外置阻尼器對(duì)基于頻率法索力測(cè)試的影響

唐鈺昇，胡建新，劉大洋

(1.重慶市交通工程質(zhì)量檢測(cè)有限公司，重慶 400067;2.招商局重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400067)

0 前言

斜拉索作為斜拉橋的主要受力構(gòu)件，在恒載與活載的作用下，拉索把橋面系的重量與荷載傳遞給主要承重結(jié)構(gòu)，拉索索力的變化將會(huì)影響橋面板以及主要承重結(jié)構(gòu)的受力分配，所以拉索索力是斜拉橋結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要參數(shù)，是斜拉橋工作狀態(tài)評(píng)估的重要依據(jù)，拉索的應(yīng)力狀態(tài)直接關(guān)系到整個(gè)橋梁的結(jié)構(gòu)性能和使用安全。

有較多學(xué)者研究了拉索的具有彎曲剛度、垂度、面內(nèi)振動(dòng)與面外振動(dòng)的耦合、傾斜、復(fù)雜邊界條件等對(duì)拉索索力測(cè)試的影響，如陳常松利用動(dòng)平衡法推導(dǎo)了考慮彎曲剛度的柔索自振方程和自振頻率公式，采用瑞利能量法分析彈性支撐條件和附加質(zhì)量對(duì)拉索自振頻率的影響［1］;林智宏等分析了頻率法測(cè)量索力中索力－頻率關(guān)系擬合、實(shí)測(cè)頻率的測(cè)量、索參數(shù)靈敏度分析以及識(shí)別等幾項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)［2］;王朝華等考慮拉索剛度、垂度、邊界條件等因素對(duì)采用頻率法測(cè)定索力方面進(jìn)行了系統(tǒng)分析，均取得良好效果［3］;鄭罡等認(rèn)為多參數(shù)識(shí)別優(yōu)于單參數(shù)(基頻)識(shí)別，提高了斜拉索索力測(cè)試的準(zhǔn)確度和可靠度［4］。王修勇等研究了拉索－阻尼器系統(tǒng)設(shè)計(jì)對(duì)拉索模態(tài)頻率的影響，認(rèn)為振動(dòng)法測(cè)量拉索索力時(shí)，采取高階模態(tài)頻率及計(jì)算長(zhǎng)度進(jìn)行評(píng)估，可以消除拉索阻尼器對(duì)拉索頻率的影響［5］。J.A.Main 等人根據(jù)美國(guó)大量斜拉橋索力的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了各種測(cè)量拉索振動(dòng)的方法，對(duì)比了線性與非線性阻尼器抑制拉索振動(dòng)的效果［6］。日本東京大學(xué)Yozo Fujino 教授等引入一般索的模態(tài)阻尼比的近似漸近線公式，該公式精確地考慮了拉索的垂度和彎曲剛度，以及阻尼器的有限剛度，公式清晰、簡(jiǎn)潔，有助于阻尼器的設(shè)計(jì)應(yīng)用［7］。

本文主要是考慮外置阻尼器的阻尼系數(shù)對(duì)拉索振動(dòng)特性以及對(duì)基于頻率法索力測(cè)試的影響。

大跨度斜拉橋的拉索剛度和阻尼都很小，固有頻率和模態(tài)阻尼比往往很低，在風(fēng)、雨等外部環(huán)境因素激勵(lì)下極易發(fā)生風(fēng)振、風(fēng)雨激振等現(xiàn)象，完全抑制拉索的振動(dòng)十分困難，為了控制拉索大幅振動(dòng)，除了在拉索錨固端設(shè)置阻尼裝置，許多斜拉橋采取在橋面和拉索間安裝阻尼器，以增加拉索結(jié)構(gòu)的阻尼。但是外置阻尼器對(duì)拉索的自振頻率產(chǎn)生了一定的影響，從而影響采用振動(dòng)法測(cè)量索力的精度。研究阻尼器的阻尼系數(shù)大小、安裝的相對(duì)位置對(duì)不同長(zhǎng)度拉索的自振特性影響，包括低階與高階振動(dòng)自振頻率和振型很有必要。本文以某斜拉橋?yàn)閷?shí)例，分析了外置阻尼器對(duì)拉索自振頻率的影響程度，為振動(dòng)法測(cè)量分析斜拉橋索力和拉索的阻尼器設(shè)計(jì)提供參考。

