殘缺判斷矩陣排序的不補全策略

戴建華,于春龍

（南京理工大學 經(jīng)濟管理學院，南京 210094）

0 引言

在群決策過程中，由于問題的復雜性、決策時間的緊迫性和所具備專業(yè)技能的局限性，一些專家可能很難給出某方案的某個屬性判斷值——評價信息出現(xiàn)殘缺。對于殘缺判斷矩陣排序問題的研究，目前國內(nèi)外提出的解決方案較多的是基于填補的思想。例如，較早的殘缺判斷矩陣研究者Laarhoven與Pedrycz[1]，他們給出了殘缺三角模糊判斷矩陣的最小二乘排序方法。國內(nèi)以徐澤水、樊治平、姜艷萍[2～4]等為代表，基本也是通過各種方法估算矩陣中的殘缺元素，對殘缺矩陣進行補全，進而在完整的判斷矩陣上對方案進行排序。而不填補殘缺信息，利用現(xiàn)有的評價信息直接對多屬性方案進行排序的研究還比較少，本文嘗試在信息補全的思路之外，結(jié)合前景理論，在不補全信息而直接排序方面進行一些探索。

1 相關(guān)概念

1.1 前景理論的涵義

Kahneman和Tversky于1997年提出前景理論[5]，后來發(fā)展成為累積前景理論。前景理論的前景價值是由價值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)共同確定的，即：

1.2 殘缺矩陣的描述

其中：α和β分別表示受益和損失區(qū)域價值冪函數(shù)的凹凸程度[6]，α，β＜1表示敏感性遞減；θ表示損失區(qū)域比受益區(qū)域更陡的特征，θ＞1表示損失厭惡。

（2）決策函數(shù)。

Tversky等給出的決策權(quán)重的公式為[7]：W(Ai)=π(p(Ai))。其中：w為權(quán)重函數(shù)，p為判斷概率，Ai為考慮的事件，π為風險下的概率權(quán)重函數(shù)。判斷概率p(Ai)由決策專家給出，但在某些風險不確定的決策中，判斷概率會出現(xiàn)違法概率二元互補關(guān)系的情況。因此，在風險決策權(quán)重的分析中，有必要考慮由于決策者對不確定源的偏好及對未知概率事件的判斷所帶來的影響[8]?？捎腥缦潞瘮?shù)獲得權(quán)重函數(shù)[9]：

2 基于前景理論的殘缺矩陣排序方法

2.1 原始判斷矩陣的規(guī)范化處理

對于多準則決策問題，常見的準則類型是效益型和成本型。為消除不同物理量綱對決策的影響[10]，決策時需要對殘缺決策矩陣Ak中的元素進行規(guī)范化處理。本文采用[-1,1]線性變換方法對Ak進行規(guī)范化處理，令：

其中有殘缺元素的矩陣，上述公式需要做一定的修正。假設(shè)對應上述的殘缺判斷矩陣Ak，如上式（4），在準則uj下，有l(wèi)個殘缺評價值，則在計算時需將殘缺元素當成0，即上述式（5）需修正為：

2.2 正負理想方案的確定

根據(jù)前景理論，決策者在進行決策時，往往會根據(jù)某些參考點來衡量決策的收益和損失。本文運用TOPSIS方法的思想，令：

則正負理想方案為：

2.3 前景價值矩陣的建立

由灰色關(guān)聯(lián)分析方法可知，在專家ek的評價下，方案xi與正負理想方案x+和x-關(guān)于準則uj的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

2.4 最優(yōu)綜合前景值模型的修正

根據(jù)前景理論相關(guān)知識可知，在單個專家ek的評價下，如果評價矩陣中沒有出現(xiàn)殘缺元素時，方案xi的綜合前景值為正前景值與負前景值之和，即：

2.5 群體意見下最優(yōu)綜合前景值的計算及方案排序

3 算例分析

假設(shè)有4個方案x1，x2，x3，x4，每個方案有4個準則（均為效益型準則），準則的權(quán)重為W：

4 結(jié)論

針對多屬性群決策殘缺矩陣的排序問題，本文提出一種基于前景理論的解決方法，在已有評價信息的基礎(chǔ)上，對方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型進行相應修正，最終以最優(yōu)綜合前景值對方案進行排序。在一定程度上減少了信息填補方法帶來的主觀性，是對群決策排序理論中殘缺信息處理方法的補充。當然，盡管本文對評價矩陣由于殘缺元素的缺失帶來的誤差進行了控制，但是該方法的決策精度會不會因為缺失元素數(shù)目的增多而受影響？殘缺元素的個數(shù)應該控制在怎樣的范圍？本文將對此做相應的后續(xù)研究。

[1]Van Laarhoven P J M,Pedrycz W.A Fuzzy Extension of Saaty's Priority Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1983,11(1).

[2]徐澤水.殘缺互補判斷矩陣[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2004,24(6).

[3]Xu Z S.Goal Programming Models for Obtaining the Priority Vector of Incomplete Fuzzy Preference Relation[J].International Journal of A-pproximate Reasoning,2004,36.

[4]姜艷萍,樊治平.基于模糊判斷矩陣的一種方案排序方法[J].東北大學學報,2000,21(4).

[5]Kahneman D,Tversky A.Prospect theory：An Analysis of Decision Under Risk[J].Economica,1979,47(2).

[6]余德建,吳應宇等.基于前景理論的信息不完全的區(qū)間型多屬性決策方法[J].軟科學,2011,(3).

[7]Tversky A,Fox C R.Weighting Risk and Uncertainty[J].Psychological Review,1995,102(2).

[8]萬樹平.區(qū)間型多屬性決策的心態(tài)指標法[J].控制與決策,2009，(1).

[9]Wu G,Gonzalez R.Curvature of the Probability Weighting Function[J].Management Science,1996,42(12).

[10]徐澤水,達慶利.區(qū)間排序的可能度法及其應用[J].系統(tǒng)工程學報,2003,18(1).

[11]Tversky A,Kahneman D.Advances in Prospect theory：Cumulative Representation of uncertai-nty[J].J of Risk and Uncertainty,1992,5(4).

[12]李武,岳超源等.最小化序數(shù)偏好距離的多屬性群決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(2).