有限群早期研究的開拓者

胡俊美　楊靜

19世紀(jì)末，盡管數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科已歷經(jīng)了兩個(gè)世紀(jì)的蓬勃發(fā)展，但在這場(chǎng)洪流中聞名遐邇的美國(guó)本土數(shù)學(xué)家并不多見，米勒（George Abram Miller，1863-1951）是其中最引人注目者之一。米勒的聰明睿智、獨(dú)立的判斷力與高超的創(chuàng)造力，使他一生在11個(gè)國(guó)家的30多種雜志上發(fā)表論文820多篇，其中約450篇為群論學(xué)術(shù)論文，其他涉及教育、數(shù)學(xué)史等各個(gè)領(lǐng)域，有力推動(dòng)了美國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展。

半工半讀求學(xué)路

1863年7月31日。米勒出生于美國(guó)賓夕法尼亞州一個(gè)名叫林維爾（Lynnville）的小村莊。他的祖父是基督教徒，1720年舉家從瑞士遷往美國(guó)定居。父親內(nèi)森·米勒（Nathan Miller）和母親瑪麗·西特勒（MarySittler）是地道的農(nóng)民，一家過著貧窮拮據(jù)的生活。

未雨綢繆，米勒17歲就在當(dāng)?shù)氐囊凰W(xué)校任教，以便將來(lái)有足夠的經(jīng)濟(jì)能力來(lái)支付大學(xué)費(fèi)用。1882年，米勒考入蘭開斯特（Lancaster）的富蘭克林一馬歇爾學(xué)院，兩年后，又考入米倫伯格（Muhlenberg）學(xué)院。這所學(xué)院創(chuàng)建于1848年，坐落在賓夕法尼亞的阿倫敦（Allentown），致力培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的思考能力和雄辯能力，米勒非常喜歡這里的學(xué)習(xí)氛圍。1887年，他以在班里12名同學(xué)中排名第三的優(yōu)異成績(jī)獲得學(xué)士學(xué)位，1890年獲得文學(xué)碩士學(xué)位。這時(shí)，他已經(jīng)27歲了。相對(duì)于其他數(shù)學(xué)家或科學(xué)家而言，未免顯得大器晚成，但考慮到他一直都是靠自己賺錢來(lái)維持學(xué)業(yè)就不足為奇了。事實(shí)上，1887——1888年間他曾擔(dān)任堪薩斯州一所學(xué)校的校長(zhǎng)，1888-1893年間一直擔(dān)任位于伊利諾伊的尤里卡（Eureka）學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。

1890年，米勒到坎伯蘭（Cumberland）大學(xué)攻讀博士學(xué)位?？膊m大學(xué)的數(shù)學(xué)教授是一位土木工程師，閑暇時(shí)進(jìn)行大地測(cè)量，繪制美國(guó)海岸線地圖，通過信件教授高等數(shù)學(xué)課，學(xué)生以自學(xué)為主，畢業(yè)時(shí)不必寫出原創(chuàng)性的學(xué)位論文，只需通過高等函授課程的考試就能獲得學(xué)位。這對(duì)一直還要在尤里卡學(xué)院忙于教學(xué)的米勒來(lái)說(shuō)最合適不過，因?yàn)楫?dāng)時(shí)他每天要給學(xué)生上課6小時(shí)。1892年，米勒獲得坎伯蘭大學(xué)函授哲學(xué)博士學(xué)位，成了尤里卡學(xué)院唯一一位具有博士學(xué)位的教師。受坎伯蘭大學(xué)的啟發(fā)，他在尤里卡學(xué)院也設(shè)置了類似的函授博士學(xué)位。