1 理論分析方法

1.1 能量法

目前，有部分學(xué)者運(yùn)用能量法來(lái)研究外置阻尼器對(duì)拉索振動(dòng)特性的影響。當(dāng)拉索發(fā)生振動(dòng)時(shí)，利用能量守恒定律，拉索的動(dòng)能與勢(shì)能在不斷的發(fā)生著轉(zhuǎn)化，拉索的動(dòng)能(W)與勢(shì)能(V)的和不變，即W+V=Wmax=Vmax=常數(shù)。能量分析方法是將阻尼器簡(jiǎn)化為一個(gè)具有等效剛度的彈簧，而未考慮阻尼器的阻尼系數(shù)，但是工程中應(yīng)用較廣的剪切型粘滯阻尼器的實(shí)際剛度很小，拉索振動(dòng)時(shí)主要由阻尼系數(shù)發(fā)揮作用。如果采用能量法考慮阻尼器的阻尼系數(shù)時(shí)，能量分析方法會(huì)遇到2 個(gè)問(wèn)題，簡(jiǎn)要分析如下。

當(dāng)拉索安裝外置阻尼器后，拉索的振型函數(shù)發(fā)生了變化，分為受影響的1/n L 段內(nèi)，與不受影響的剩余段(n－1)/n L，在能量計(jì)算時(shí)將進(jìn)行分段積分，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1。

圖1 拉索—阻尼器系統(tǒng)振動(dòng)示意圖

圖中ε 為外置阻尼器到拉索端部的距離比，圖中y(x，t)為不受阻尼器影響段的振動(dòng)位移函數(shù):

y1(x，t)為受阻尼器影響段的振動(dòng)位移函數(shù):

上式中ω 為拉索振動(dòng)角頻率;φ 為相位角;a、b為待定常數(shù)。

圖1 所示振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能為:

代入振動(dòng)位移函數(shù)積分并整理得:

振動(dòng)系統(tǒng)的勢(shì)能為:

代入振動(dòng)位移函數(shù)積分并整理得:

1.2 能量法問(wèn)題

能量法推導(dǎo)至上面步驟時(shí)，發(fā)現(xiàn)有2 個(gè)問(wèn)題。

第一，數(shù)學(xué)上的問(wèn)題，當(dāng)W=Wmax時(shí)，cos2(ωt+，此時(shí)，但是勢(shì)能V 里面除了有關(guān)項(xiàng)外，還多了下面一項(xiàng):

也就是說(shuō)，當(dāng)W=Wmax時(shí)，V 并不等于0。當(dāng)系統(tǒng)動(dòng)能最大的時(shí)候，勢(shì)能并不等于0;或者當(dāng)系統(tǒng)勢(shì)能最大的時(shí)候，動(dòng)能并不等于0。這樣就與能量法前面的假設(shè)W+V=Wmax=Vmax=常數(shù)相互矛盾。

第二，這個(gè)問(wèn)題也是運(yùn)用能量法的關(guān)鍵問(wèn)題，當(dāng)考慮拉索阻尼器阻尼系數(shù)對(duì)拉索的振動(dòng)影響后，此時(shí)就不能用能量法，因?yàn)榇藭r(shí)的拉索－阻尼器系統(tǒng)是一個(gè)非保守系統(tǒng)，里面存著阻尼力這個(gè)非保守力做功，阻尼力做功的這部分能量由阻尼器滑板之間的黏性材料的剪切變形所消耗，這時(shí)系統(tǒng)的能量不守恒。

所以用能量法可以求解只有等效剛度的阻尼器的拉索振動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于考慮入阻尼器阻尼系數(shù)后，不能再用能量法求解，此時(shí)的系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)非保守系統(tǒng)。此外，數(shù)學(xué)上的分析也遇到問(wèn)題。下面將引入復(fù)模態(tài)方法來(lái)分析拉索外置阻尼器對(duì)拉索振動(dòng)特性的一些影響。

2 復(fù)模態(tài)方法

首先分析復(fù)模態(tài)分析方法的基本原理，本文的推導(dǎo)是基于J.A，Main［9］與S.Krenk［10］學(xué)者的復(fù)模態(tài)分析方法進(jìn)行的。由于剪切型粘滯阻尼器的實(shí)際剛度較小，拉索振動(dòng)時(shí)主要由阻尼系數(shù)發(fā)揮作用。此處只考慮阻尼器的阻尼系數(shù)對(duì)拉索振動(dòng)的影響，不考慮拉索的內(nèi)阻尼、彎曲剛度、垂度對(duì)拉索振動(dòng)的影響，這樣簡(jiǎn)化的結(jié)果與張緊弦模型相同，并假設(shè)拉索發(fā)生面內(nèi)豎向微幅振動(dòng)時(shí)索力不變，分析簡(jiǎn)圖如圖2。

