基于SolidWorks＆SimMechanics對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真及控制

宋馬軍，陳健偉，張榮興，朱城偉

(江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西贛州 341000)

0 前言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高剛度、高精度、高靈活性、高承載能力等優(yōu)點(diǎn)，一定程度上改善了六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間小、運(yùn)動(dòng)支鏈多、生產(chǎn)成本高等缺點(diǎn)［1-2］。其中，三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備了少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)且控制相對(duì)容易，在各領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值和潛力。HUNT［3］于1983年提出的3-RPS并聯(lián)機(jī)器人得到了廣泛的應(yīng)用，黃真等［4］對(duì)3-RPS并聯(lián)機(jī)器人的位置、運(yùn)動(dòng)和受力進(jìn)行了研究，LI等［5］對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行了分析。SimMechanics是Matlab中的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)模塊集，它可用各種運(yùn)動(dòng)副和剛體組合進(jìn)行機(jī)構(gòu)的建模和仿真，為多體動(dòng)力機(jī)械系統(tǒng)及控制系統(tǒng)提供了正向動(dòng)力學(xué)分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、線性化分析等。利用SimMechanics工具進(jìn)行機(jī)構(gòu)建模仿真不需要建立數(shù)學(xué)模型和編程，即可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)分析和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模擬顯示。但SimMechanics對(duì)復(fù)雜模型裝配體的直接建模工作量大和出錯(cuò)率高，模型中坐標(biāo)系的設(shè)定難度大和數(shù)據(jù)計(jì)算繁瑣等缺點(diǎn)?；谀Ｐ娃D(zhuǎn)換接口技術(shù)提高了復(fù)雜模型的建模仿真的工作效率，降低了建模出錯(cuò)率，在建模仿真中基本不需要對(duì)數(shù)據(jù)的計(jì)算。

PID控制因算法比較簡(jiǎn)單、控制一般可建立精確數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)可靠性高、原理簡(jiǎn)單、魯棒性好和能達(dá)到理想的控制效果等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的工業(yè)生產(chǎn)中［6］。但由于它是一種線性結(jié)構(gòu)的控制，而對(duì)于非線性、不確定性系統(tǒng)，如對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人想要實(shí)現(xiàn)理想的控制效果較難。模糊控制是以模糊語(yǔ)言變量、模糊邏輯推理及模糊集合為基礎(chǔ)，由論域映射到論域的非線性控制，屬于智能控制算法的一種。它具有被控對(duì)象不需要有精確的數(shù)學(xué)模型、易于接受、魯棒性和適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)［7］。

本文作者利用螺旋理論對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)純平動(dòng)的構(gòu)型進(jìn)行了分析，該構(gòu)型的特點(diǎn)是同支鏈兩個(gè)虎克副中，兩個(gè)內(nèi)側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心和兩個(gè)外側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸心均相互平行。運(yùn)用SolidWorks＆SimMechanics模型轉(zhuǎn)換接口技術(shù)對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性仿真，大大地提高了SimMechanics模塊對(duì)于復(fù)雜實(shí)體仿真建模的準(zhǔn)確性，避免大量數(shù)據(jù)的計(jì)算，提高了操作效率?；贛atlab語(yǔ)言對(duì)傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)和模糊PID控制系統(tǒng)的性能及3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制對(duì)比。

1 3-UPU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性分析

如圖1所示，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)由兩個(gè)相似的正三角形平臺(tái)和三條相互獨(dú)立的支鏈組成，每條支鏈由兩個(gè)虎克副和一個(gè)移動(dòng)副所組成。坐標(biāo)系O-XYZ和坐標(biāo)系o-xyz分別固結(jié)于定、動(dòng)平臺(tái)中心處。定、動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑分別為R=100 mm和r=50 mm。初始位置時(shí)，動(dòng)平臺(tái)中心相對(duì)于定坐標(biāo)為zp=。

圖1 3-UPU型并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

1．1 螺旋理論

螺旋理論形成于19世紀(jì)。1900年R．S．BALL完成經(jīng)典著作《旋量理論》。20世紀(jì)前半葉，幾乎無(wú)人問(wèn)津旋量理論。1948年，F(xiàn)．M．DIMENTBERG在分析空間機(jī)構(gòu)時(shí)，才再次應(yīng)用了這個(gè)理論。此后，旋量理論才逐漸為機(jī)構(gòu)學(xué)所重視，得以迅速地發(fā)展［8］。

