非局域耦合帳篷映像中的完全同步周期態(tài)

楊科利，屈世顯

（1陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710119；2寶雞文理學(xué)院 物理與光電技術(shù)學(xué)院，陜西 寶雞721016）

同步是一種非常普遍存在的自然現(xiàn)象，它是指 兩個和多個系統(tǒng)通過某種耦合導(dǎo)致其動力系統(tǒng)狀態(tài)趨于一致的現(xiàn)象，該現(xiàn)象在許多實際過程中發(fā)揮著非常重要的作用。然而，相關(guān)的耦合系統(tǒng)同步研究都是基于連續(xù)（時間和空間）動力學(xué)系統(tǒng)，對于不連續(xù)動力學(xué)系統(tǒng)的討論相對較少。研究發(fā)現(xiàn)僅僅是時間不連續(xù)的動力學(xué)系統(tǒng)，其同步過程要遠遠比連續(xù)時間系統(tǒng)復(fù)雜。事實上，實際系統(tǒng)動力學(xué)常常表現(xiàn)出不連續(xù)性，其中一個簡單的例子就是分段線性系統(tǒng)，如：神經(jīng)元分段線性模型［1］、細胞中動力學(xué)［2］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［3］、張弛振蕩［4］、蔡氏電路［5］、干摩擦、沖擊振子［6］、彈跳球［7］、齒輪等。近年來人們在分段線性系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多不同于連續(xù)系統(tǒng)的奇特現(xiàn)象［8－12］。隨著分段線性系統(tǒng)中各種新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，耦合分段線性系統(tǒng)的研究也得到了研究者的關(guān)注，特別是此系統(tǒng)中同步現(xiàn)象的研究也引起了人們的注意。Cencini等［13］研究發(fā)現(xiàn)，耦合分段線性系統(tǒng)的同步轉(zhuǎn)換具有不連續(xù)性，在低維耦合系統(tǒng)中可以找出一個系統(tǒng)同步臨界耦合強度，但對于高維系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的分段線性特征，很難找到確定的臨界耦合強度。這說明耦合分段線性系統(tǒng)中的動力學(xué)特性有別于耦合連續(xù)系統(tǒng)，因此有必要對耦合分段線性系統(tǒng)做深入的研究。

在較簡單的耦合方式當中，非局域耦合是更貼近實際系統(tǒng)的一種相互作用方式，如神經(jīng)科學(xué)和電化學(xué)系統(tǒng)等。最近，我們研究了全局耦合和緊鄰耦合的分段線性系統(tǒng)的完全同步態(tài)［14－15］，發(fā)現(xiàn)了一些有別于連續(xù)系統(tǒng)的新特性。在非局域耦合方式下，人們發(fā)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)中的奇異態(tài)現(xiàn)象［16］。本文著重研究非局域耦合下分段線性系統(tǒng)的動力學(xué)行為，分析非局域耦合分段線性系統(tǒng)的周期態(tài)以及完全同步周期態(tài)。由于分段線性系統(tǒng)更貼近于實際系統(tǒng)，所得到的結(jié)果將有助于理解現(xiàn)實生活網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的一些節(jié)律現(xiàn)象。對于非局域耦合分段線性系統(tǒng)中周期態(tài)的研究將有助于解釋大腦神經(jīng)的一些現(xiàn)象和功能，特別是大腦中神經(jīng)元放電時形成的奇異態(tài)、神經(jīng)集體放電導(dǎo)致癲癇疾病以及學(xué)習(xí)和記憶功能。

1 模型

含有N個節(jié)點的非局域耦合系統(tǒng)的動力學(xué)行為滿足下述方程：

其中xn（i）是系統(tǒng)中第i個節(jié)點在n時刻的動力學(xué)變量，系統(tǒng)尺寸為N，ε是節(jié)點間的耦合強度，采用周期邊界條件xn（i）＝xn（i＋N），P是與第i個節(jié)點相連接的兩邊近鄰節(jié)點的個數(shù)，即耦合半徑；f（x）是一維分段線性映像。為了簡單起見，我們選取如下分段線性映像：