圖2 拉索—阻尼器系統(tǒng)振動(dòng)分析示意圖

圖中L=l1+l2，l1＜l2，x2=L－x1，拉索上每個(gè)微小單元的偏微分方程如下:

上式中yk(xk，t)為拉索面內(nèi)豎向振動(dòng)位移;xk表示弦沿軸向坐標(biāo)的第k 段;T 為拉索索力;m 為單位索長(zhǎng)質(zhì)量。式(7)可以考慮阻尼器安裝在拉索的任何位置，并且在阻尼器位置滿足力的平衡和位移連續(xù)兩個(gè)條件。這里引入一個(gè)無(wú)量綱時(shí)間τ=ω01t，它表示為在t 時(shí)間內(nèi)發(fā)生一階振動(dòng)的次數(shù)，其中ω01為為安裝阻尼器的一階振動(dòng)頻率，假設(shè)式(7)對(duì)兩部分拉索的解為:

λ 為無(wú)量綱的復(fù)特征值。將式(7)代入式(8)，得到常微分方程:

由于λ 為復(fù)數(shù)，上式是一個(gè)復(fù)微分方程，其解為模態(tài)振型，也為復(fù)數(shù)，阻尼器位置的振動(dòng)描述可用下式:

γ 為阻尼器位置振幅，阻尼器所在位置力的平衡方程為:

c 為阻尼器阻尼系數(shù)，將式(7)式(10)與代入式(11)，得到頻率方程:

上式頻率方程的根為系統(tǒng)的特征值，分別對(duì)應(yīng)各自的振動(dòng)模態(tài)，每個(gè)特征值可以寫為:

上式ζi為系統(tǒng)的模態(tài)阻尼比;ωi為拉索振動(dòng)特征值的模。為描述第i 階特征值的實(shí)部和虛部，引入新的符號(hào)變量:

式中φi為無(wú)量綱的阻尼振動(dòng)頻率，阻尼比ζi可由σi與φi表示:

對(duì)式(12)進(jìn)一步分解得到:

由簡(jiǎn)化的式(11)實(shí)數(shù)部分:

在數(shù)學(xué)上，用解析法對(duì)上面復(fù)頻率方程求解基本是不可能的。下節(jié)將采用有限元方法不同拉索的粘性阻尼系數(shù)按式(17)進(jìn)行復(fù)特征值分析，可以獲得外置阻尼器參數(shù)與拉索頻率的關(guān)系。

3 工程應(yīng)用

以某斜拉橋主橋選取10 根斜拉索為研究背景，研究阻尼器阻尼系數(shù)對(duì)拉索振動(dòng)頻率的影響。10根斜拉索分別代表不同長(zhǎng)度、索力、外置阻尼器參數(shù)的拉索。其中最短拉索為SAY01 拉索，索長(zhǎng)55.038 m;最長(zhǎng)拉索為NCY25 拉索，索長(zhǎng)407.353 m。10 根拉索的基本參數(shù)如表1。

表1 拉索基本參數(shù)

表1 中L 為拉索計(jì)算長(zhǎng)度;T 為索力;c 為阻尼器阻尼系數(shù);l1為阻尼器安裝位置與橋面拉索錨固端距離;m 為拉索單位質(zhì)量。

由于拉索較長(zhǎng)，索的剛度和阻尼都很小，固有頻率和模態(tài)阻尼比很低，加之橋址處風(fēng)力大，風(fēng)況復(fù)雜，臺(tái)風(fēng)季節(jié)最大風(fēng)力達(dá)12 級(jí)。在風(fēng)、雨等外部環(huán)境因素激勵(lì)下極易發(fā)生風(fēng)振、風(fēng)雨激振等現(xiàn)象。為了控制拉索大幅振動(dòng)，除了在拉索錨固端設(shè)置減振裝置外，在橋面和拉索間均安裝外置阻尼器，以增加拉索結(jié)構(gòu)的阻尼。

