簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)高考解析幾何試題運(yùn)算的“三化與四策”

林新建

(漳州第一中學(xué)，福建 漳州 363000)

解析幾何試題一直是數(shù)學(xué)高考的難點(diǎn)。它的難不在于向量的包裝，也不在于幾何條件的代數(shù)化，而在于運(yùn)算。然而能力又恰恰體現(xiàn)在如何簡(jiǎn)化運(yùn)算上，因此，簡(jiǎn)化運(yùn)算便成了解決高考解析幾何試題的重中之重了。那么，簡(jiǎn)化解析幾何試題的運(yùn)算有哪些方法呢?

一、解題方法巧用“三化”

(一)特殊化

特殊化是特殊與一般思想在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。它是依據(jù)問(wèn)題在一般情況下真則在特殊情況下亦真，反之，在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真的原理——肯定某一結(jié)論或否定其余結(jié)論的解題過(guò)程。在解析幾何中，善于運(yùn)用特殊化方法，可幫助我們快速探明問(wèn)題的解決方向，有效簡(jiǎn)化運(yùn)算與求解途徑。

例1(2009 年全國(guó)高考山東卷理科22 題)

(Ⅰ)求橢圓E 的方程;

(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E 恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且?若存在，寫(xiě)出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由。

若滿(mǎn)足條件的圓存在，設(shè)其方程為x2+y2=r2，由圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A、B 均滿(mǎn)足這個(gè)一般性結(jié)論可知，圓的某一條特殊切線(xiàn)，如x=r 與橢圓E 的兩個(gè)交點(diǎn)A、B 必也滿(mǎn)足，由此可將A(r，r)代入得，從而知若該圓存在，則圓的方程必為

確定出圓的方程，證明就是簡(jiǎn)單的事了，在這里，一般問(wèn)題特殊化的數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)起了決定性作用，凸顯了特殊與一般思想在探索解題方向上的重要作用。

(二)極限化

極限化是有限與無(wú)限思想在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。有限與無(wú)限相比，有限顯得具體，無(wú)限顯得抽象，對(duì)有限的研究往往先于對(duì)無(wú)限的研究。反之，當(dāng)積累了解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有限問(wèn)題來(lái)解決。這種有限變無(wú)限、無(wú)限化有限的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法就是極限化方法，可以有效簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算，輕松得到問(wèn)題的答案。

例2(2011 年北京市高三質(zhì)檢考試題)

若雙曲線(xiàn)x2-y2=a2(a ＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P 是第一象限內(nèi)雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)。若直線(xiàn)PA、PB 的傾斜角分別為α、β，且β=mα(m ＞1)，那么α 的值是( )

解析:本題求解若考慮坐標(biāo)運(yùn)算，需設(shè)出點(diǎn)P 的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)P 的坐標(biāo)滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的方程得到關(guān)于直線(xiàn)PA、PB 的斜率tanα、tanβ、所滿(mǎn)足的關(guān)系式tanα·tanβ=1，進(jìn)而將β=mα 代入，得到，所以α=。其實(shí)，本題作為一個(gè)選擇題，若從思想去立意，運(yùn)用極限化方法去無(wú)限逼近，則根本無(wú)需計(jì)算:

當(dāng)P 趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，直線(xiàn)PA、PB 趨近于直線(xiàn)PO，它們都趨近于漸近線(xiàn)y=x，此時(shí)m →1，驗(yàn)證選項(xiàng)即知正確答案為D。

這樣解答，簡(jiǎn)單快捷，凸顯了有限與無(wú)限相互轉(zhuǎn)化在簡(jiǎn)化繁難運(yùn)算上的巨大威力。

(三)坐標(biāo)化

解析幾何的本質(zhì)思想是“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”，而坐標(biāo)化方法正是這一重要思想在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。對(duì)于給定的幾何問(wèn)題，若能巧妙運(yùn)用坐標(biāo)化方法予以建系求解，則能大大減少運(yùn)算量，有效簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

例3(2008 年高考江蘇卷理科18 題)

解析:本題求解的常規(guī)方法是:設(shè)BC=m，∠ACB進(jìn)而可求得其最大值為。以上方法思路直觀但運(yùn)算繁雜，解題不易進(jìn)行，若能巧妙運(yùn)用坐標(biāo)方法予以求解，則可有效減少運(yùn)算量，輕松快捷:

以AB 所在直線(xiàn)為x 軸，AB 的中垂線(xiàn)為y 軸建立平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)C(x，y)，由條件易得點(diǎn)C 的軌跡方程為(x-3)2+y2=8，從而

二、解題過(guò)程善用“四策”

(一)轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換是正難則反思想在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。解題需要套路，看到這道題，你的第一反應(yīng)是什么?迅速生成常規(guī)方案，也即第一方案。為什么要有套路?因?yàn)?0%的高考題是基本的、穩(wěn)定的，考查運(yùn)算的敏捷性。沒(méi)有套路，就沒(méi)有速度。問(wèn)題是，當(dāng)實(shí)施第一方案遇到障礙時(shí)，我們的策略是什么?

