杠桿的動(dòng)態(tài)平衡問題例析

張忠飛

杠桿的動(dòng)態(tài)平衡問題，因題目條件的各種不同表述，顯得極為繁雜。但其實(shí)，只要抓住杠桿平衡問題的關(guān)鍵——杠桿的平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據(jù)，便可分析杠桿平衡條件中的力、力臂的變化類型及變化趨勢(shì)，使杠桿動(dòng)態(tài)平衡問題迎刃而解。本文將列舉幾組典型例題，將之分為再平衡和不再平衡兩類，以杠桿的平衡條件F1l1=F2l2作為根本方法，對(duì)例題進(jìn)行一一解析，幫助同學(xué)們突破杠桿動(dòng)態(tài)平衡的難點(diǎn)。

一、再平衡問題

1.單一力不變

【例題】 如圖1，重為G的均勻木棒豎直懸于O點(diǎn)，在其下端施一水平拉力F，讓木棒緩慢轉(zhuǎn)到圖中虛線所示位置。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中（ ）。

A. 動(dòng)力臂逐漸變大

B. 阻力臂逐漸變小

C. 動(dòng)力F逐漸變大

D. 動(dòng)力F逐漸變小

解析：杠桿在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，一直保持平衡狀態(tài)，從圖2可以看出，F(xiàn)2（G）不變，l2變大，l1變小，根據(jù)杠桿平衡條件F1l1=F2l2，則F1（F）變大。故答案為C。

小結(jié)：從題目條件中找出，杠桿再次平衡時(shí)，平衡條件中的不變量為阻力G；變量阻力臂l2變大，動(dòng)力臂l1變小，從而可知?jiǎng)恿的變化趨勢(shì)。

【變式】如圖3所示，輕質(zhì)杠桿一端因受始終在水平方向上的力F作用而被逐步抬起，在此過程中F及力臂的大小變化分別是（ ）。

A. 變大、變大 B. 變大、變小

C. 變小、變大 D. 變小、變小

解析：杠桿抬起至水平的過程中始終保持平衡狀態(tài)，從圖4可以看出，F(xiàn)2（G）不變，阻力臂l2變大，動(dòng)力臂l1變小，由杠桿平衡條件，知F1（F）變大。故答案為B。

2.單一力、力臂不變

【例題】如圖5所示，有一質(zhì)量不計(jì)的長(zhǎng)木板，左端可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，在它的右端放一重為G的物塊，并用一豎直向上的力F拉著，當(dāng)物塊向左勻速滑動(dòng)時(shí)，木板始終在水平位置保持靜止，在此過程中，拉力F（ ）。

A. 變小 B. 變大

C. 不變 D. 先變大后變小

解析：物塊運(yùn)動(dòng)時(shí)，杠桿一直保持平衡狀態(tài)，從圖6可以看出，l1、F2（G）不變，l2變小，由杠桿平衡條件，得F1（F）變小。故答案為A。

【變式1】如圖7所示，杠桿OA的B點(diǎn)掛著重物G，A端用細(xì)繩掛在圓弧EF上，此時(shí)OA恰成水平，且A點(diǎn)與圓弧形架EF的圓心重合。當(dāng)繩AM的M端從E點(diǎn)緩慢滑到F點(diǎn)的過程中，繩對(duì)A點(diǎn)拉力的大小將（ ）。

A. 逐漸變大 B. 逐漸變小

C. 先變大再變小 D. 先變小再變大

解析：繩AM從E點(diǎn)滑到F點(diǎn)時(shí)，杠桿一直保持平衡狀態(tài)，從圖8可看出，l2、F2（G）不變，l1先變大后變小，由杠桿平衡條件F1l1=F2l2知，F(xiàn)1（F）先變小后變大。故答案為D。

【變式2】如圖9所示，直桿OA可O繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，直桿下端掛一重物G?，F(xiàn)用一個(gè)始終跟直桿垂直的力F將直桿由豎直位置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中這一直桿（ ）。

A. 始終是省力杠桿

B. 始終是費(fèi)力杠桿

C. 先是費(fèi)力杠桿，后是省力杠桿

D. 先是省力杠桿，后是費(fèi)力杠桿

解析：杠桿從豎直位置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置，始終保持平衡狀態(tài)，從圖10中可以看出，不變量為阻力F2（G）和動(dòng)力臂l1，變量阻力臂l2變大，由杠桿平衡條件得F1l1=F2l2，從而可知?jiǎng)恿從0開始逐漸增大，當(dāng)0≤FG時(shí)，為費(fèi)力杠桿。故答案為D。

二、不再平衡問題

1. 力臂變化引起動(dòng)態(tài)變化（動(dòng)力、阻力不變，動(dòng)力臂、阻力臂同時(shí)改變）

【例題】如圖11所示，杠桿上分別站著大人和小孩（G大人>G小孩），且在水平位置平衡，杠桿自重不計(jì)，如果兩人同時(shí)以大小相等的速度向支點(diǎn)移動(dòng)，則杠桿將（ ）。

A. 不能平衡，小孩那端下沉

B. 不能平衡，大人那端下沉

C. 仍能平衡

D. 條件不夠，無法判斷

解析：方法1，設(shè)力臂均減小a，以杠桿平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據(jù)，分析知，其中動(dòng)力F1（G大人）、阻力F2（G小孩）不變，因?yàn)镚大人>G小孩，即F1>F2，所以l1F2，所以F1a>F2a，故F1′l1′