初涉群論顯鋒芒

1893年，米勒離開尤里卡學(xué)院，直到1895年一直在密歇根大學(xué)任講師，其間住在科爾（F.N.Cole，1861-1926）位于密歇根安娜堡的家中。科爾是有限群論的大師，正是科爾的指導(dǎo)與鼓勵(lì)激發(fā)了米勒對(duì)群論的興趣，以致將其作為終生從事的事業(yè)，他以前人無(wú)法企及的速度取得累累碩果。值得一提的是，1889年夏和1890年夏。米勒曾分別在約翰斯·霍普金斯大學(xué)和密歇根大學(xué)訪問過一段時(shí)間。1889年，博爾扎（O.Bolza）在約翰斯·霍普金斯大學(xué)發(fā)表一系列群論演講，但米勒似乎并沒有和那里的數(shù)學(xué)家有過接觸。另外，米勒可能在1890年的夏天遇到了科爾，但從他在尤里卡不斷增長(zhǎng)的課時(shí)量以及并沒有在那里開設(shè)群論課這兩點(diǎn)來(lái)判斷，可以相當(dāng)肯定他的注意力在那時(shí)并沒有轉(zhuǎn)向群論。

1894年，初涉群論的米勒在《紐約數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)》第3卷上連續(xù)發(fā)表兩篇論文，完全確定出200個(gè)8次代換群和258個(gè)9次代換群，一夜成為數(shù)學(xué)界的名人。低次代換群的列舉工作開始于1850年代。1850年，法國(guó)數(shù)學(xué)家賽雷（J.A.Serret，1819-1885）給出所有5次及5次以下的代換群，共19個(gè)，吹響了低次代換群研究的號(hào)角。凱萊（A.Cayley，1821-1895），這位被譽(yù)為自牛頓之后最偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家，1891年宣布自己找到了所有8次代換群。然而科爾很快發(fā)現(xiàn)其中的漏洞。經(jīng)過補(bǔ)充于1892年重新給出一個(gè)列表。受科爾影響。米勒再次對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行考察，共找到了200個(gè)8次代換群，而且其中有兩個(gè)是前人一直沒有發(fā)現(xiàn)的。此外，1872年法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、群論專家若爾當(dāng)（C.Jordan，1838-1922）自認(rèn)為列舉出所有9次本原群，1893年科爾也列舉出所有9次群。米勒又一次發(fā)現(xiàn)其中的漏洞，1894年的文章表明，他找到了若爾當(dāng)遺漏的1個(gè)群和科爾遺漏的2個(gè)群。不僅如此，1895年，米勒獨(dú)立列舉出994個(gè)10次非可遷群，這樣當(dāng)時(shí)10次可遷群和不可遷群的總數(shù)上升到1039個(gè)。米勒的列表至今仍完美地屹立于世界數(shù)學(xué)之林。1900年，克拉科夫科學(xué)院把自1896年一直空缺的科學(xué)院大獎(jiǎng)授予米勒。以表彰他在10次可遷群方面的工作，這是此獎(jiǎng)項(xiàng)首次授予在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得巨大成就的美國(guó)人。

值得指出的是，米勒1894年進(jìn)入數(shù)學(xué)界時(shí)，數(shù)學(xué)在很大程度上還是歐洲人的世界。美國(guó)才剛剛站穩(wěn)腳跟，享有國(guó)際盛譽(yù)的美國(guó)本土數(shù)學(xué)家極為罕見。美國(guó)知名大學(xué)的數(shù)學(xué)教授都是從歐洲（特別是德國(guó)）學(xué)成歸國(guó)。而且當(dāng)時(shí)條件比較簡(jiǎn)陋，除了少數(shù)幾個(gè)院校外還沒有數(shù)學(xué)圖書館，如當(dāng)時(shí)伊利諾伊大學(xué)的數(shù)學(xué)書只能放在一個(gè)15英尺（1英尺=0.3048米）高的架子上。