如圖2，螺旋理論中的一個(gè)旋量可同時(shí)表示空間一組對(duì)偶矢量。

圖2 螺旋系幾何示意圖

旋量用對(duì)偶矢量表示:

式中:r×s=s0-hs為該旋量軸線位置，h為旋量節(jié)距，具有長(zhǎng)度單位。當(dāng)h=0，(s;s0)=(s;s0)為線矢量;當(dāng)h=∞，(s;s0)=(0;s)為偶量。

式中:“。”表示螺旋的互易積。0節(jié)距的力螺旋描述的是力，無(wú)窮大節(jié)距的力螺旋則是力偶。逆螺旋定義的是機(jī)構(gòu)的公共約束，借助Mathematic可求得逆螺旋。

1．2 3-UPU型并聯(lián)機(jī)器人逆螺旋

因支鏈均為UPU，任取一條支鏈進(jìn)行分析，如圖3。以虎克副B1外側(cè)軸心為X軸建直角坐標(biāo)系OXYZ，支鏈與X軸的夾角為α。依據(jù)螺旋理論可得支鏈B1E1的運(yùn)動(dòng)螺旋為:

圖3 UPU支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋

支鏈?zhǔn)怯赡┒耸?個(gè)螺旋組合而成的螺旋系，并受到一個(gè)約束。由于運(yùn)動(dòng)螺旋的反螺旋是結(jié)構(gòu)約束，表示物體在三維空間受到的約束，支鏈末端受到的約束和支鏈螺旋系的反螺旋是等價(jià)的。利用Mathematica計(jì)算可得反螺旋為:

分析可得，支鏈?zhǔn)艿揭粋€(gè)約束力偶，約束支鏈沿z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。同理，另外兩條支鏈也各受一個(gè)約束力偶，并依據(jù)線矢和旋量在不同幾何空間下的最大線性無(wú)關(guān)數(shù)表［9］可確定該機(jī)構(gòu)受X、Y、Z方向的力偶約束，只能三維平動(dòng)。

2 3-UPU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)建模

SimMechanics是Simulink中機(jī)構(gòu)系統(tǒng)模塊集，它可對(duì)各種運(yùn)動(dòng)副連接等剛體進(jìn)行建模與仿真，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析與設(shè)計(jì)目的。借助該工具進(jìn)行機(jī)構(gòu)分析不需要建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和程序的設(shè)計(jì)即可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)分析和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模擬顯示，它大大地提高機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和研究人員的工作效率［10-11］。

基于SimMechanics的機(jī)構(gòu)建模有兩種方法，分別是直接方法和間接方法。直接方法是利用SimMechanics對(duì)機(jī)構(gòu)建模，建模過(guò)程雖簡(jiǎn)單，但仿真前的各模塊參數(shù)設(shè)置易于出錯(cuò)，尤其是涉及到一些剛體的慣性矩等參數(shù)設(shè)置，適用于簡(jiǎn)單的機(jī)構(gòu)。間接方法是借助于實(shí)體建模工具及其與SimMechanics的接口技術(shù)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的聯(lián)合建模仿真，該方法適用于復(fù)雜模型。

本文作者利用SimMechanics＆SolidWorks接口技術(shù)對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模與仿真過(guò)程可闡述如下:

(1)運(yùn)用SolidWorks對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)體建模，如圖4，并另存為．XML文件;

(2)Matlab中執(zhí)行mech_import命令，通過(guò)Import Physical Modeling XML窗口導(dǎo)入．XML文件，在SimMechanics中生成機(jī)構(gòu)的可視化結(jié)構(gòu)模型。如圖5—7，對(duì)模型添加所需的驅(qū)動(dòng)及檢測(cè)模塊，并另存為．SLX文件。接口技術(shù)的好處在于生成的模型中，各構(gòu)件的參數(shù)均已自動(dòng)設(shè)置;

(3)合理地設(shè)置初始參考輸入值，如齊次變換矩陣、初始位置等，如圖8所示;