采用有限元法對(duì)式(17)進(jìn)行復(fù)特征值分析，考慮阻尼器阻尼系數(shù)對(duì)表1 中10 根拉索自振頻率的影響。上述10 根拉索進(jìn)行分析，對(duì)于前4 根較短拉索，由于頻差值較大，第30 階的振動(dòng)頻率45 Hz，此處只分析短索的前30 階與長(zhǎng)索的前45 階振動(dòng)頻率。以各個(gè)拉索的階次為自變量，以考慮阻尼系數(shù)后的拉索自振頻率與未考慮阻尼系數(shù)的自振頻率比為應(yīng)變量，繪圖結(jié)果如圖3。

由圖3 可知:對(duì)于長(zhǎng)度不等的10 根斜拉索，阻尼系數(shù)對(duì)拉索自振頻率的影響有明顯的規(guī)律。首先，安裝外置阻尼器后，考慮阻尼器的阻尼系數(shù)時(shí)，拉索的各階振動(dòng)頻率均提高了，這是由于阻尼器增加了拉索的約束所致。其次，外置阻尼器對(duì)拉索振動(dòng)頻率的影響曲線可分為3 個(gè)階段，上升段、平穩(wěn)段、微下降段。

從量值分析，阻尼器對(duì)拉索振動(dòng)頻率的影響均小于5%，最大的影響在最短的SAY01 拉索，頻率增幅達(dá)到4.71%;最小的影響在最長(zhǎng)的SCY25 拉索，頻率增幅為2.58%。隨著索長(zhǎng)的增大，阻尼器對(duì)拉索自振頻率的影響有減小的趨勢(shì)。當(dāng)然這種影響不僅與索長(zhǎng)有關(guān)，還與阻尼器阻尼系數(shù)，以及阻尼器安裝在拉索的相對(duì)位置有關(guān)。

從曲線的3 段性分析，曲線的微下降段的開(kāi)始點(diǎn)基本位移30 階或30 階以上的自振頻率，此處不對(duì)微下降段做詳細(xì)分析，主要討論曲線的上升段與平穩(wěn)段，因?yàn)檫@兩段在實(shí)際工程索力測(cè)試時(shí)可用。由前4 根較短斜拉索的頻率影響曲線可見(jiàn)，拉索達(dá)到平穩(wěn)段基本位于20 階位置，而后面的較長(zhǎng)拉索達(dá)到平穩(wěn)段基本位于10 階位置，也就是說(shuō)，阻尼器對(duì)拉索自振頻率的影響，長(zhǎng)索先于短索達(dá)到曲線平穩(wěn)段。

通過(guò)對(duì)影響曲線的分析，對(duì)比了外置阻尼器對(duì)長(zhǎng)短拉索的高低階頻率的影響，利用影響曲線3 段性的特征和數(shù)值對(duì)比分析得出的相關(guān)規(guī)律，可以對(duì)實(shí)際工程斜拉索索力測(cè)試提供相關(guān)修正參考，以降低索力測(cè)試的誤差。

圖3 不同拉索阻尼系數(shù)—頻率影響曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先從能量法入手分析外置阻尼器阻尼系數(shù)對(duì)拉索振動(dòng)面內(nèi)振動(dòng)的影響，但是遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題和非保守系統(tǒng)問(wèn)題。本文再運(yùn)用復(fù)特征值的有限元解法，繪制了阻尼器對(duì)長(zhǎng)短拉索的高低階頻率的影響曲線，結(jié)果表明:

1)針對(duì)本文研究的10 根斜拉索，阻尼器對(duì)短索的頻率影響最大為4.71%，隨著索長(zhǎng)的增加，影響越來(lái)越小，針對(duì)長(zhǎng)度為407.353 m 的拉索，頻率影響最大為2.31%。

2)為減小外置阻尼器對(duì)拉索索力測(cè)試的影響，可以從兩個(gè)方面入手。一是采用識(shí)別基頻或者是二階頻率來(lái)?yè)Q算索力，因?yàn)橛捎绊懬€可知，阻尼器對(duì)基頻、二階頻率的影響較小。二是利用曲線的平穩(wěn)段，在索力測(cè)試時(shí)，識(shí)別平穩(wěn)段的拉索振動(dòng)頻率，再根據(jù)有限元計(jì)算拉索阻尼器影響曲線平穩(wěn)段的頻率增幅，來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的頻率修正。

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