群論領(lǐng)域碩果累累

1895-1897年，米勒在歐洲聽李（S.Lie，1842-1899）在萊比錫和若爾當(dāng)在巴黎的群論講座。李關(guān)于“群和不變量”的講座包含的群論太少?；径际遣蛔兞坷碚?，米勒興趣不大，聽了兩次之后就沒再做筆記。但他對(duì)李非常仰慕，他說(shuō)正是由于李，讓他系統(tǒng)考慮了換位子和換位子群。他對(duì)李的連續(xù)群的態(tài)度實(shí)質(zhì)上與李對(duì)有限群的態(tài)度是一樣的——寬容和尊重，但沒有熱情。米勒聽了一年若爾當(dāng)?shù)闹v座，與李不同，若爾當(dāng)感興趣的是群的本原性和非本原性，米勒余生一直都在研究這些問題。但是如果說(shuō)若爾當(dāng)對(duì)米勒產(chǎn)生了重大影響也不可信，因?yàn)槊桌找恢倍际怯米约旱姆椒ㄑ芯孔约旱膯栴}，從沒致力于說(shuō)明和解釋若爾當(dāng)?shù)墓ぷ髋c方法。直到回國(guó)那年年末，米勒在美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)和德國(guó)的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表27篇論文。到1900年，他成為美國(guó)群論領(lǐng)域最知名的研究人員，到了1910年，他成為該領(lǐng)域無(wú)人企及的人物。拋開群論，在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，米勒1903年于美國(guó)前80名數(shù)學(xué)家中排名第十。

如果把米勒與科爾、李及若爾當(dāng)?shù)拿芮新?lián)系看作是環(huán)境對(duì)米勒研究工作的影響，那么米勒余生的工作則可以看成是他對(duì)環(huán)境的影響。除了前面在尤里卡學(xué)院（1888-1893）、密歇根大學(xué)（1893-1895）任職外，1897-1901年他任康奈爾大學(xué)講師，1901-1906年任斯坦福大學(xué)助理教授和副教授，1906-1951年間。先后任伊利諾伊大學(xué)副教授、教授和榮譽(yù)教授。培養(yǎng)了包括美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家里茨（H.L.Rietz，1875-1943）在內(nèi)的14位博士研究生。

自1894年的兩篇論文之后，僅1895-1896年間，米勒在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》上連續(xù)發(fā)表論文14篇。斯勞特（H.E.Slaught）在1912年的一封信中寫道：“事實(shí)上，我不知道如果沒有米勒的合作我們（美國(guó)數(shù)學(xué)月刊）應(yīng)該做點(diǎn)什么。以我判斷，他正在做一件非常有價(jià)值的工作?！?994年，《數(shù)學(xué)世紀(jì)：從美國(guó)數(shù)學(xué)月刊回望數(shù)學(xué)百年》描述道：“截止到1930年，米勒共在此刊上發(fā)表文章70篇，至今沒人能夠打破這一紀(jì)錄?！?/p>

米勒自1895年列舉出10次不可遷群之后，1901年他和學(xué)生林（G.H.Ling）合作列舉出1492個(gè)11次非可遷群；1896年他列舉出12次可遷群，1897年列舉出13和14次可遷群以及15次本原群，1898年列舉出16次本原群，1899年列舉出17次可遷群。誠(chéng)然，確定所有代換群是包括凱萊和若爾當(dāng)在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家感興趣的課題，但是沒有人沿著米勒開辟的道路繼續(xù)前行，因?yàn)楦叽未鷵Q群的列舉顯然需要計(jì)算機(jī)的幫助。如果米勒不過早地對(duì)抽象群感興趣，憑著他的堅(jiān)持與努力或許能夠繼續(xù)研究17次以上的可遷群。

