有效利用課堂例題習(xí)題教學(xué)提升高中生數(shù)學(xué)解題能力

摘 要：基于目前社會(huì)發(fā)展對高中生的能力要求和高中生數(shù)學(xué)解題能力的現(xiàn)狀，結(jié)合當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂例題、習(xí)題的教學(xué)情況，從深入挖掘教材例題習(xí)題、一題多變、一題多解、小結(jié)反思等四個(gè)方面探討如何有效利用課堂例題、習(xí)題教學(xué)，提升高中生的數(shù)學(xué)解題能力。

關(guān)鍵詞：高中生；例題習(xí)題教學(xué)；數(shù)學(xué)解題能力

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-9214（2015）02-0060-02

“問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心?！弊圆ɡ麃啅?qiáng)調(diào)“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練?！敝?，我國更加注重?cái)?shù)學(xué)解題研究，但解題也一度把我國數(shù)以萬計(jì)的中學(xué)生推入題海的漩渦。新課改更是要求學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題，認(rèn)識世界。但就目前高中生的學(xué)習(xí)情況而言，在數(shù)學(xué)中提出問題、分析和解決問題還很難，甚至有些學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)問題，更不要說通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，具備一定的理性思維。這主要還是因?yàn)榻處煕]有有效利用課堂，使數(shù)學(xué)失去了魅力和吸引力。下面筆者就如何有效利用數(shù)學(xué)課堂例題、習(xí)題教學(xué)來提高數(shù)學(xué)課堂魅力，提升學(xué)生的解題能力，談一些做法，以期拋磚引玉。

1.中學(xué)數(shù)學(xué)解題能力概述

中學(xué)數(shù)學(xué)解題能力，表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏銳洞察力與整體把握。其主要成分是3種基本的數(shù)學(xué)能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），其核心是能否掌握正確的思維方法，包括邏輯思維與非邏輯思維。

1.1中學(xué)數(shù)學(xué)解題的思想方法

在高中階段，涉及數(shù)學(xué)解題的思想主要是：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想以及數(shù)學(xué)建模思想等。而解題方法就因題而論了，比如說，證明題常用的分析法、綜合法、歸納法、反證法等，轉(zhuǎn)化常用的換元法、消元法、待定系數(shù)法等。

1.2 影響數(shù)學(xué)解題的主要因素

學(xué)生在高中階段已經(jīng)涉及了數(shù)學(xué)解題需要的基本因素，主要有：解題的知識因素、解題的能力因素、解題的經(jīng)驗(yàn)因素和解題的非智力因素。

1.3提升中學(xué)數(shù)學(xué)解題能力的意義

中學(xué)數(shù)學(xué)解題對于發(fā)展中學(xué)生的能力具有極其重要的意義。有效而成功的問題解決，有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。在人類知識急增的科技時(shí)代，不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代科學(xué)的系統(tǒng)基礎(chǔ)知識和基本技能，還要教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考、創(chuàng)造性地解決問題。

而且，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，才能增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力，提高學(xué)生的思維水平，促使學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力。

2.利用課堂例題、習(xí)題教學(xué)提升學(xué)生解題能力的必要性

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用”。教材是教學(xué)的重要資源，課本中的每一個(gè)例題、習(xí)題都是經(jīng)過專家精心構(gòu)思，反復(fù)斟酌的，具有很強(qiáng)的針對性，有很高的教育價(jià)值。但在課堂講授例題習(xí)題時(shí)，當(dāng)老師提出一個(gè)相關(guān)的探索問題時(shí)，很多學(xué)生不是積極思考，走在老師前面，而是低著頭，害怕老師提問的模樣，幾乎都是在等老師的分析或是所謂的“啟發(fā)”；在例題、習(xí)題總結(jié)時(shí)，學(xué)生在等老師的歸納總結(jié)，記老師的板書。而這些與新課改提出的“高中數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會(huì)的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用?！北车蓝Y。所以，我們在教學(xué)過程中，絕不能就題論題，生搬硬套。而應(yīng)該恰當(dāng)運(yùn)用，不斷挖掘教材中例題習(xí)題的多種功能，深化相關(guān)教學(xué)，發(fā)揮其內(nèi)在潛能，培養(yǎng)學(xué)生的高素質(zhì)和強(qiáng)能力。

