充分展開(kāi)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，通過(guò)不同視角、不同立場(chǎng)、不同維度的“異境”探索與視界相融，才能感悟到知識(shí)背后的隱含思想與數(shù)學(xué)思考的發(fā)現(xiàn)魅力。

策略一：走點(diǎn)“彎路”找“不同”。在一無(wú)所知的陌生境遇中，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種“最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”，或許就是走向創(chuàng)造的開(kāi)始。因此，教師不要懼怕學(xué)生的方法麻煩甚至易錯(cuò)，要通過(guò)支持學(xué)生找“不同”，跳出思維慣性束縛。教學(xué)《梯形面積計(jì)算》，教師未采用教材思路（指定轉(zhuǎn)化成平行四邊形）操作，而是讓學(xué)生利用前面所學(xué)自己探尋。學(xué)生在沒(méi)有“定向”的制約下發(fā)現(xiàn)將任意梯形分割成兩個(gè)三角形，也能推導(dǎo)出梯形面積計(jì)算公式。引導(dǎo)學(xué)生“回頭看”：用“分割法”找一找長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形面積公式存在什么聯(lián)系？學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)：幾種圖形都可以轉(zhuǎn)化成三角形計(jì)算面積，而且計(jì)算公式都可以看成梯形面積計(jì)算公式。不僅在走“彎路”中找到“不同”，還從“不同”中找到“相同”，觸碰模型思想與推理，盡管曲折卻很寶貴。

策略二：換個(gè)“角度”尋“更多”。求異思維有多方向與多角度思考等特征。當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于用一種方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，容易造成思維僵化。教師不妨經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)“角度”思考，聯(lián)系更多儲(chǔ)備知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，尋找更多可能。如指導(dǎo)解題“一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，4小時(shí)行了全程的2/5，照這樣計(jì)算，還要幾小時(shí)到達(dá)乙地？”多數(shù)學(xué)生順向思考：（1-2/5）÷（2/5÷4），教師繼續(xù)啟發(fā)：還有其他不同思路嗎？學(xué)生換個(gè)角度想到更多解法：設(shè)未走時(shí)間x小時(shí)2/5︰4=（1-2/5）︰x；4÷2/5-4；4÷2/5×（1-2/5）；4×（1÷2/5）-4……

策略三：跨越“異境”求“變通”。在一定思維線索下，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考在知識(shí)間、問(wèn)題間、層級(jí)間的“異境”下自由穿越，有利于促發(fā)學(xué)生的直覺(jué)性、跳躍性思考，培養(yǎng)思維的變通力。如，六年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，教師設(shè)計(jì)了一節(jié)《吸塵機(jī)器人》：校科技組組裝了一個(gè)吸塵機(jī)器人，身體是圓柱形，底面直徑40厘米，高10厘米，在長(zhǎng)8米寬6米的空曠實(shí)驗(yàn)室內(nèi)作調(diào)試。吸塵機(jī)器人的體積是多少？如將側(cè)面與上面刷上防護(hù)漆，需要刷多少面積？讓它以每分鐘2米的速度沿著墻壁轉(zhuǎn)一圈需要幾分鐘？如果將教室地面全部吸一遍，還有多少面積吸不到？……從面積到體積、周長(zhǎng)到時(shí)間、顯性到隱性、靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，跨越在多種“異境”間，感悟著建模、轉(zhuǎn)化、抽象等多種數(shù)學(xué)思想，也提升著思考水平。

境遇相適，思考化力。教師需要在數(shù)學(xué)“形式”與“發(fā)現(xiàn)”間構(gòu)建思維的橋梁，讓學(xué)生置身于一個(gè)思維自由、充滿探索與創(chuàng)造的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，不斷在“自然境遇”中生長(zhǎng)出靈動(dòng)思想和思考之力。

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責(zé)任編輯：石萍