六自由度機(jī)械臂運動學(xué)及工作空間分析

孫野，殷鳳龍，王香麗，陳忠凱，馮曉

(西北核技術(shù)研究所，陜西西安 710024)

0 前言

隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，機(jī)器人技術(shù)已經(jīng)應(yīng)用并擴(kuò)展到機(jī)械設(shè)備的諸多領(lǐng)域，成為現(xiàn)代生產(chǎn)和高科技研究中的一個不可或缺的組成部分［1］。在具有危險性施工等科研試驗或工程保障工作中，機(jī)械臂可以代替人類在現(xiàn)場處理爆炸物、放射性物質(zhì)等，應(yīng)用前景十分廣闊［2］。例如在瓦斯爆炸后，如何排除井下的潛在隱患，確保救援人員安全是展開搜救工作的重要任務(wù);在放射性污染物收集機(jī)械上需要研制機(jī)械臂去準(zhǔn)確、可靠的控制放射性廢物送達(dá)到人員不便于抵達(dá)的位置;這些未來特殊科研任務(wù)中需要的機(jī)械手臂，包含著現(xiàn)代機(jī)械的所有特征，并將發(fā)揮著越來越重要的作用。

針對上述需求，作者設(shè)計了一種六自由度機(jī)械臂結(jié)構(gòu)，并賦予與實際相應(yīng)的各種屬性。根據(jù)D－H方法對其建立數(shù)學(xué)模型的，進(jìn)行正向運動學(xué)分析，通過計算，驗證了所建立的機(jī)械手臂的運動方程的正確性。通過采用蒙特卡洛法分析該機(jī)械臂的工作空間，并對機(jī)械臂工作域進(jìn)行求解，給出了機(jī)械臂末端的工作空間點云圖。結(jié)果表明，機(jī)械臂工作空間內(nèi)部工作點密集且分布均勻，能夠滿足作業(yè)要求。在ADAMS中建立好機(jī)械臂的虛擬樣機(jī)模型，并利用其強大的運動學(xué)和動力學(xué)分析功能，進(jìn)行運動仿真分析。利用運動學(xué)仿真結(jié)果來驗證所建立的機(jī)械手臂的運動方程的正確性，通過機(jī)械臂運動過程中基座的受力分析，得到了工作過程中的最大受力及其轉(zhuǎn)角的關(guān)系，為下一步軌跡優(yōu)化及力學(xué)研究做好了準(zhǔn)備。

1 機(jī)械臂模型

1.1 機(jī)械臂三維模型

該機(jī)械臂采用SolidWorks進(jìn)行建模，其模型如圖1所示。該機(jī)械手臂參照人體手臂的結(jié)構(gòu)，采用開鏈?zhǔn)降年P(guān)節(jié)型結(jié)構(gòu)，分為大臂、小臂、手腕和手爪等結(jié)構(gòu)，以及能夠旋轉(zhuǎn)的腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)和手爪關(guān)節(jié)。機(jī)械手臂擁有6個自由度，使手臂末端執(zhí)行器能實現(xiàn)空間中的任何位姿。

圖1 機(jī)械臂模型

1.2 機(jī)械臂虛擬樣機(jī)模型

將建好的機(jī)械臂三維模型導(dǎo)入ADAMS環(huán)境中［3－4］，并賦予與實際相應(yīng)的各種屬性;對導(dǎo)入模型進(jìn)行約束的定義，在各個關(guān)節(jié)添加運動副約束及驅(qū)動;將基座與地(Ground)用鎖定約束進(jìn)行連接，在手爪處施加相應(yīng)的載荷。圖2是在ADAMS中建立的機(jī)械臂虛擬樣機(jī)模型。

圖2 機(jī)械臂虛擬樣機(jī)模型

2 機(jī)械臂運動學(xué)分析

2.1 D-H法及運動學(xué)方程

為描述手爪在空間的位置和姿態(tài)，可以在每個關(guān)節(jié)上建立一個坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系之間的關(guān)系來描述末端執(zhí)行器的位置。一般采用D-H法(四參數(shù)法)［5－7］建立坐標(biāo)系并推導(dǎo)機(jī)械臂的運動方程。