固定μ＝2，此時映像變?yōu)闈M帳篷映像，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)λ＝ln 2＞0，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，并且有兩個平庸不動點x＊1＝0，x＊2＝2／3。由于映像的兩個分支的斜率的絕對值都為2，此時映像的拉伸和折疊行為一致，所以系統(tǒng)存在不穩(wěn)定周期軌道。而且當初值為無理數(shù)時，系統(tǒng)將呈現(xiàn)非周期態(tài)。

2 結(jié)果和分析

采用信息熵H［17］來度量非局域耦合分段線性系統(tǒng)中可能的周期態(tài)，由于采用耗散耦合形式，耦合系統(tǒng)每一個節(jié)點的狀態(tài)xn（i）仍然分布在［0，1］區(qū)間上。為此，將區(qū)間［0，1］等分成512份，統(tǒng)計第i個節(jié)點的狀態(tài)值落在第m個區(qū)間的概率pmi，相應(yīng)的耦合系統(tǒng)信息熵的定義為

在計算過程中，隨機選取一套初值，首先丟掉50 000次暫態(tài)，之后使用接下來的50 000次迭代中的態(tài)，并統(tǒng)計第i個節(jié)點的狀態(tài)值落入第m個區(qū)間的概率pmi，且對50 000次迭代取平均。需要注意的是，信息熵H最終對空間取了平均，因此與單個節(jié)點的熵基本上沒有差別。從時間尺度來說，耦合系統(tǒng)只有兩種狀態(tài)：周期和混沌。當系統(tǒng)處于混沌態(tài)時，pmi＝1／512，對應(yīng)的信息熵H ＝9；當系統(tǒng)全部處于不動點時，pmi＝1，此時系統(tǒng)對應(yīng)的信息熵H ＝0；當系統(tǒng)處于同步的周期態(tài)時，信息熵為0≤H＜9。因此信息熵H越小表示系統(tǒng)最有可能處于周期態(tài)。通過此信息熵H，即可區(qū)分系統(tǒng)的這兩種狀態(tài)。圖1a給出了系統(tǒng)在耦合半徑P和耦合強度ε兩個參數(shù)下信息熵的分布，黑色表示低信息熵，此時系統(tǒng)處于周期態(tài)，白色表示高信息熵，此時系統(tǒng)處于混沌態(tài)。由圖中可以看出，大致有四個區(qū)域出現(xiàn)了黑色的點，說明在這些參數(shù)下系統(tǒng)將呈現(xiàn)多種周期態(tài)，周期態(tài)的具體樣式我們將在下面詳細討論。

為了討論系統(tǒng)的周期態(tài)的同步性質(zhì)，引入同步序參量［18］來刻畫系統(tǒng)的同步，其定義為

其中Rn和φn分別表示n時刻的振幅和相位，如果系統(tǒng)的每個狀態(tài)都完全相同，即：xn（1）＝xn（2）＝…＝xn（N），則Rn＝1。計算系統(tǒng)在耦合半徑P和耦合強度ε兩個參數(shù)下系統(tǒng)同步序參量的分布，如圖1b所示，白色代表同步序參量Rn＝1，系統(tǒng)處于同步態(tài)，由白色到黑色，系統(tǒng)的同步程度逐漸減弱。當耦合半徑達到一定程度時，系統(tǒng)隨著耦合強度的增大，所有節(jié)點的動力學(xué)趨于同步。由于非局域耦合也是一種規(guī)則的耦合方式，連接矩陣的本征值可以解析求解，因此系統(tǒng)從混沌同步到混沌非同步的臨界點可以解析得到（見圖1b中的黑色實線），即Blowout分岔線：

圖1 非局域耦合帳篷映像的相圖Fig.1 Phase Diagram for the nonlocal coupled tent maps其中：信息熵H分布圖中黑色表示低信息熵，系統(tǒng)處于周期態(tài)；白色表示高信息熵，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。同步序參量R分布圖中白色代表同步序參量R＝1，系統(tǒng)處于同步態(tài)，由白色到黑色，系統(tǒng)的同步程度逐漸減弱。

其中P為耦合半徑，λu為單映像的李雅普諾夫指數(shù)，N為系統(tǒng)的節(jié)點數(shù)，εc是系統(tǒng)要達到同步所需要的最小耦合強度，即臨界耦合強度（見圖1中的黑色實線），該曲線右側(cè)為完全同步周期態(tài)，左側(cè)為非同步態(tài)。

