高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：全面梳理，有的放矢；同效復(fù)習(xí)

唐洵 雷勇

高三是高中時(shí)期最重要的一年，無論是學(xué)習(xí)方法還是心態(tài)調(diào)整，都顯得尤為重要.在這個(gè)階段，同學(xué)們要完成從『學(xué)生』到『考生』的轉(zhuǎn)變.作為考生，不僅要對(duì)高考考查的內(nèi)容有更加堅(jiān)實(shí)的儲(chǔ)備，更要在心態(tài)上做好迎接高考的準(zhǔn)備。

Math

進(jìn)入高三后，高考的腳步離同學(xué)們?cè)絹碓浇?，壓力自然越來越?此時(shí)，很多同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)一輪復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)和新授課的學(xué)習(xí)狀態(tài)有明顯不同，如何科學(xué)地分配備科學(xué)習(xí)時(shí)間，每個(gè)學(xué)科的突破口在哪里……一時(shí)間所有問題都擺在面前，讓人感到無所適從，焦慮感油然而生.但是，不良情緒對(duì)同學(xué)們準(zhǔn)備高考而言，有害無益.如何才能把情緒調(diào)整到比較理想的狀態(tài)呢？最佳方法就是制定一個(gè)合理的一輪復(fù)習(xí)計(jì)劃.在制訂計(jì)劃的過程中，同學(xué)們要對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)時(shí)間、復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行全面梳理，做到心里有數(shù)，有的放矢，這樣自然能起到穩(wěn)定情緒的作用.制訂一輪復(fù)習(xí)計(jì)劃時(shí)需要注意以下幾個(gè)問題.

內(nèi)容為主，習(xí)題為輔

很多同學(xué)在進(jìn)入一輪復(fù)習(xí)后把大量精力花在解決各類復(fù)習(xí)資料的習(xí)題上，這是一個(gè)誤區(qū)，因?yàn)槿魏我惶琢?xí)題都不可能涵蓋所有的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)方法，儀靠做題，是無法找出學(xué)習(xí)中的所有漏洞的.正確的復(fù)習(xí)方法是“三個(gè)一”原則：

（1）課本看一遍，很多同學(xué)認(rèn)為課本內(nèi)容“簡(jiǎn)單”，所以課本往往被大家忽略.事實(shí)上，課本與復(fù)習(xí)資料最大的區(qū)別在于課本的“系統(tǒng)性”，課本盡可能地講述了矢¨識(shí)的來龍去脈，同時(shí)上面的定理定義給出了最“官方”的說法，課本上的例題解答更經(jīng)過了反復(fù)錘煉，嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔，是最好的解答范例.當(dāng)你對(duì)一個(gè)命題感到似是而非時(shí)，最終都要回歸課本給出答案.

（2）筆記看一遍.筆記是從老師的角度對(duì)課本內(nèi)容的一個(gè)詮釋和補(bǔ)充，對(duì)知識(shí)來源、知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，以及如何找到解決問題的方法等有更透徹的分析.

（3）曾經(jīng)做錯(cuò)或思路含糊不清的題目重新思考一遍.從曾經(jīng)做錯(cuò)或思路含糊不清的題目中能看出你當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)過程中的問題有哪些，所學(xué)知識(shí)的薄弱環(huán)節(jié)在哪里，解決問題的方法策略是否有待提高等等。

“三個(gè)一”原則能讓同學(xué)們?cè)谝惠啅?fù)習(xí)中既有效率又能最大限度地查漏補(bǔ)缺，當(dāng)這些工作完成后，再安排一些練習(xí)，通過做題訓(xùn)練答題的節(jié)奏，可進(jìn)一步檢查和評(píng)估復(fù)習(xí)的效果.