D-H法是1995年由Denavit和Hartenberg提出的一種建立相對位姿的矩陣方法。由an、αn、dn、θn4個參數(shù)描述機(jī)械臂連桿本身和相鄰連桿之間的關(guān)系，從而推導(dǎo)出末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的等價齊次坐標(biāo)變換矩陣，建立機(jī)械臂的運動方程。

an和αn描述連桿本身參數(shù)，dn和θn描述相鄰連桿之間的連接關(guān)系。相應(yīng)兩個連桿坐標(biāo)系變換通式為:

要對機(jī)械臂進(jìn)行分析，首先要建立坐標(biāo)系。為了更能直觀地表示出機(jī)械臂的構(gòu)型，設(shè)定D-H表示法的各個關(guān)節(jié)變量分別是θ1=0，θ2=0，θ3=0，θ4=0，θ5=90°，θ6=0關(guān)節(jié)變量。機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系

由連桿坐標(biāo)系統(tǒng)確定了連桿的D-H參數(shù)如表1所示。

表1 D-H參數(shù)

根據(jù)連桿坐標(biāo)系變換通式(1)和表1參數(shù)可推導(dǎo)出從機(jī)械臂的坐標(biāo)變換矩陣:

式中:n－1Tn表示從n－1關(guān)節(jié)開始變換到n關(guān)節(jié)的變換矩陣。

將參考坐標(biāo)系設(shè)在機(jī)械臂的基座上，于是可以從基座開始變換到第一關(guān)節(jié)，然后到第二關(guān)節(jié)……，最后到末端的手爪。6R機(jī)器臂的基座和手之間的總變換為:

An為坐標(biāo)系n－1到坐標(biāo)系n之間的變換矩陣，P為位姿矩陣。其中

式(2)即為六自由度關(guān)節(jié)型機(jī)械臂正運動學(xué)模型的一般表達(dá)式。

將圖3所示坐標(biāo)系的關(guān)節(jié)變量，即θ1=0，θ2=0，θ3=0，θ4=0，θ5=90°，θ6=0代入P，可以求出位姿矢量為:

位置關(guān)系與圖2所示位置一致，說明該機(jī)械臂運動方程是正確的。

2.2 機(jī)械臂運動學(xué)仿真

為研究和考核機(jī)械臂的工作性能，在ADAMS中建立虛擬樣機(jī)模型，擬定活動軌跡，然后根據(jù)機(jī)械臂的參數(shù)和基本設(shè)計指標(biāo)，對機(jī)械臂虛擬樣機(jī)進(jìn)行運動仿真。仿真之前要先在機(jī)械臂虛擬樣機(jī)上添加驅(qū)動和測量。分別控制各關(guān)節(jié)的伸展?fàn)顟B(tài)和擺動角度，具體各個關(guān)節(jié)角度變化如圖4所示。

圖4 各個關(guān)節(jié)角度變化圖

在仿真過程中，將腕關(guān)節(jié)2、3的運動添加電機(jī)驅(qū)動并設(shè)定為0，使得關(guān)節(jié)在整個仿真過程中處于鎖緊狀態(tài)。在機(jī)械臂的運動過程中，對建立Marker點進(jìn)行軌跡描繪，即可完成Marker點運動軌跡的跟蹤和測繪，所得曲線即為機(jī)械臂虛擬模型末端執(zhí)行器的工作軌跡規(guī)劃曲線，如圖5所示。

圖5 機(jī)械臂工作軌跡曲線

手爪上的標(biāo)記點設(shè)置了x、y、z方向位移的跟蹤測量，圖6所示為機(jī)械臂中手爪上標(biāo)記點的x、y、z方向的位移曲線圖。

圖6 手爪x、y、z方向位移變化仿真圖

從手爪位移變化曲線圖中可以看到，機(jī)械手在整個軌跡運動過程中，各方向位移變化都比較平穩(wěn)，無劇烈震動現(xiàn)象。仿真終止時手爪返回到初始位置，從而使機(jī)器臂返回到初始狀態(tài)，這也符合設(shè)定要求。