(4)設(shè)置Configuration Parameters中的可視化選項(xiàng)并運(yùn)行，可得如圖9中可視化的仿真實(shí)體。

圖4 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)體圖

圖5 XML文件轉(zhuǎn)換器圖

圖6 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化后機(jī)構(gòu)整體圖

圖7 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈模型圖

圖8 理論模型

圖9 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換后的可視化結(jié)構(gòu)圖

3 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3．1 傳統(tǒng)PID控制

傳統(tǒng)PID控制具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，如圖10所示。

圖10 傳統(tǒng)PID控制圖

PID控制原理，是在理想狀態(tài)下由計(jì)算公式所得到的期望值與實(shí)際輸出值的差構(gòu)成控制偏差，作為控制器的輸入量，再對(duì)其輸入量進(jìn)行比例運(yùn)算、積分運(yùn)算、微分運(yùn)算，經(jīng)過(guò)線性組合合并成控制量輸出，再由控制量對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制。根據(jù)傳統(tǒng)PID控制原理，對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真的傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)可設(shè)計(jì)成如圖7所示，參數(shù)Kp、KI、KD可由試驗(yàn)緊湊法整定。

3．2 模糊PID控制

由于PID控制中，參數(shù)調(diào)整的不確定性，大大增加了控制過(guò)程中的工作量，同時(shí)使其控制作用很難達(dá)到最佳效果。模糊PID控制原理(如圖11)就是應(yīng)用模糊理論，通過(guò)分析PID控制參數(shù)的作用效果，構(gòu)造隸屬度函數(shù)，建立模糊規(guī)則，運(yùn)用模糊推理，使PID參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)最佳參數(shù)調(diào)整。

圖11 模糊PID控制系統(tǒng)

模糊推理是依據(jù)輸入輸出量的模糊語(yǔ)言變量及其隸屬函數(shù)，通過(guò)由模糊規(guī)則確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，以確定任意值的輸入量對(duì)應(yīng)的輸出量的值，并以此得到詳細(xì)的控制查詢表。模糊推理方法有很多種，包括Mamdani極大極小運(yùn)算法、乘積模糊推理法和由日本學(xué)者Tsukamoto提出的適合單調(diào)隸屬函數(shù)的模糊推理方法等。其中，Mamdani極大極小運(yùn)算法應(yīng)用廣泛，能滿足運(yùn)算的復(fù)雜程度和得到信息的豐富程度的綜合要求。

3．2．1 變量和模糊規(guī)則的確定

由于模糊PID控制器主要是針對(duì)PID的3個(gè)參考調(diào)整，使其能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)自調(diào)整的效果。同時(shí)，對(duì)于該控制器的輸入，選取控制器的偏差E和偏差變化EC作為輸入量，kp、ki、kd為輸出量。基本原理是把if-then規(guī)則定義為乘積空間中的二元模糊關(guān)系。對(duì)模糊控制的模糊子集可表示如下:

用模糊語(yǔ)言變量表示為(NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB)。

結(jié)合傳統(tǒng)PID參數(shù)的整定，根據(jù)相關(guān)領(lǐng)域的專(zhuān)家對(duì)PID控制試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，可得對(duì)輸入輸出變量模糊區(qū)域的模糊規(guī)則表。表1中共49條模糊規(guī)則，由第一條語(yǔ)句所確定的控制規(guī)則為u1，同理可得控制量的模糊集合u為:

模糊集合的論域U可采用最大隸屬度原則進(jìn)行模糊模式的識(shí)別歸類(lèi)，該方法應(yīng)用于個(gè)體的識(shí)別，設(shè)Ai∈F(U)(i=1，2，…，n)，對(duì)u0∈U，若存在i0，使Ai0(u0)=max{ A1(u0)，A2(u0)，…，An(u0)}，則認(rèn)為u0相對(duì)地隸屬于Ai。