反思是提高復(fù)習(xí)效率的關(guān)鍵

面對(duì)浩如煙海的備類復(fù)習(xí)資料，要想真正取其精華，就要在反思上多下工夫.反思大致分三個(gè)方面：其一，當(dāng)完成一個(gè)題目后，要留出三到五秒的時(shí)間回憶該題的整體思路是什么，你是如何對(duì)題目條件和結(jié)論進(jìn)行關(guān)聯(lián)的，在頭腦中對(duì)題目的解答過程形成一個(gè)整體印象；其二，對(duì)于一些經(jīng)典題目，要反思能否對(duì)題目條件換個(gè)認(rèn)識(shí)角度，找出其他與結(jié)論關(guān)聯(lián)的方式（即“一題多解”），借此讓自己的思維更加靈活發(fā)散；其三，一個(gè)章節(jié)的題目完成后，一定要留出時(shí)間提煉出整套試題著重關(guān)注了哪些知識(shí)點(diǎn)，主要運(yùn)用了何種數(shù)學(xué)方法，通過分析和總結(jié)，在頭腦中形成整體印象.在一輪復(fù)習(xí)的過程中持續(xù)進(jìn)行反思訓(xùn)練，是逃離題海、提高效率的最佳方式.

安排時(shí)間分析往年真題

全國各地區(qū)的高考試題每年都保持了相對(duì)的穩(wěn)定性，即無論是試題難度、考查的重難點(diǎn)，還是題目的設(shè)置方式，都會(huì)保持對(duì)以往試題的繼承.通過分析前三年的考題，可以在心里做到對(duì)當(dāng)年的試題有一定的預(yù)期，提前把握答題的節(jié)奏，這樣在復(fù)習(xí)時(shí)也會(huì)更有針對(duì)性。

訓(xùn)練表達(dá)的規(guī)范性

規(guī)范簡(jiǎn)潔的表達(dá)不儀能讓閱卷老師更容易明白自己的答題思路，也能讓自己對(duì)題目的理解更加清晰，減少出錯(cuò)的可能.同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中，除了要關(guān)注題目的思路，還要關(guān)注別人的，從中有所借鑒.事實(shí)上，每個(gè)題目都沒有固定的表述方式或最好的表述方式，只要得出的每個(gè)結(jié)論和前面的條件之間都有定理定義作保障，表達(dá)就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?在練習(xí)初期，只要刻意去關(guān)注每個(gè)步驟是否嚴(yán)謹(jǐn)，隨著時(shí)間的推移，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)就會(huì)成為你的習(xí)慣.

筆者現(xiàn)對(duì)各章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單梳理，給出各部分必須掌握的知識(shí)要點(diǎn)，以及必須會(huì)做的題目，為同學(xué)們制訂一輪復(fù)習(xí)計(jì)劃提供參考.

函數(shù)

必會(huì)知識(shí)

1.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，如等。

2.能夠利用配方法、導(dǎo)數(shù)法、反函數(shù)等方法求基本初等函數(shù)的值域.

3.明確函數(shù)奇偶性的含義，能夠判斷所給函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù).

4.會(huì)畫出五種冪函數(shù)的圖象，掌握五種冪函數(shù)各自的性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性等.

5.理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，明確兩者直接的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，熟記兩類函數(shù)的圖象與性質(zhì).

6.給出一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，能夠判斷該函數(shù)的圖象，或通過畫函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì).

7.理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，懂得判斷所給函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).

必做例題

例1（2015北京卷）如圖1-1，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式的解集是（） 【解析】由圖知，設(shè)g（x）=，在同一坐標(biāo)系中畫出f（x），g（x）的圖象（如圖1-2），令，解得x=l，故不等式的解集為{x|-l