對比圖1a和1b，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)信息熵較小的4個區(qū)域可以分成兩類：一類是非同步周期態(tài)，另一類是完全同步周期態(tài)。首先，分析非同步周期態(tài)的特征。分別在圖1a中選取4個點，繪制耦合系統(tǒng)的空間振幅圖，結(jié)果如圖2所示。圖2a對應(yīng)圖1a中的A點，即ε＝0.9，P＝64時的狀態(tài)；圖2b對應(yīng)圖1a中的B點，即ε＝0.9，P＝31時系統(tǒng)的狀態(tài)；圖2c對應(yīng)圖1a中的C點，即ε＝0.9，P＝20時系統(tǒng)的狀態(tài)；圖2d對應(yīng)圖1a中的D點，即ε＝0.9，P＝58時系統(tǒng)的狀態(tài)。由圖2可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)在這些參數(shù)下表現(xiàn)出空間連續(xù)分布的波形狀，且在給定耦合強度下，波峰的個數(shù)隨耦合半徑的減小而增加。例如：圖2a中只有一個波峰，圖2b中有兩個波峰，圖2c中有三個波峰，且系統(tǒng)都處于周期2狀態(tài)，這三種情形剛好對應(yīng)于圖1a中非同步周期態(tài)的三個條狀區(qū)域。仔細觀察圖1a中的A點左側(cè)D點附近仍然有一很窄的信息熵H較小的灰色區(qū)，與D點相應(yīng)的空間振幅圖2d對比，發(fā)現(xiàn)該圖仍然顯示波狀空間振幅空間分布，但是卻在時間尺度上呈現(xiàn)周期4狀態(tài)。

圖2 非同步下系統(tǒng)周期態(tài)的空間振幅圖Fig.2 The space－time plot of the nonlocal coupled system

上述分析顯示，耦合系統(tǒng)的非同步狀態(tài)總是以格點動力學(xué)狀態(tài)在空間的周期性連續(xù)分布為特征，且在時間上也呈現(xiàn)周期態(tài)。其空間周期隨耦合半徑的減小而減小，而時間周期也依賴于耦合半徑。在圖1中同一條狀區(qū)域里還存在其他較窄的周期區(qū)域，這些區(qū)域呈現(xiàn)出較高的周期態(tài)。這些結(jié)果與近年來在耦合Logistic映像和耦合光偏振實驗結(jié)果［19］相一致，其應(yīng)該是非局域耦合離散系統(tǒng)共有的屬性。此外，本文更加關(guān)心耦合系統(tǒng)中完全同步周期態(tài)的特征。

本研究發(fā)現(xiàn)了非局域耦合分段線性系統(tǒng)中一些很特別的同步周期態(tài)。注意圖1a右上角的黑色區(qū)域，其中黑色的點對應(yīng)系統(tǒng)的信息熵H＝0時的狀態(tài)參數(shù)。在這些參數(shù)下系統(tǒng)完全同步到x＊1＝0的不動點，這是平庸的完全同步態(tài)，不是本文關(guān)注的重點。而與該區(qū)域中淺灰色點相對應(yīng)的參數(shù)下系統(tǒng)的動力學(xué)則是我們感興趣的問題，因為在這些參數(shù)下耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)出一些特殊的完全同步周期態(tài)。在圖1a右上角選取E和F兩個點，繪制耦合系統(tǒng)的時空演化圖和節(jié)點動力學(xué)狀態(tài)的時間序列（如圖3所示），其中圖3a和3b對應(yīng)圖1a中的E點，即ε＝0.87，P＝114時的狀態(tài)，而圖3c和3d則對應(yīng)圖1a中的F點，即ε＝0.81，P＝89時的狀態(tài)。由圖3可見，在上述兩套參數(shù)下耦合系統(tǒng)達到完全同步，且呈現(xiàn)出周期均為53的嚴格周期運動狀態(tài)。有趣的是，在圖3b中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)同步狀態(tài)在空間中呈現(xiàn)具有規(guī)則周期的脈沖，而圖3d顯示，在與圖3b中任意兩相繼的脈沖之間又出現(xiàn)另一規(guī)則脈沖。

圖3 同步下系統(tǒng)周期態(tài)的時空振幅演化圖和系統(tǒng)中節(jié)點動力學(xué)狀態(tài)的時間序列Fig.3 The space－time plot of complete periodic synchronous states