每個(gè)抽象群都可以唯一表示為一個(gè)正則代換群，即可遷且次數(shù)與階相等的群。米勒最初關(guān)于抽象群的工作正是從正則代換群的角度展開的，而且他終生都是通過正則代換群來(lái)研究抽象群的某些性質(zhì)。1896年，米勒的第一篇抽象群論文發(fā)表，他給出了48階以下的所有群，首次確定了15個(gè)24階群和51個(gè)32階群。凱萊早在1854年就著手研究所有低階抽象群，他證明只有兩個(gè)4階和6階群，1859年他又證明存在5個(gè)8階群，1889年證明存在5個(gè)12階群。1893年，博爾扎的美國(guó)學(xué)生揚(yáng)（J.W.A.Young，1865-1948）和德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾德（O.L.HSlder，1859-1937）兩人獨(dú)立找到14個(gè)16階群。比米勒稍早些，1896年，法國(guó)數(shù)學(xué)家瓦瓦瑟爾（Le Vavasseur）在《法蘭西科學(xué)院周刊》（Comptes rendus de l'Academie des Sciences）上宣稱找到了75個(gè)32階群，但還沒有找完。兩年后意大利的巴格內(nèi)拉（G.Bagnera）宣稱瓦瓦瑟爾和米勒的結(jié)果都不對(duì)，應(yīng)該有50個(gè)32階群，但第二年，他更正為51個(gè)。1898年，米勒確定出52個(gè)48階群和15個(gè)54階群；1902年，他確定出57個(gè)168階群；1929年確定出72階群和96階群。1930年，米勒在一篇長(zhǎng)篇論文中列舉出有294個(gè)64階群，他估計(jì)128階群應(yīng)該有1000多個(gè)。后人沿著米勒的足跡繼續(xù)進(jìn)行研究，一直列舉到160階群。

米勒及其前人的工作反映了群論發(fā)展初期人們研究的一種不正確導(dǎo)向，即對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，確定出互不同構(gòu)的所有n階群。實(shí)際上，這是一個(gè)永遠(yuǎn)也回答不完的問題，隨著階的增加，計(jì)算量越來(lái)越大，出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率也越來(lái)越高，特別是如果通過手算，連256階、512階群的列舉都根本難以做到，他們的研究方法不可能從根本上變革有限群理論！

值得一提的是，由于對(duì)抽象群的興趣，米勒成為有限單群列舉階段的一個(gè)重要人物。有限單群是有限群中最基本的結(jié)構(gòu)，在有限群論中占有特別重要的地位，一旦了解所有有限單群，便能通過群的擴(kuò)張對(duì)所有有限群做行之有效的分析與研究。這樣找到所有有限單群便成了一個(gè)亟待解決的問題。米勒最初認(rèn)為，即便這個(gè)問題并不簡(jiǎn)單，但肯定可以找到答案，然而后來(lái)他發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了。事實(shí)上，這項(xiàng)工作直到2003年才真正完成。即證明了著名的有限單群分類定理。這是世界各地上百名數(shù)學(xué)家集體攻堅(jiān)的結(jié)果。整個(gè)證明過程長(zhǎng)達(dá)10000-15000頁(yè)，以不同的風(fēng)格發(fā)表在500多篇文章中，其難度可想而知！

1892年，赫爾德在一篇文章中證明1-200階的群中僅有兩個(gè)單群，而且寫道：“如果能找到所有有限單群，將是一件非常有意義的事?！焙諣柕碌墓ぷ魇菍?duì)單群尋求的一個(gè)重要開端，點(diǎn)燃了其他數(shù)學(xué)家的研究熱情。同年，科爾遵循赫爾德的路線研究了201-500階的單群，1893年他又將階上升到660。1895年，英國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩賽德（W.Burnside，1852-1927）進(jìn)一步推廣到1092，但遺憾的是，除了發(fā)現(xiàn)1092階單群外沒有發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)新的單群。1900年，米勒和他的學(xué)生林合作證明在1093到2001階之間不存在任何單群。1922年，他又找到一個(gè)2520階單群。

