從函數(shù)概念出發(fā)：銳角三角函數(shù)的生長點

☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 蕭婷 朱宸材

從函數(shù)概念出發(fā)：銳角三角函數(shù)的生長點

☉江蘇省無錫市金星中學(xué) 蕭婷 朱宸材

我們注意到，最新的人教版教材九年級下冊“銳角三角函數(shù)”從一個“生活問題”引入，這種數(shù)學(xué)新知識的教學(xué)都想方設(shè)法從“生活現(xiàn)實”引入的努力雖然反映了數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活的價值取向，然而這個情境的設(shè)置其基本目的只是為了復(fù)習(xí)“在直角三角形中，30°所對的直角邊長等于斜邊長的一半”這一性質(zhì)，而直角三角形的這個性質(zhì)學(xué)生在八年級學(xué)習(xí)等邊三角形時就早已熟知了.筆者最近在觀摩全國著名特級教師李庾南老師“銳角三角函數(shù)”起始課教學(xué)視頻時發(fā)現(xiàn)，李老師放棄了課本提供的情境引入，而是基于學(xué)生對直角三角形的已有認(rèn)知，選擇從函數(shù)概念出發(fā)定義了銳角三角函數(shù)，整節(jié)課自然親切，過渡平滑，追求了知識生成中的“邏輯連貫、前后一致”（章建躍語）.本文記錄該課的教學(xué)過程，與更多同行分享研習(xí).

一、“銳角三角函數(shù)”起始課教學(xué)過程

（一）研究直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，建構(gòu)銳角三角函數(shù)的定義1.回顧直角三角形中邊、角之間的關(guān)系

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c.

圖1

邊：a2＋b2＝c2（勾股定理）.

角：∠A＋∠B＝90°（三角形內(nèi)角和定理推論——直角三角形中兩銳角互余）.

2.探討直角三角形中邊與角之間的關(guān)系

（1）當(dāng)銳角∠B大小不變時，Rt△ABC的三邊可以變化（如圖2）.探究變中之不變——每兩邊的比值不變.

圖2

（2）當(dāng)銳角∠B大小改變時，例如由原來的30°變化為45°時，每兩邊的比值也改變了，∠B＝60°時，比值又隨之改變.所以在直角三角形中，當(dāng)銳角的大小變化時，直角三角形的每兩邊的比值也隨之變化，且當(dāng)銳角每取一個確定的值時，三邊中的每兩邊的比值都有唯一確定的值與之對應(yīng).

（3）在直角三角形中，銳角與三角形的兩邊的比值之間是函數(shù)關(guān)系.

（4）由函數(shù)的定義：在某一變化過程中有兩個變量x、y，當(dāng)x每取一個確定的值時，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量，可以知道是∠B的函數(shù)，∠B是自變量，這就是本課研究的課題：銳角三角函數(shù).

（二）創(chuàng)設(shè)情境，觀察思考，定義銳角三角函數(shù)的概念和互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系式

1.把直角三角形中的銳角與每兩邊的比之間的關(guān)系給定名稱

圖3

2.符號表示

∠A的正弦記作sin∠A；∠A的余弦記作cos∠A；∠A的正切記作tan∠A.

記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”，如sinA.如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三邊分別記作a、b、c.

請思考：

圖4

圖5

（2）∠A和∠B互余，通過思考（1），有什么發(fā)現(xiàn)？

任意銳角的正弦值（余弦值）等于它的余角的余弦值（正弦值），這個關(guān)系可用下列式子表示（0°＜α＜90°）：sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）.

（三）根據(jù)直角三角形的邊和角的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義，引導(dǎo)學(xué)生自主探究歸納列出30°、45°、60°的三角函數(shù)值表

（1）如圖6，在Rt△ABC中，∠A=30°，研究30°的三角函數(shù)值.

圖6

（2）交流研究60°的三角函數(shù)值的方法.

方法1：根據(jù)定義求得60°的三角函數(shù)值分別為：

方法2：根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，直接求得60°的各三角函數(shù)值，并將結(jié)果填入上表.

（3）用同樣方法求得45°的三角函數(shù)值后填入上表.

（四）引導(dǎo)學(xué)生觀察30°、45°、60°的三角函數(shù)值表，探究表中數(shù)值間的內(nèi)在關(guān)系

1.學(xué)生獨立研究，伴以小組議論

2.全班交流

3.在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，教師適時點撥歸納

（1）根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式，只需記住30°、45°、60°的正弦、正切值就可知它們的余弦、余切值.

（2）發(fā)現(xiàn)：①銳角α的正弦、正切值是隨角α的增大而增大的，而余弦值是隨角α的增大而減小的；②0＜sinα＜ 1，0＜cosα＜1（α為銳角）；③角α的正弦與余弦的比等于角α的正切，

因此也可以根據(jù)同一個角的各三角函數(shù)的關(guān)系來記憶特殊角的三角函數(shù)值.