表1 模糊規(guī)則表

文中采用工業(yè)控制中廣泛使用去模糊法—加權(quán)平均法，可得關(guān)于模糊規(guī)則的模糊相似矩陣R=(rij)n×m給出，具體值為rulelist=［1 1 7 1 5 1 1;1 2 7 1 3 1 1;1 3 6 2 1 1 1;1 4 6 2 1 1 1;1 5 5 3 1 1 1;1 6 4 4 2 1 1;1 7 4 4 5 1 1;2 1 7 1 5 1 1;2 2 7 1 3 1 1;2 3 6 2 1 1 1;2 4 5 3 2 1 1;2 5 5 3 2 1 1;2 6 4 4 3 1 1;2 7 3 4 4 1 1;3 1 6 1 4 1 1;3 2 6 2 3 1 1;3 3 6 3 2 1 1;3 4 5 3 2 1 1;3 5 4 4 3 1 1;3 6 3 5 3 1 1;3 7 3 5 4 1 1;4 1 6 2 4 1 1;4 2 6 2 3 1 1;4 3 5 3 3 1 1;4 4 4 4 3 1 1;4 5 3 5 3 1 1;4 6 2 6 3 1 1;4 7 2 6 4 1 1;5 1 5 2 4 1 1;5 2 5 3 4 1 1;5 3 4 4 4 1 1;5 4 3 5 4 1 1;5 5 3 5 4 1 1;5 6 2 6 4 1 1;5 7 2 7 4 1 1;6 1 5 4 7 1 1;6 2 4 4 5 1 1;6 3 3 5 5 1 1;6 4 2 5 5 1 1;6 5 2 6 5 1 1;6 6 2 7 5 1 1;6 7 1 7 7 1 1;7 1 4 4 7 1 1;7 2 4 4 6 1 1;7 3 2 5 6 1 1;7 4 2 6 6 1 1;7 5 2 6 5 1 1;7 6 1 75 1 1;7 7 1 7 7 1 1］;

對(duì)程序執(zhí)行命令showrule(‘a(chǎn)’)、ruleview(‘a(chǎn)’)和surfview(‘a(chǎn)’)便可得相應(yīng)的模糊邏輯工具箱的GUI圖如圖12—14所示。

圖12 模糊規(guī)則編輯器圖

圖13 模糊規(guī)則觀察器圖

圖14 輸出曲面觀察器圖

3．2．2模糊控制器設(shè)計(jì)

模糊控制器是直接實(shí)現(xiàn)模糊推理算法的專(zhuān)用工具?？捎密浖陀布煞N方式完成模糊控制器的功能。當(dāng)計(jì)算量比較小時(shí)，可用軟件實(shí)現(xiàn)，但對(duì)于一些計(jì)算量大、實(shí)時(shí)要求高的控制系統(tǒng)，需要用硬件設(shè)備直接實(shí)現(xiàn)模糊推理，以達(dá)到計(jì)算迅速、使用簡(jiǎn)便的目的［12］。模糊控制器的設(shè)計(jì)步驟包括模糊化、構(gòu)建模糊推理規(guī)則、確定權(quán)與規(guī)則信度和反模糊化，如圖10中的Fuzzy Logic Controller，設(shè)計(jì)程序見(jiàn)3．2．1節(jié)。

4 仿真

根據(jù)文中所建立的3-UPU型并聯(lián)機(jī)構(gòu)及控制系統(tǒng)模型，采用Matlab語(yǔ)言對(duì)傳統(tǒng)PID控制和模糊PID控制進(jìn)行程序設(shè)計(jì)并進(jìn)行控制性能比較，如圖15。PID參數(shù)調(diào)整值為kp=1．3、ki=4．3、kd=0．57，輸入三平動(dòng)信號(hào)為15sin( 5πt)的正弦信號(hào)。3-UPU型并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)位置跟蹤圖與輸入信號(hào)相近，如圖16。

圖15 傳統(tǒng)PID與模糊PID控制響應(yīng)對(duì)比圖

圖16 3-UPU型并聯(lián)機(jī)器人模糊PID控制動(dòng)平臺(tái)位置跟蹤

5 結(jié)束語(yǔ)

文中對(duì)提出的3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性仿真和控制系統(tǒng)進(jìn)行了分析。首先，利用模型轉(zhuǎn)換接口技術(shù)建模仿真;其次，對(duì)傳統(tǒng)和模糊PID控制方法建立模型及系統(tǒng)性能分析。結(jié)果對(duì)比可得:由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有明顯的非線性，傳統(tǒng)PID控制很難實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制目標(biāo)。模糊PID控制較傳統(tǒng)PID控制具有控制精度高、響應(yīng)更快、性能明顯改善等優(yōu)點(diǎn)。文中還通過(guò)XML文件中附帶的STL文件提供了每個(gè)剛體的可視化實(shí)體動(dòng)畫(huà)模型。同時(shí)，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真結(jié)果也驗(yàn)證了1．2節(jié)所得的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)均被約束力偶約束，僅實(shí)現(xiàn)純平動(dòng)。該方法提高了復(fù)雜且不易在SimMechanics中直接建模的模型的建模效率和準(zhǔn)確率。

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