必學(xué)策略

函數(shù)是高考的熱點(diǎn)問題，是打開高考成功之門的金鑰匙，作為面對(duì)高考的考生，同學(xué)們要掌握哪些策略呢？①在求值域時(shí)，常用配方法、換元法、圖象法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法等，但無論用哪種方法一定要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.②在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，要注意三點(diǎn)，一是函數(shù)存在奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二是可以利用定義法和圖象法判斷函數(shù)的奇偶性；三是能夠利用“奇同偶異”研究函數(shù)的單調(diào)性.⑧在比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的大小時(shí)，往往借助函數(shù)的單調(diào)性，有時(shí)也引入0，1作為中間變量進(jìn)行過渡，④在判斷零點(diǎn)時(shí)有“三寶”，一是解方程，二是用定理，三是圖象法，其中圖象法可以轉(zhuǎn)化為單個(gè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn).如果能系統(tǒng)地構(gòu)建這些知識(shí)，做到對(duì)癥下藥，那么你就成功實(shí)現(xiàn)了從學(xué)生到考生的蛻變。

導(dǎo)數(shù)

必會(huì)知識(shí)

1.能夠求出函數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率以及切線的方程.

2.能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)，注意合理地拆分復(fù)合函數(shù)，以免漏求.

3.會(huì)利用f（x）在某區(qū)間上的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性.

4.能夠利用導(dǎo)數(shù)的方法求解函數(shù)的極大值與極小值.

5.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)法求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.

6.會(huì)求定積分的值，會(huì)利用定積分計(jì)算去邊圖形的面積.

必做例題

例2（2015新課標(biāo)卷I）已知函數(shù)

（I）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（Ⅱ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【解析】（I）設(shè)曲線y-f（x）與x軸相切于點(diǎn)則

即

因此，當(dāng)時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線

必學(xué)策略

有關(guān)導(dǎo)數(shù)幾何意義的問題可能會(huì)與解析幾何知識(shí)交匯，注意“兩直線平行，斜率相等；兩直線垂直，斜率相乘等于-1”；在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域，再利用f（x）>O或f（x）<0求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，則令f（x）≥0或f（x）≤0，再利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍；對(duì)于不等式的恒成立問題，注意將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解.

三角函數(shù)及解三角彤

必會(huì)知識(shí)

1.能夠利用三角函數(shù)的定義、公式求三角函數(shù)的值.

2.合理使用誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)的值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式.

3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì).

4.理解y=Asin（ωx+ψ）的實(shí)際意義，借助三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

5.會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

6.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

必做例題

解三角形問題是高考的高頻考點(diǎn)，作為面對(duì)高考的考生，同學(xué)們?cè)谘辛?xí)高考題的同時(shí)，還要掌握此類問題必要的解題策略：（1）邊角混合的問題，應(yīng)當(dāng)適度轉(zhuǎn)化，全部化為邊或全部化為角；（2）當(dāng)三角形的面積公式與余弦定理混合出現(xiàn)時(shí)，有時(shí)需要合理配湊，得到完全平方的關(guān)系；（3）處理實(shí)際的問題應(yīng)當(dāng)選擇合適的三角形，將邊角關(guān)系放在三角形中進(jìn)行求解.

數(shù)列

必會(huì)知識(shí)

1.給出數(shù)列的遞推公式，能夠求解數(shù)列中的某一項(xiàng)；對(duì)于一些有規(guī)律的遞推公式，能夠合理使用進(jìn)而轉(zhuǎn)化求得通項(xiàng)公式.

2.會(huì)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

3.會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

4.能夠分析所給數(shù)列的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而選擇合理的方法實(shí)現(xiàn)數(shù)列求和.

必做例題

必學(xué)策略

數(shù)列求和問題是高考的必考問題，作為即將走上考場(chǎng)的同學(xué)們，你們知道數(shù)列求和有哪些方法嗎？數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?一般常見的求和方法有：（1）公式法（直接利用等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式）；（2）分組求和；（3）錯(cuò)位相減法；（4）裂項(xiàng)相消法。

圓錐曲線

必會(huì)知識(shí)

1.會(huì)求橢圓的方程，會(huì)求橢圓的基本性質(zhì)如離心率、長軸、短軸等.

2.會(huì)求雙曲線的方程，會(huì)求雙曲線的基本性質(zhì)如離心率、漸近線等.

3.會(huì)求拋物線的方程，能夠利用拋物線的定義求距離的最值.