（3）請同學(xué)們思考同一個角的正弦和余弦之間有什么關(guān)系，能否根據(jù)定義證明sin2α+cos2α=1？

（五）師生共同總結(jié)

（1）銳角三角函數(shù)的實質(zhì)是所在直角三角形的兩邊的比值，當(dāng)一個角確定時，每一個比值也就唯一確定了.每一個比值都是這個角的一個函數(shù)，這個角是自變量.

（2）掌握了銳角三角函數(shù)的定義，特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)的增減性、互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式便迎刃而解了，因而掌握定義是關(guān)鍵.

二、課例賞析

1.從函數(shù)視角構(gòu)思銳角三角函數(shù)的概念，思辨整體與個別的關(guān)系

銳角三角函數(shù)的實質(zhì)是直角三角形中的銳角與兩邊之比的變化對應(yīng)關(guān)系，知識的背景是函數(shù)的定義和“相似三角形對應(yīng)邊成比例”的性質(zhì).教材把“銳角三角函數(shù)”編排在“函數(shù)”和“相似三角形”的后面是符合知識的邏輯結(jié)構(gòu)順序的，因此應(yīng)以函數(shù)的觀點來審視本節(jié)教材，突出在Rt△ABC中，c為斜邊，a、b為直角邊，當(dāng)銳角取一個確定的值值唯一確定，所以每一個比便是該銳角的一個函數(shù)，該銳角為自變量.根據(jù)知識的本質(zhì)，應(yīng)將這三個比的名稱——銳角的正弦、余弦、正切同時給出，使學(xué)生整體認(rèn)識且在整體中辨別，易于掌握概念.

2.從直角三角形中不同邊之比出發(fā)展現(xiàn)全貌，讓學(xué)生“心中有森林”

我們知道教材上是幾個不同的銳角三角函數(shù)分開，逐一學(xué)習(xí)，這是一種“先見樹木，再遇森林”的做法.我們認(rèn)為可將學(xué)生置于“流動”知識鏈，首先讓學(xué)生心中有全貌，然后讓知識隨學(xué)生思維的推動而延伸，讓學(xué)生的思維隨知識的必然發(fā)展而不斷深化、活化.李老師的這節(jié)課以全屏的視野，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究的背景，讓學(xué)生沿著發(fā)展、對應(yīng)、構(gòu)建函數(shù)研究特性的線索，展開對三角函數(shù)最基本內(nèi)容的全面探究，學(xué)生從中獲得的不僅僅是有關(guān)三角函數(shù)的知識，也不僅僅是基本思維品質(zhì)的優(yōu)化，還包括研究問題的思想方法與策略，也包括學(xué)生人格、情感等領(lǐng)域的發(fā)展.不可否認(rèn)，這節(jié)課學(xué)習(xí)了比較多的知識，但是由于李老師洞察了知識的背景、本質(zhì)及其邏輯結(jié)構(gòu)，（學(xué)生對含30°、45°、60°角的直角三角形的性質(zhì)已充分掌握）遵循這一科學(xué)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，不斷建構(gòu)，形成體系，所以也就順理成章，自然生成.

3.關(guān)于課堂自然生長性的一些思考

實踐研究發(fā)現(xiàn)，知識的理解必須要有一定的心理基礎(chǔ).在學(xué)生學(xué)習(xí)新概念之前，頭腦中一定有與之有關(guān)的準(zhǔn)備知識，并且這些有關(guān)的知識結(jié)構(gòu)是能夠被調(diào)動起來的，與新概念之間能夠形成聯(lián)系.學(xué)生對于新知識的理解與吸收是一個信息或要素組織的過程，理解不是直線式的簡單的積累，而是螺旋式發(fā)展的.同時，理解還需要認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再重組.就本課而言，對于理解李老師為什么棄用課本導(dǎo)入，而從知識內(nèi)部的自然生長點切入教學(xué)，筆者做出以下大膽揣測：首先學(xué)生學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的概念之前，頭腦中具備了一些與之相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，如函數(shù)的概念、直角三角形的知識、勾股定理、線段比的意義、三角形的相似等，學(xué)生如果不理解函數(shù)概念中兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，也就不可能解銳角三角函數(shù)的角與邊的比的對應(yīng)關(guān)系；其次，學(xué)生對以上的這些相關(guān)概念知識的認(rèn)知是否到位，對于學(xué)生建構(gòu)銳角三角函數(shù)的概念起著至關(guān)重要的作用.基于以上兩點，本課整體建構(gòu)的基礎(chǔ)可謂萬事俱備，如此引入更是水到渠成了.本課也正是巧妙地抓住了知識生長的自然特點順勢而為，不僅學(xué)生不會感到“負(fù)擔(dān)”，還在知識間的微妙深邃的聯(lián)系中享受到了思維創(chuàng)造的樂趣，學(xué)生的學(xué)力也就在這種日積月累中不斷發(fā)展.可見，課堂自然生成需要外部資源的儲備，需要關(guān)注知識之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，更是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在特點決定了的.

1.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

3.劉東升.專家教師課堂MPCK的特點——李庾南老師執(zhí)教“因式分解”課例研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（3）.