為了驗證仿真的可靠性，將基關(guān)節(jié)所進(jìn)行的角度變化代入位姿矩陣(3)，通過Matlab計算，得到機(jī)械臂運動軌跡，如圖7所示。

圖7 手爪x、y、z方向位移變化計算結(jié)果圖

由圖6和圖7比較可以看出，機(jī)械臂末端位姿變化軌跡規(guī)律相同，幅值大小略有差別但基本相同。通過虛擬模型仿真和運動學(xué)計算結(jié)果對比，再一次驗證了所建立的位姿矩陣的正確性。

3 機(jī)械臂工作空間分析

3.1 六自由度機(jī)械臂工作域

機(jī)械臂的工作域即機(jī)械臂末端執(zhí)行器可達(dá)的空間位置。如果將6自由度機(jī)械臂工作域記作W(P)。則關(guān)節(jié)變量與工作域的映射可表示為:

其中，θ=[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6]T為關(guān)節(jié)變量;Q為關(guān)節(jié)空間變量，也稱約束空間。實際應(yīng)用中，機(jī)械臂關(guān)節(jié)活動范圍主要受結(jié)構(gòu)、自身連桿位置關(guān)系、外部安裝條件等的限制。因此，Q不能隨意取值，應(yīng)考慮實際應(yīng)用情況確定約束空間，即:

3.2 基于蒙特卡洛法的機(jī)械臂工作域求解

在計算機(jī)上用蒙特卡洛方法計算多關(guān)節(jié)機(jī)械臂的工作域，其原理是式(4)，實質(zhì)是對關(guān)節(jié)變量通過均勻分布賦以一定數(shù)量的符合關(guān)節(jié)變化要求的隨機(jī)量，并對各關(guān)節(jié)變量進(jìn)行組合，利用機(jī)械臂的正向運動學(xué)方程式(3)計算出機(jī)械臂末端執(zhí)行器端點的坐標(biāo)值，這些坐標(biāo)值構(gòu)成的集合為機(jī)械臂工作域［8－10］。

仿真利用Matlab軟件編程實現(xiàn)。編程算法以機(jī)械臂的一個關(guān)節(jié)變量θ1為例，首先在［0，1］區(qū)間生成n個隨機(jī)點Rand，然后根據(jù)θ1的活動范圍，則有，其中i表示n中第i個隨機(jī)值。同理，對機(jī)械臂的其他關(guān)節(jié)變量也賦予數(shù)目相同的隨機(jī)值。

仿真計算中，六自由度機(jī)械臂構(gòu)型各個參數(shù)如下:

圖8 六自由度機(jī)械臂末端可達(dá)空間

從圖8可以看出，該機(jī)械臂幾乎可以到達(dá)最大區(qū)域內(nèi)的所有空間。利用蒙特卡洛方法仿真獲得的是機(jī)械臂工作域中一系列隨機(jī)點的云圖，其與機(jī)械臂實際的工作域還存在一定的誤差。這是由于蒙特卡羅方法本身的限制，仿真得到的機(jī)械臂工作域只能是逼近實際工作域的近似工作域，逼近程度則取決于隨機(jī)選取的各關(guān)節(jié)變量的組合數(shù)量，組合越多算出的坐標(biāo)值數(shù)目也越多，也就越能精確地反映械臂的工作域。

4 機(jī)械臂動力學(xué)分析

4.1 轉(zhuǎn)角與位移關(guān)系

對機(jī)械臂基關(guān)節(jié)的回轉(zhuǎn)運動、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)和手腕擺動關(guān)節(jié)建立角度(Angle)測量，輸出角度變化曲線和Marker點笛卡爾坐標(biāo)值變化曲線。通過仿真可建立各個關(guān)節(jié)運動與Marker點位移變化的關(guān)系曲線。如圖9所示。

圖9 關(guān)節(jié)角度與Marker點位移變化的關(guān)系曲線

圖9反映了在仿真時間內(nèi)任一時刻機(jī)械臂末端的位姿與各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的關(guān)系，同時也反映出了機(jī)械臂末端相對于基座坐標(biāo)系移動的位移在3個坐標(biāo)軸上的投影關(guān)系。從圖中可以看出，機(jī)械臂末端的位姿與機(jī)械臂各個關(guān)節(jié)存在耦合關(guān)系，其中，基關(guān)節(jié)和肩關(guān)節(jié)角度變化相比較肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)而言，對機(jī)械臂末端位移的變化影響要顯著一些。