此外，米勒在有限單群研究中另外兩項(xiàng)工作也在數(shù)學(xué)家心中留下了深刻的烙印。首先是在5個(gè)散單群馬蒂厄群M11、M12、M22、M23和M24中，除了M11的單性由科爾證明外，其他四個(gè)群的單性全部由米勒在1899-1890年間完成，而且M24的階高達(dá)244823040！在當(dāng)時(shí)它們是除已知的有限單群無(wú)限系列之外僅有的單群，下一個(gè)散單群直到1966年才由捷克數(shù)學(xué)家揚(yáng)科（Z.Janko，1932-）確定出來(lái)。另外，米勒在1900年證明，如果一個(gè)奇的合數(shù)階單群存在，它不可能用少于51個(gè)字母的代換群來(lái)表示。如果后人能夠很快找到一個(gè)奇的合數(shù)階單群或者證明沒有這樣的單群存在，這件事也許就被遺忘了，但這個(gè)問題也是60多年后才從本質(zhì)上得到解決。1963年，數(shù)學(xué)家法伊特（W.Feit，1930-2004）和湯普森（J.G.Thompson，1932-）合作撰寫《奇數(shù)階群的可解性》，證明了除循環(huán)群之外，沒有奇數(shù)階的單群。1965年。他們因此項(xiàng)工作榮獲美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)頒發(fā)的科爾獎(jiǎng)。湯普森還獲得了菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

在米勒發(fā)表的400多篇群論的學(xué)術(shù)論文中。還涉及多面體群、換位子群、φ子群、群同構(gòu)以及特征子群等，影響深遠(yuǎn)。他沒能解決的問題中有許多為后人指明了前進(jìn)的方向。他從來(lái)沒有試圖得到一個(gè)敘述起來(lái)非常復(fù)雜以至其他人都看不懂的結(jié)果。他也從來(lái)沒有感興趣于把一個(gè)問題翻譯成新的問題。除非能夠在此取得開創(chuàng)性的成果。他憑著自己的聰明睿智和堅(jiān)強(qiáng)的意志，在科學(xué)道路上奮勇前行。

其他成就

當(dāng)米勒觸及自己的研究方向——群論特別是有限群時(shí)，他還是一個(gè)優(yōu)秀的歷史學(xué)家。事實(shí)上，他研究歷史的時(shí)間比研究群論的時(shí)間還要長(zhǎng)（1890年他率先在尤里卡學(xué)院設(shè)置數(shù)學(xué)史課程）。米勒寫了很多群論早期發(fā)展史的論文，大多收錄在《米勒全集》第一、二、三卷。在第一卷中是關(guān)于確定給定次數(shù)的代換群的歷史注記、確定給定階的抽象群的歷史注記，以及1900年前的群論歷史。在第二和第三卷中是1915年前群論的發(fā)展史。1899年他發(fā)表的《有限群論中的最新進(jìn)展報(bào)告》與時(shí)俱進(jìn)，收錄了最新研究成果，與三年后的另一個(gè)報(bào)告一脈相承，無(wú)論對(duì)以后研究群論的學(xué)生還是歷史學(xué)家而言都非常重要。此外在1916年，他著有《數(shù)學(xué)文獻(xiàn)歷史引論》。

談到數(shù)學(xué)史，米勒教授提出幾點(diǎn)基本要求，總結(jié)如下：（1）對(duì)時(shí)期要有明顯劃定；（2）描述數(shù)學(xué)問題時(shí)，那些與常規(guī)語(yǔ)言和語(yǔ)法結(jié)構(gòu)相背離的地方應(yīng)該標(biāo)出；（3）讀者一定不要采用沒有經(jīng)過核實(shí)的論斷；（4）初學(xué)者必須能夠區(qū)分臨時(shí)假定與既成事實(shí)；（5）數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)的許多進(jìn)步在于對(duì)錯(cuò)誤的反復(fù)修正；（6）歷史論述往往能提供給人很多信息，學(xué)生應(yīng)該從一個(gè)論述中得出大量結(jié)論。米勒的《數(shù)學(xué)文獻(xiàn)歷史引論》是這方面的一個(gè)典范。

米勒還主編和參編了數(shù)學(xué)專業(yè)著作。1892年米勒為尤里卡學(xué)院的高等代數(shù)課程專門編著了《行列式》；1911年，在揚(yáng)主編的著作《現(xiàn)代數(shù)學(xué)專論》中，米勒參編了“代數(shù)方程”部分；1916年，他與布利奇費(fèi)爾德（H.F.Blichfeldt）、迪克森（L.E.Dickson）合著《有限群理論與應(yīng)用》。