例4(2006 年高考湖北卷理科20 題)

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)P 為右準(zhǔn)線(xiàn)上不同于點(diǎn)(4，0)的任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)AP、BP 分別與橢圓相交于異于A、B 的點(diǎn)M、N，證明點(diǎn)B 在以MN 為直徑的圓內(nèi)。

處理難題，從方法論的角度講就是轉(zhuǎn)換視角。常態(tài)方案不行，換一個(gè)方案行了;這種說(shuō)法與思路不通，換一個(gè)說(shuō)法通了;在一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)繁復(fù)的問(wèn)題，換一個(gè)領(lǐng)域簡(jiǎn)單了。對(duì)處理解析幾何試題的繁難運(yùn)算，自不例外!如若不是這樣，靠什么考查能力?又憑什么說(shuō)高考是一種選拔性考試呢?再如，

例5(2008 年高考全國(guó)卷Ⅰ理科21 題)

雙曲線(xiàn)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x 軸上，兩條漸近線(xiàn)分別為l1、l2，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F 垂直于l 的直線(xiàn)分別交l1、l2于A、B 兩點(diǎn)。已知成等差數(shù)列，且同向。

(Ⅰ)求雙曲線(xiàn)的離心率;

(Ⅱ)設(shè)AB 被雙曲線(xiàn)所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，求雙曲線(xiàn)的方程。

解析:本題難在第(Ⅰ)問(wèn)，若考慮坐標(biāo)運(yùn)算，就得由漸近線(xiàn)方程與直線(xiàn)AB 的方程聯(lián)立，求出A、B 的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再利用它們成等差數(shù)列的條件來(lái)解，其運(yùn)算的繁難程度可想而知。

稍微一轉(zhuǎn)換，便可充分利用平面幾何的性質(zhì)，從而避免了繁雜的坐標(biāo)運(yùn)算。這也正是我們?cè)诮馕鰩缀沃薪?jīng)常遇到的問(wèn)題:三種運(yùn)算(坐標(biāo)、向量、邏輯)，我們選擇什么?特別是在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙時(shí)，如何從思想立意去調(diào)整和轉(zhuǎn)換運(yùn)算?

(二)構(gòu)造

構(gòu)造是構(gòu)造思想在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。把轉(zhuǎn)換作為求解解析幾何問(wèn)題的策略無(wú)疑是必要和合理的，它要求我們?cè)诤?jiǎn)化繁難運(yùn)算時(shí)必須具備轉(zhuǎn)換意識(shí)，這樣才能有效地解決問(wèn)題。但是，轉(zhuǎn)換并不總是永遠(yuǎn)暢通無(wú)阻的。正像走路一樣，我們要邁向目的地(結(jié)論)，從起點(diǎn)(條件)出發(fā)，不斷地變換方向和路徑，從一處轉(zhuǎn)向另一處逐漸向結(jié)論靠攏，但有的地方卻無(wú)法過(guò)去，需要修筑道路，架設(shè)橋梁，這就需要構(gòu)造。

例6(2010 年高考遼寧卷理科20 題)

解析:本題很難，難在運(yùn)算，許多考生依常規(guī)設(shè)出直線(xiàn)AB 的方程，聯(lián)立橢圓方程運(yùn)用韋達(dá)定理消參，以期獲得a、b、c 的關(guān)系式以求得離心率，結(jié)果均半途而廢，望繁難運(yùn)算興嘆而已。其實(shí)，若從思想上立意，構(gòu)建出焦點(diǎn)三角形，便可運(yùn)用橢圓定義予以求解，這樣幾無(wú)運(yùn)算量，問(wèn)題也可輕松獲解。

設(shè)F'為左焦點(diǎn)，連AF'、BF'。設(shè)|BF| =m，則|AF| =2m，|BF'|=2a-m，|AF'|=2a-2m，∠AFF'=60°，∠BFF'=120°。

在△AF'F 和△BF'F 中，分別施行余弦定理，可得:

化簡(jiǎn)得:a2-c2=(2a-c)m，2(a2-c2)=(2a+c)m，消去m，即得

借助(Ⅰ)問(wèn)，第(Ⅱ)問(wèn)唾手可得:

(三)類(lèi)比

類(lèi)比是“類(lèi)比思想”在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。在解析幾何中，若能根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在某些方面的類(lèi)同之處進(jìn)行類(lèi)比，把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移給另一個(gè)對(duì)象，可大大減少運(yùn)算量，有效簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

例7(2009 年高考遼寧卷理科20 題)

(Ⅰ)求橢圓C 的方程;

(Ⅱ)E，F(xiàn) 是橢圓C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE 的斜率與AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線(xiàn)EF 的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。

解析:第(Ⅰ)問(wèn)求橢圓方程，運(yùn)用定義法求解可有效減少運(yùn)算量，容易求得橢圓C 的方程為1。第(Ⅱ)問(wèn)，設(shè)直線(xiàn)AE 的方程為代入并由韋達(dá)定理可得進(jìn)而得到

注意到點(diǎn)F 坐標(biāo)的計(jì)算與點(diǎn)E 有類(lèi)同之處，所以可進(jìn)行類(lèi)比，只需將k 換成-k，即得，運(yùn)用斜率公式即可求得kEF=為定值。

因?yàn)轭?lèi)比，我們減少了關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，無(wú)疑為緊張的考試節(jié)省了寶貴的時(shí)間。

(四)化歸

化歸是“化歸與轉(zhuǎn)化思想”在數(shù)學(xué)高考解題中的具體應(yīng)用。在解析幾何中，若能有效運(yùn)用化歸的方法，可使繁難的運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)，化大為小，從而使問(wèn)題輕松獲解。

例8(2010 年高考北京卷理科19 題)

在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)B 與點(diǎn)A(-1，1)關(guān)于原點(diǎn)O 對(duì)稱(chēng)，P 是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP 與BP 的斜率之積等于

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡方程;

(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)AP 和分別BP 與直線(xiàn)x=3 交于點(diǎn)M，N，問(wèn):是否存在點(diǎn)P 使得△PAB 與△PMN 的面積相等?若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

難在第(Ⅱ)問(wèn)，假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P(x0，y0)，由△PAB 與△PMN 的面積相等可得|PA|·|PB| =|PM|·|PN|，由于M、N 的坐標(biāo)未知且不易求得，許多考生至此束手無(wú)策，望運(yùn)算興嘆而已。

怎么辦?稍作轉(zhuǎn)化，將|PA|·|PB| =|PM|·|PN|轉(zhuǎn)化為，再化歸為，容易解得，代入即可求得

若作以下化歸轉(zhuǎn)化，則幾乎不用計(jì)算:

延長(zhǎng)AB 交直線(xiàn)x=3于R，則△PAB 與△PMN的面積相等這一條件可轉(zhuǎn)化為△AMR 與△BRN的面積相等。由于A 到直線(xiàn)x=3 的距離為4，B 到直線(xiàn)x=3 的距離為2，從而知即M 為NR 中點(diǎn)。又B 為AR 的中點(diǎn)，所以P 為△ARN的重心，從而，代入橢圓方程即可求得

本題求解還可將△PAB 與△PMN 的面積相等這一條件化歸轉(zhuǎn)化為△ABM 與△NBM 的面積相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)AN 與BM 平行兩直線(xiàn)斜率相等，讀者不妨一試。

因?yàn)檗D(zhuǎn)化，我們將繁難的解析幾何運(yùn)算進(jìn)行得如此簡(jiǎn)單!否則，我們做什么?

以上是筆者就數(shù)學(xué)高考解析幾何試題的運(yùn)算簡(jiǎn)化策略所作的探析，這些方法具有較強(qiáng)的操作性，但怎樣想到運(yùn)用這些方法，則需要思想立意。學(xué)生怕數(shù)學(xué)，很重要的一個(gè)原因在于數(shù)學(xué)的繁難運(yùn)算，只要我們樹(shù)立運(yùn)用思想引領(lǐng)解題的意識(shí)，運(yùn)算就會(huì)變得很簡(jiǎn)單，解題就能做到舉重若輕、揮灑自如。

［1］林新建.從高考試題談新課程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的“六性”［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010(10).

［2］陳元章，林新建.新課程數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的辯證之道［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013(7).

［3］林新建.從2009 年高考試題談復(fù)習(xí)教學(xué)的八個(gè)關(guān)注［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010(1).