求解標量磁位的一則典型例題

朱 峰 ，林 莉

(西南交通大學電氣工程學院，四川成都 610031)

0 引言

標量磁位是建立靜態(tài)磁場有限元及差分數(shù)學模型的基礎(chǔ)［1］。標量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法在數(shù)值分析中廣為運用，對標量磁位方法的深入研究和推廣能夠進一步擴展其應(yīng)用［2］。

現(xiàn)有本科強電類工程電磁場教材中，在無電流區(qū)域，類比于靜電場，盡管都給出了拉普拉斯方程和邊界形式，但都沒有相應(yīng)的一維例題和作業(yè)題，只有文獻［3］提供了一個關(guān)于二維標量磁位的例題，但因目前學生基礎(chǔ)以及課程量等原因，國內(nèi)幾乎絕大部分高校二維以上求解均沒有涉及［3-5］。這里就存在著一個問題，本科基礎(chǔ)教學“電磁場”課程與實際電磁場工程相脫節(jié)，造成了實際應(yīng)用與理論學習不連貫，對學生理解標量磁位及進一步應(yīng)用不利。因此，如何正確使用標量磁位拉普拉斯方程，結(jié)合場域邊界條件求解磁場問題是值得研究的。

本文給出一則采用標量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法求解空間場分布的典型例題，其物理思想是采用了極限概念，將多連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域。該研究不僅填補了現(xiàn)有教材空白，同時對學生提高運用數(shù)學分析問題的能力以及加深對標量磁位方法的理解均大有裨益。

1 典型例題分析

如圖1所示，截面為圓環(huán)形的中空長直導線，沿軸向流過的電流為I，環(huán)導線的內(nèi)外半徑分別為R1、R2，試利用微分方程+邊界的方法求導線以外的空間各處的磁場強度。

圖1 截面為圓環(huán)形的中空長直導線

需要著重說明的是，對于本例的磁場分析，盡管文獻［6］采用了矢量磁位的方法，給出了三個區(qū)域的磁感應(yīng)強度的分布，但由于標量磁位只在無電流源區(qū)域有定義，所以本文求解區(qū)域為ρ≤R1區(qū)域和ρ≥R2區(qū)域。

采用柱坐標，內(nèi)外區(qū)域的標量磁位應(yīng)當滿足的拉普拉斯方程為

圖2 標量磁位分布

積分路徑為單連通區(qū)域，邊界條件為

這里存在一個問題，為什么φm2(2π)=-I?按照φ=0與φ=2π在同一位置，磁位應(yīng)該相同，即φm2(2π)=φm2(0)=0。

其實從物理的本質(zhì)看，當初定義φm的時候就已經(jīng)決定了積分路徑只能為無電流分布的區(qū)域，積分路徑必須留一個縫，φm才有定義。因而在ρ≥R2區(qū)域，如果從2π～0進行積分，則越過了物理意義上存在的“火線”，屬于積分路徑選擇錯誤。為解決這一問題，本文采用極限思想將復連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域進行求解。積分路徑為(2π－ε)～0的單連通區(qū)域(ε無窮小)，繞行方向與 方向恰好相反，因而電流取為-I。如圖3所示。

圖3 ρ≥R2區(qū)域積分路徑

對單連通區(qū)域任一點P，標量磁位為

在ε→0的條件下，對上式取極限，得

由上式可以看出，φ=0與φ=2π對應(yīng)的φm2并不相等，原因是由于物理意義上存在“火線”，積分路徑只能選為(2π－ε)～0的單連通區(qū)域，ε趨近于0而不能等于零。

帶入通解，解得

求解結(jié)果與標量磁位+邊界條件法結(jié)果一致。

但本文重在探究運用標量磁位法求解恒定磁場問題，可以預(yù)期，深入研究和推廣將使標量磁位法在電磁場學術(shù)界和工程界有更廣泛的應(yīng)用。

2 結(jié)語

本文通過一則典型例題的求解，分析了標量磁位的拉普拉斯方程+邊界條件方法在求解恒定磁場問題中的應(yīng)用。同時，對該方法中的邊界條件，采用極限思想將復連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域進行求解。在采用標量磁位法求解恒定磁場問題時，需注意不能越過物理意義上存在的“火線”，而應(yīng)轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域，從而得出其邊界條件，進行求解。最后，采用安培環(huán)路定理方法驗證了該方法的正確性。該研究不僅填補了現(xiàn)有本科教材關(guān)于標量磁位例題的空白，同時對學生提高運用數(shù)學分析問題的能力以及加深對標量磁位方法的理解均大有裨益。

［1］倪光正.工程電磁場數(shù)值計算［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2010.

［2］錢金根，倪光正，程衛(wèi)英.單標量磁位法在靜態(tài)磁場數(shù)值計算中的應(yīng)用［J］.北京:中國電機工程學報，1995.15(4):228-233.

［3］馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論［M］.北京:高等教育出版社，1980:106-117.

［4］倪光正.工程電磁場原理［M］.北京:高等教育出版社，2009:162-163.

［5］雷銀照.電磁場［M］.北京:高等教育出版社，2008:146-147.

［6］朱峰，薛誠.平行平面場中磁矢位邊界方程的推證［J］.南京:電氣電子教學學報，2014，6(3):22-25.