除了這些研究工作外，米勒寫了一些其他方面的文章，如《現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的幾點(diǎn)思考》、《科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)作用》，試圖激發(fā)中小學(xué)教師學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，喚起他們對(duì)高等數(shù)學(xué)特別是群論的注意并進(jìn)行研究。

高尚的品德

米勒一生在11個(gè)國(guó)家的30多種雜志上發(fā)表論文800多篇。1931年，在米勒從伊利諾伊大學(xué)退休之際，伊利諾伊大學(xué)的教員和行政人員都在考慮如何尋找一種方式來(lái)紀(jì)念米勒對(duì)數(shù)學(xué)和學(xué)校聲望上做出的巨大貢獻(xiàn)。不久大家達(dá)成一致，出版一套全集，重現(xiàn)他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。這不僅是對(duì)米勒的贊頌，還可以服務(wù)于數(shù)學(xué)，服務(wù)于現(xiàn)在和將來(lái)研究群論的學(xué)生。1933年支持這項(xiàng)計(jì)劃的伊利諾伊大學(xué)代校長(zhǎng)、原研究生院院長(zhǎng)丹尼爾斯（A.H.Daniels）成立一個(gè)委員會(huì)專門承擔(dān)此項(xiàng)任務(wù)。1935年，《米勒全集》第一卷問世，1939年、1946年、1955年和1959年第二、三、四、五卷相繼出版，每卷都將近500頁(yè)。

作為美國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，米勒的地位是值得肯定的。除了眾多的論文和著作說(shuō)明他的非凡才能與卓越創(chuàng)造力之外，我們還可以用一種世俗的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)判，那就是他獲得的榮譽(yù)。1891年10月，米勒當(dāng)選為紐約數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，1894年紐約數(shù)學(xué)會(huì)更名為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)，1900年他成為終身會(huì)員，1908年任副會(huì)長(zhǎng)。此外，他還是英國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員、德國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員、西班牙數(shù)學(xué)會(huì)通信會(huì)員和印度數(shù)學(xué)會(huì)榮譽(yù)終身會(huì)員。他是美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主辦者之一，1916年擔(dān)任副會(huì)長(zhǎng)，1921年擔(dān)任正會(huì)長(zhǎng)。此外，他還是美國(guó)文理科學(xué)院和美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士。

1931年退休后，米勒仍無(wú)論節(jié)假日、無(wú)論天氣，早中晚慣常來(lái)到辦公室研究和寫作。這種習(xí)慣一直延續(xù)到1950年圣誕，這時(shí)他已經(jīng)87歲了。而且退休后他仍以異于常人的速度繼續(xù)發(fā)表文章，1935-1944年他發(fā)表論文18篇，1947年他81歲時(shí)又發(fā)表10篇，84歲發(fā)表論文2篇。

1951年2月10日，米勒在伊利諾伊州的厄巴納（Urbana）去世，享年88歲。去世前的那周，當(dāng)他在朋友的敦促下去醫(yī)院時(shí)，他還問到誰(shuí)將支付這筆費(fèi)用。不熟悉的人還以為他靠退休金生活，替他擔(dān)心。但幾周之后，報(bào)紙和收音機(jī)競(jìng)相報(bào)道米勒捐贈(zèng)伊利諾伊大學(xué)近一百萬(wàn)美元的遺產(chǎn)，這是他多年來(lái)做金融投資的全部收入。他解釋了他的動(dòng)機(jī)：“我所得到的一切都來(lái)自于這所大學(xué)，我想報(bào)答這種恩惠！”

很少有人能像米勒那樣出版一系列的優(yōu)秀作品。他是一個(gè)謙虛、慷慨的美國(guó)人，具有正直、堅(jiān)定的品質(zhì)，加速了群論的研究進(jìn)程，極大地提高了美國(guó)數(shù)學(xué)的聲望。他激勵(lì)其他學(xué)者不斷前行！