4.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；能解決圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題.要注意三種圓錐曲線與直線位置關(guān)系的異同；能夠利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解弦長、定點(diǎn)、定值、范圍等綜合性較強(qiáng)的問題，

必做例題

例6（2015湖北卷）一種作圖工具如圖2-1所示，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞0轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，日.DN=ON=1，MN=3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞0轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2-2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（I）求曲線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線分別交于P，Q兩點(diǎn).若直線I總與曲線C有日只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

必學(xué)策略

在設(shè)橢圓的方程前一定要做到先定型，再定量，注意記憶公式計(jì)算離心率；在設(shè)雙曲線的方程前一定要做到先定型，再定量，注意記憶公式計(jì)算離心率；此外要會(huì)利用雙曲線的漸近線方程直接求雙曲線的離心率；注意合理利用定義轉(zhuǎn)化拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離；處理直線過定點(diǎn)的問題時(shí)，將要證明過定點(diǎn)的直線方程表示為某參數(shù)的直線系方程的形式，再由直線系方程求出定點(diǎn)；處理定值問題時(shí)，將要求解的定值表示為某參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，再化簡(jiǎn)得到定值.此外，解圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題可以先研究一下特殊情況，找出定點(diǎn)或定值，再視具體情況進(jìn)行研究；同時(shí)，要學(xué)會(huì)巧妙利用特殊值解決有關(guān)定值、定點(diǎn)問題的選擇題或填空題，如將過焦點(diǎn)的弦特殊化，變成垂直于對(duì)稱軸的弦來研究等.求最值或范圍的常見解法：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，在求最值的過程中，注意使用求函數(shù)最值常用的代數(shù)方法：配方法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、單調(diào)性法等；（3）不等式法：通過基本不等式，不等式的性質(zhì)或一元二次不等式等求最值.

立體幾何

必會(huì)知識(shí)

1.能夠記住球、棱柱、棱錐、臺(tái)體、球體的表面積和體積的計(jì)算公式.

2.能夠利用平行或垂直的判定定理判斷空間線面的平行、垂直關(guān)系.

3.對(duì)于所給三視圖，能夠通過想象還原出一個(gè)空間幾何體.

4.會(huì)求空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

5.能用向量方法解決三種空間角的計(jì)算問題，

必做例題

例7（2015四川卷）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖3-1所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N.

（I）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）：

（Ⅱ）證明：直線MN∥平面BDH：

（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值.

概率與統(tǒng)計(jì)

必會(huì)知識(shí)

1.給出一個(gè)實(shí)際問題，能夠判斷具體使用三種抽樣方法中的哪一種.

2.會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖，要記住頻率分布直方圖和莖葉圖.

3.給出一組相關(guān)數(shù)據(jù)，會(huì)求回歸直線的方程.

4.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

5.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.

6.記憶古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)運(yùn)用樹形圖、列舉法以及排列組合原理求解.

7.記憶幾何概型的概率計(jì)算公式，注意長度模型與角度模型的區(qū)別.

8.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題.

9.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2x2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，

必做例題

例8（2015新課標(biāo)卷Ⅱ）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A、B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：

A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 5376 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 6482 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（I）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖（如圖4-1），并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率。

【解析】（I）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如圖4-2：

通過莖葉圖可以看出.A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值：A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中.B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.

（2）記CA1表示事件“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”；CA2表示事件“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”；CB1表示事件“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB2表示事件“B地區(qū)用戶的滿意

必學(xué)策略

一般的，求離散型隨機(jī)變量的期望一般分為4個(gè)步驟：求隨機(jī)變量取值，求概率，列分布列，進(jìn)而計(jì)算期望.特別的，作為考生，對(duì)于這類簡(jiǎn)單的問題，并不是埋頭苦做，而是先分清這是什么形式的分布列，如二項(xiàng)分布、超幾何分布、相互獨(dú)立事件的分布等，進(jìn)而動(dòng)手解題。