3.有效利用課堂例題教學(xué)的具體方法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對教材例題習(xí)題由表及里深入挖掘，能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性；探索其非常規(guī)解法，能培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性；精選其變式，能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性；引導(dǎo)學(xué)生對其探究和猜想，能培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

3.1 挖掘教材中例題的“黃金含量”

要培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，除了抓好基礎(chǔ)知識、基本能力的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)外，更重要的是解題實(shí)踐：分析解題思路、探求解題途徑、發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律、掌握解題方法。而在教學(xué)中，解題實(shí)踐無處不在，并不需要教師另覓它題。在每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂上，講解例題、練習(xí)題和習(xí)題是必備環(huán)節(jié)。深入挖掘出教材中例題、習(xí)題的“黃金含量”，有利于學(xué)生解題能力的提高。

無論是教材，還是教學(xué)，例題、習(xí)題都是其一個(gè)重要組成部分，遍布于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程中，其內(nèi)容不僅包括引進(jìn)概念，形成命題，歸納公式，運(yùn)用法則等知識的產(chǎn)生，也涵蓋了所有的數(shù)學(xué)題型。從教學(xué)的角度，我們可以把這些教材中出現(xiàn)的問題分為導(dǎo)入教學(xué)而設(shè)置的例題，典型示范而設(shè)置的例題，鞏固雙基和加強(qiáng)訓(xùn)練而設(shè)置的練習(xí)題、習(xí)題。不同形式的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)匹配適當(dāng)?shù)膯栴}，進(jìn)行精心地安排，合理組織訓(xùn)練；由簡到繁，由易到難，有條理地組成一個(gè)突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)的整體系統(tǒng)。同時(shí)，還要注意將這些題進(jìn)行歸類和深層次的挖掘。

在教學(xué)中，不同的數(shù)學(xué)知識涉及相應(yīng)題型，所以需要的數(shù)學(xué)思想方法也有所不同。應(yīng)該充分挖掘教材中的例題、習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題的突破口，全方位的思考例題、習(xí)題所涉及的知識點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。然后進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，在整個(gè)教學(xué)過程中都要有目的有意識的進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)。

3.2 例題、習(xí)題一題多變，舉一反三

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們反對“題海戰(zhàn)術(shù)”。如何就有限的教學(xué)資源，充分加以利用，并時(shí)常保持?jǐn)?shù)學(xué)獨(dú)特的魅力，就必須在例題、習(xí)題的使用質(zhì)量上下工夫。一題多變是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要途徑之一。有時(shí)一道題稍微改變部分條件或結(jié)論，得到的新問題可能會(huì)有不同的解法，這更能幫助學(xué)生深刻理解知識點(diǎn)和解題的奧妙。

在數(shù)學(xué)問題解決中，思維定勢是很多學(xué)生容易掉進(jìn)去的陷阱。多作變式訓(xùn)練是一個(gè)有效措施。不斷變換問題的條件、結(jié)論，或變換其形式和內(nèi)容，得出不同水平的問題，在這些問題的發(fā)展和深化中，使學(xué)生能從不同角度、不同側(cè)面來理解問題的實(shí)質(zhì)。通過解決這些問題，可以使學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識逐漸減弱思維定勢的不良影響，從而達(dá)到培養(yǎng)思維的靈活性的目的。下面以北師大版必修五P83頁的一道練習(xí)題的教學(xué)嘗試進(jìn)行一題多解的展示：endprint

例.m為何值時(shí)，方程mx2-（2m+1）x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解？

解決這道題的思路比較簡單，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則方程一定是一元二次方程，且Δ>0。因此，解不等式組

m≠0Δ=（2m+1）2-4m2>0 即可。

如果解完這道題，到此為止，就實(shí)在太遺憾了。實(shí)際上，如果稍微改變一點(diǎn)條件，它就可以幫助我們把一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式諸多容易混淆的細(xì)節(jié)問題研究清楚。

變式1、m為何值時(shí)，方程mx2-（2m+1）x+m=0有實(shí)數(shù)解？

因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)均含有字母，所以需考慮方程是一元二次方程還是一元一次方程，因此涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

變式2、m為何值時(shí)，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？

變式3、m為何值時(shí)，不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？

變式2、變式3中，條件改為不等式恒成立問題，是不等式問題中的重難點(diǎn)，不僅涉及分類討論思想，還涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法。