方法2，用極端情況來分析，因?yàn)閘1

故答案為A。

小結(jié)：以杠桿平衡條件作為杠桿平衡與否的判據(jù)，當(dāng)符合“動(dòng)力F1、阻力F2不變，動(dòng)力臂l1、阻力臂l2同時(shí)改變”的題型時(shí)，必將要分析變化后F1l1′和F2l2′的大小，若F1l1′F2l2′，則杠桿向F1一端下沉。

【變式】如圖12所示，杠桿處于平衡狀態(tài)，如果將物體A和B同時(shí)向靠近支點(diǎn)的方向移動(dòng)相同的距離，下列判斷正確的是（ ）。

A. 杠桿仍能平衡

B. 杠桿不能平衡，左端下沉

C. 杠桿不能平衡，右端下沉

D. 無法判斷

解析：此變式的條件與前一道例題其實(shí)是一樣的，同學(xué)們自己用前面介紹的兩種方法解解看。答案為C。

2.力的變化引起動(dòng)態(tài)變化（動(dòng)力臂l1、阻力臂l2不變，動(dòng)力F1、阻力F2同時(shí)改變）。

【例題】如圖13，若一根杠桿兩端放有兩截蠟燭，原來杠桿平衡，過一段時(shí)間后，兩截蠟燭都燃燒掉一段，此時(shí)杠桿（ ）。

A. 仍保持平衡 B. 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

C. 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) D. 無法判斷

解析：兩截蠟燭燃燒了相同的時(shí)間，即兩者質(zhì)量減少相等，重力變化也相等。方法1，設(shè)重力均減小a，以杠桿平衡條件F1l1=F2l2作為判斷依據(jù)。分析知，其中動(dòng)力臂l1、阻力臂l2不變，且l1F1。因此變化后，F(xiàn)′1=F1-a，F(xiàn)2′=F2-a；F1′l1′=（F1-a）l1=F1l1-al1，F(xiàn)2′l2′=（F2-a）l2=F2l2-al2。因al1F2′l2′，即，杠桿向F1那端下沉，體現(xiàn)在圖中，即為逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。

方法2，把時(shí)間延長(zhǎng)至極端情況來分析，可知右側(cè)蠟燭會(huì)先燃盡，此時(shí)F2l2=0，杠桿必定會(huì)向左側(cè)蠟燭一端下沉。

故答案為C。

小結(jié)：以杠桿平衡條件作為杠桿平衡與否的判斷依據(jù)，當(dāng)符合“動(dòng)力臂、阻力臂不變，動(dòng)力、阻力同時(shí)改變”的題型時(shí)，必將要分析變化后F1′l1′與F2′l2′的大小。若F1′l1>F2′l2，則杠桿向F1一端下沉；若F1′l1

【變式1】如圖14所示，每個(gè)鉤碼的重量都相等，杠桿處于平衡狀態(tài)，若在杠桿兩邊的鉤碼下各再加一個(gè)相同的鉤碼，則杠桿（ ）。

A. 仍保持平衡

B. 向A端下降

C. 向B端下降

D. 因力臂長(zhǎng)短不知，無法判斷

解析：設(shè)力均增加a，以杠桿平衡條件[F1l1=F2l2]作為判斷依據(jù)，分析知，其中動(dòng)力臂[l1]、阻力臂[l2]不變。[F1>F2]，故[l1]<[l2]，而F1′l1′=F1′l1=（F1+a）l1=F1l1+al1，F(xiàn)2′l2′=F2′l2=（F2+a）l2=F2l2+al2，所以F1′l1′

【變式2】在輕質(zhì)的杠桿兩端AB各掛有體積相同的銅塊和鋁塊（ρ銅>ρ鋁）。支點(diǎn)O在如圖15所示的位置時(shí)，杠桿在水平位置保持平衡，在下列情況下杠桿仍能在水平位置保持平衡的是（ ）。

A. 在銅塊和鋁塊上各加一塊質(zhì)量相等的物體

B. 將銅塊和鋁塊各切去體積相同的一小部分

C. 將銅塊和鋁塊同時(shí)向支點(diǎn)移動(dòng)一段相同的距離

D. 將銅塊和鋁塊同時(shí)浸沒在水中

解析：由前面的例題及變式，可以總結(jié)出一個(gè)規(guī)律：原來平衡的杠桿，在F1≠F2，l1≠l2的情況下，不管是以相等的量改變力還是力臂，杠桿均不能再保持平衡，具體證明同學(xué)可以用杠桿平衡條件[F1l1=F2l2]為依據(jù)自己推算。

故A、C、D項(xiàng)可先被排除。

B項(xiàng)，已知V銅=V鋁=V0，由題意可知，F(xiàn)銅l銅=F鋁l鋁，即V0[ρ]銅l銅=V0[ρ]鋁l鋁，得出[ρ]銅l銅=[ρ]鋁l鋁。當(dāng)銅塊與鋁快各切去體積相同的一部分V時(shí)，F(xiàn)′銅=（V0-V）[ρ]銅，F(xiàn)′鋁=（V0-V）[ρ]鋁，F(xiàn)′銅l銅=（V0-V）[ρ]銅l銅，F(xiàn)′鋁l鋁=（V0-V）[ρ]鋁l鋁，（V0-V）是相同的項(xiàng)，而[ρ]銅l銅=[ρ]鋁l鋁，故F′銅l銅=F′鋁l鋁，即杠桿仍保持平衡，故B是正確的。