上述現(xiàn)象與以往觀察到的耦合映像系統(tǒng)中通常的同步現(xiàn)象有顯著區(qū)別。一般而言，當耦合系統(tǒng)達到同步態(tài)時，系統(tǒng)中各個格點的動力學(xué)狀態(tài)都同步到單個映像的穩(wěn)定周期軌道或混沌軌道。而本文所涉及的映像是一個滿帳篷映像，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，僅存在兩類軌道，即可數(shù)無窮多不穩(wěn)定周期軌道和不可數(shù)無窮多非周期軌道。對于［0，1］區(qū)間的任意初值，得到非周期軌道的概率為1，而得到周期軌道的概率為0。即使精確地將初值取在一個周期點上，舍入誤差也將使這條軌道或遲或早地落入非周期軌道。因此滿映像的典型軌道都是非周期的［20］。顯然這里的同步周期態(tài)不是單個映像的穩(wěn)定周期軌道。在本文研究的系統(tǒng)中格點間動力學(xué)的耦合很可能造成系統(tǒng)同步于單映像的某些不穩(wěn)定周期軌道。時間序列圖3b和3d中的脈沖狀變化是由于同步軌道中存在接近于峰值的周期點，在峰值以前迭代點漸進累計到達峰值附近，并且在峰值附件發(fā)生折疊，使其動力學(xué)狀態(tài)再次投射到最左端的不穩(wěn)定不動點x＊＝0附近，繼續(xù)其周期運動。

按照符號動力學(xué)的語言，圖3b和3d所對應(yīng)的周期軌道序列分別為LnR和LnRLmR，其中L和R分別表示軌道點在映像峰值的左側(cè)和右側(cè)迭代，n和m表示其在峰值左側(cè)的迭代次數(shù)。該兩類軌道的周期分別為n＋1和m＋n＋2。對于圖3b的情況，n＝52，由迭代映像（2）可得其不動點方程為

對于圖3d的情況，n＝18，m＝33，不動點方程為

將n＝52帶入（6）式，得到起始周期點x0＝x＊＝2.220 446 049 250×10－16。將n＝18，m＝33代入（7）式，得到起始周期點x0＝x＊＝3.814 697 265 403×10－6。分別以上述兩個初值為起點，根據(jù)單映像（2）迭代得到兩個非穩(wěn)定周期點的時間序列。將其分別與圖3b和3d中兩個同步周期軌道的時間序列比較發(fā)現(xiàn)，其精確符合。至此可以證明：圖3中的兩種同步周期軌道就是單映像的非穩(wěn)定周期軌道，正是由于格點動力學(xué)間的非局域耦合造成了系統(tǒng)的同步動力學(xué)穩(wěn)定在單映像的非穩(wěn)定周期軌道。事實上，上述兩類周期序列的不同組合可以造成比圖3所示脈沖序列更豐富的行為。該現(xiàn)象表明，可以用這類不連續(xù)的分段線性映像模擬神經(jīng)元的累積放點現(xiàn)象，用耦合分段線性映像模擬神經(jīng)元間突觸電耦合所產(chǎn)生的豐富放電行為。

3 結(jié)論

本文用數(shù)值模擬的方法研究了非局域耦合帳篷映像中的周期態(tài)，分別采用耦合系統(tǒng)的信息熵和同步序參量刻畫耦合系統(tǒng)的動力學(xué)行為。研究結(jié)果表明，在非局域耦合帳篷映像系統(tǒng)中存在兩類周期態(tài)：一類是非同步周期態(tài)，另一類是完全同步周期態(tài)。在參數(shù)空間的3個條狀區(qū)域存在非同步周期態(tài)，其在空間上呈連續(xù)的波峰型分布，在時間上也呈現(xiàn)周期狀態(tài)。隨著耦合強度和耦合半徑的變化，其在空間周期和時間周期也會隨之變化。所發(fā)現(xiàn)的完全同步周期態(tài)具有特殊性，它是由耦合系統(tǒng)中格點動力學(xué)耦合所造成。在這類同步態(tài)中，系統(tǒng)格點的動力學(xué)同步于單映像的非穩(wěn)定周期軌道，不同于以往在非局域耦合系統(tǒng)中所觀察到的同步態(tài)，可以用來模擬耦合神經(jīng)元的豐富放電行為。

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