通過將這道練習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練，不僅解決了問題，更重要的是重溫了高中階段的一個(gè)重難點(diǎn)：方程、不等式以及函數(shù)之間的關(guān)系。還涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等主要的數(shù)學(xué)思想方法。

由于篇幅有限，這里只涉及解題思路和解題思想方法，過程略。

探究例題，用變題開拓思維：教材提供的僅僅是一種方向，一條線索，教師在面對教材時(shí)，完全可以根據(jù)實(shí)際需要對其進(jìn)行增添、刪減、調(diào)整、變換、延伸等“藝術(shù)”加工，多進(jìn)行一題多變，舉一反三，將教材由薄讀厚，從而達(dá)到真正意義上的利用教材，學(xué)生的解題能力也隨之而提高。

3.3 例題、習(xí)題一題多解，多解歸一

對于“一題多解”，顧名即可思義。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多解”是階段性學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的有效、常用的方法，而善于挖掘教材中的“一題多解”，能更好的發(fā)揮教材的“導(dǎo)航性”。有時(shí)候一道題有很多種解法，且這些解法在思路上拉開的距離較大，應(yīng)用的知識改換較多，能加深對題目的本質(zhì)的理解、加深對每個(gè)解法本質(zhì)的理解、加深對所用的概念、定理公式及相互聯(lián)系的理解，涉及不同的知識和思想方法，但這些解法往往又能融會(huì)貫通。

比如說北師大版高中數(shù)學(xué)必修五中，推導(dǎo)“正弦定理”是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。教材拿特殊三角形“直角三角形”設(shè)疑，用了向量法和外接圓法來證明正弦定理，但在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生自己能想到用三角形的高進(jìn)行證明，當(dāng)然，利用三角形的面積公式SΔABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA能更簡單的證明。雖然這四種證明方法都用不同的數(shù)學(xué)知識從不同的角度去證明正弦定理，但是仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)有一條紐帶一直聯(lián)系在正弦定理的各種證明方法之間，可以說每一種證明方法離開這條紐帶都是沒辦法成立的，這條紐帶就是：直角三角形思想。

從深究教材例題的一題多解，去盡情領(lǐng)略命題人的韜略盒用心，去發(fā)現(xiàn)、找尋章節(jié)的重難點(diǎn)，檢驗(yàn)教學(xué)的效果和學(xué)生掌握的程度。去體會(huì)編者的用心良苦，也因此而獲益匪淺。

3.4 小結(jié)提升學(xué)生的反思總結(jié)能力

一個(gè)教學(xué)活動(dòng)結(jié)束，一道題做出來，應(yīng)該再回過頭考慮一番，從中得到一點(diǎn)啟發(fā)，一點(diǎn)體會(huì)才是。怎樣的回首，才能起到作用呢？

第1步，看看這個(gè)數(shù)學(xué)例題習(xí)題是怎樣想出來的？解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)在哪兒？所涉及的知識點(diǎn)和思想方法有哪些？

第2步，是不是還有另外的方法，并一一完成。

第3步，比較不同的解法，挖掘它們的共同本質(zhì)。

第4步，能否作變式訓(xùn)練，又該怎樣解決問題。

第5步，總結(jié)變式訓(xùn)練涉及的知識點(diǎn)和思想方法以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

而且，每一節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)完整的數(shù)學(xué)課都有課堂小結(jié)，這是一個(gè)極好的提高學(xué)生總結(jié)能力和反思能力的機(jī)會(huì)，作為老師應(yīng)該將這樣的機(jī)會(huì)交給學(xué)生，幫助學(xué)生養(yǎng)成做完題之后總結(jié)和反思的習(xí)慣。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)要立足課本，面向全體學(xué)生，重點(diǎn)問題重點(diǎn)講，解決問題反復(fù)練，因材施教提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和自信心。兼顧學(xué)法指導(dǎo)，重點(diǎn)是消化解決曾經(jīng)錯(cuò)的題目，爭取不犯重復(fù)性錯(cuò)誤。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生人生的一次磨煉，也是教師教學(xué)成果的基礎(chǔ)體現(xiàn)，只要我們從實(shí)際出發(fā)制定適當(dāng)目標(biāo)，長計(jì)劃，短安排，學(xué)生會(huì)增強(qiáng)自己戰(zhàn)勝困難的信心，提高數(shù)學(xué)解題能力，實(shí)現(xiàn)教師與學(xué)生的“共贏”。

（作者單位：商洛市山陽縣中村中學(xué)）

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