4.2 機(jī)械臂穩(wěn)定性及受力

機(jī)械臂基座需要固定在其他機(jī)構(gòu)上(比如移動平臺)，因此求解基座在工作過程中所受力與力矩顯得十分重要。當(dāng)機(jī)械臂末端加持重物返回時，末端會增加質(zhì)量，因此在末端Marker點處添加大小為10 N力，模擬負(fù)載質(zhì)量。

圖10為基座總體受力情況和基座受力在各個坐標(biāo)軸上的投影。

由圖10可以看出，基座最大受力超過280 N，遠(yuǎn)大于末端負(fù)載。基座所受力基本在y方向，其他方向受力基本可以忽略不計。

圖10 基座所受力變化曲線

圖11為基座所受力矩與關(guān)節(jié)角度變化曲線。從圖11可以看出，末端執(zhí)行器移動速度越快，基座承受的力矩越大。各個關(guān)節(jié)角速度和末端執(zhí)行器移動速度對力矩曲線的平穩(wěn)性影響明顯，且基本成正比。在末端執(zhí)行器位移方向改變處，基座所受力矩最大。

圖11 基座所受力矩與各個關(guān)節(jié)角度變化曲線

5 結(jié)束語

通過運動學(xué)分析，獲得了六自由度機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位姿矩陣，并且通過計算和仿真驗證了該位姿矩陣的正確性。

由蒙特卡洛法分析該機(jī)械臂的工作空間分析結(jié)果可以看出，該機(jī)械手工作空間內(nèi)部工作點分布均勻，可以滿足機(jī)械臂的使用需求。蒙特卡洛法具有計算工作量小、精度高、求解速度快的優(yōu)點，克服了幾何分析法受到自由度限制的缺陷，且能夠準(zhǔn)確顯示機(jī)械手工作空間的邊界，在當(dāng)前計算機(jī)計算速度越來越快的情況下，具有很好的應(yīng)用前景。

通過研究可以看出，空間多自由度機(jī)械臂的運動學(xué)和動力學(xué)問題的解析分析比較復(fù)雜和困難，而掌握虛擬樣機(jī)仿真環(huán)境進(jìn)行仿真分析，可以有效地指導(dǎo)機(jī)械臂的設(shè)計和控制系統(tǒng)編程。機(jī)械臂大臂處在運動鏈起始端，控制靈敏度相對較高;機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角速度越快，所需的驅(qū)動力矩就越大，力矩曲線的平穩(wěn)性也將變差;通過機(jī)械臂運動過程中基座的受力分析，得到了工作過程中的最大受力及其轉(zhuǎn)角的關(guān)系，為下一步軌跡優(yōu)化及力學(xué)研究做好了準(zhǔn)備。

［1］王殿君，劉淑晶，趙化啟．機(jī)械手可達(dá)空間的仿真技術(shù)研究［J］．機(jī)床與液壓，2006，34(2):205－210．

［2］曾孔庚．工業(yè)機(jī)器人技術(shù)發(fā)展趨勢［J］．機(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用，2006(6):10－13．

［3］王國權(quán)．虛擬試驗技術(shù)［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2004．

［4］王國強，張進(jìn)平．虛擬樣機(jī)技術(shù)及其在ADAMS上的實踐［M］．西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002．

［5］熊有倫，丁漢，劉恩滄．機(jī)器人學(xué)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1995．

［6］NIKU Saeed B．Introduction to Robotics:Analysis，Systems，Application［M］．USA:Pearson Education，2001．

［7］NIKU Saeed B．機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論［M］．孫富春，朱紀(jì)洪，劉國棟，等，譯．北京:電子工業(yè)出版社，2004．

［8］周友行．多關(guān)節(jié)鑿巖機(jī)器人工作空間的數(shù)值解法［J］．鑿巖機(jī)械氣動工具，2006，32(3):48－51．

［9］曹毅，土樹新，李群智．基于隨機(jī)概率的機(jī)器人工作空間及其解析表達(dá)［J］．組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2005，47(2):1－4．

［10］RASTCGAR J，F(xiàn)ARDANESH B．Manipulator Work Analysis Using the Monte Carlo Method［J］．Mechanism＆Machine Theory，1990，25(2):233－239．