Granger因果關(guān)系ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)有限樣本性質(zhì)的比較

靳庭良

（河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，鄭州 450002）

0 引言

Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)是由 Granger（1969）提出，由Sims（1972）推廣的反映一（組）變量是否有助于預(yù)測(cè)另一（組）變量的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法。其基本檢驗(yàn)程序是基于VAR模型的F檢驗(yàn)，該檢驗(yàn)適合于（趨勢(shì)）平穩(wěn)變量之間的檢驗(yàn)問(wèn)題?？紤]到經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中許多變量呈現(xiàn)出非平穩(wěn)的特征，非平穩(wěn)或單整變量之間Granger因果關(guān)系的檢驗(yàn)問(wèn)題越來(lái)越多地引起了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們的關(guān)注。一些學(xué)者（如，Ohanian，1988；Sims等，1990；Toda和Phillips，1993a；He和Maekawa，2001）研究了序列的非平穩(wěn)性對(duì)Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的影響。結(jié)果表明：當(dāng)待檢驗(yàn)的變量部分或全部為隨機(jī)游走過(guò)程時(shí)，上述F檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可能不再具有標(biāo)準(zhǔn)的極限分布。此時(shí)應(yīng)用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)變量之間的Granger因果關(guān)系很可能會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論。進(jìn)而提出了一些關(guān)于非平穩(wěn)變量之間的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)程序。例如，針對(duì)存在協(xié)整關(guān)系的I(1)變量，Engle和Granger（1987）給出了利用ECM模型進(jìn)行檢驗(yàn)的兩步程序（簡(jiǎn)稱為EGTS檢驗(yàn)）、Sims等（1990）提出的在一定條件下直接利用水平VAR模型實(shí)施通常的Granger因果關(guān)系的檢驗(yàn)程序（簡(jiǎn)稱為SSW檢驗(yàn)）、Toda和Phillips（1993b，1994）提出的基于Johansen-類型的誤差修正模型及最大似然估計(jì)的Granger因果關(guān)系的序貫檢驗(yàn)程序（sequential test procedures）等等；針對(duì)一般單整變量，Toda和Yamamoto（1995）提出的不考慮變量之間的協(xié)整性直接基于擴(kuò)展的水平VAR模型進(jìn)行檢驗(yàn)的一般檢驗(yàn)程序（簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)A-VAR檢驗(yàn)）、靳庭良（2013）通過(guò)擴(kuò)展EGTS檢驗(yàn)提出的基于ECM模型或差分模型(DM)適用于一般單整變量（含I(0)）的檢驗(yàn)程序（以下簡(jiǎn)稱為ECM-DM檢驗(yàn)）等。

綜觀上述各種檢驗(yàn)方法，它們依據(jù)的都是基于統(tǒng)計(jì)量的極限分布建立起來(lái)的，換言之，它們?cè)诶碚撋鲜沁m合于大樣本下的檢驗(yàn)。然而，從實(shí)踐的觀點(diǎn)，對(duì)基于漸近理論建立起來(lái)的Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)程序都必須研究它們的有限樣本性質(zhì)，以評(píng)價(jià)其穩(wěn)健性及檢驗(yàn)的功效。因此，本文主要針對(duì)單整變量，利用Monte Carlo模擬試驗(yàn)研究ECM-DM檢驗(yàn)的有限樣本性質(zhì)，并與LA-VAR檢驗(yàn)的有限樣本性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 基本理論

變量之間Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的基本方法是基于如下VAR模型（1）的F檢驗(yàn)：

其中誤差項(xiàng)向量ut=(u1t，u2t)′為白噪聲過(guò)程，即ukt（k=1,2）滿足：E(ukt)=0，Var(ukt)=σk2，Cov(ukt,uhs)=0（k,h=1,2,t≠s）。具體而言，就是在利用OLS法估計(jì)模型（1）的基礎(chǔ)上，使用通常的檢驗(yàn)參數(shù)線性約束的F統(tǒng)計(jì)量，分別檢驗(yàn)如下兩個(gè)原假設(shè)：

原假設(shè)HY→X：β1j=0（j=1，2，…，p）（Y不是X的Granger原因）；

和

原假設(shè)HX→Y：α2j=0（j=1，2，…，p）（X不是Y的Granger原因）。

此時(shí)，針對(duì)原假設(shè)HY→X的統(tǒng)計(jì)量為

和無(wú)約束模型，即模型（1）的第一個(gè)方程，利用OLS法估計(jì)得到的殘差平方和。在HY→X成立的條件下，F(xiàn)Y→X漸近服從F(p，n-2p-1)分布。于是，對(duì)于給定的顯著性水平α，可以查F分布表得臨界值 Fα(p，n-2p-1)，將其與統(tǒng)計(jì)量FY→X的樣本值進(jìn)行比較，便可以判斷原假設(shè)HY→X是否顯著成立。

對(duì)于原假設(shè)HX→Y，可以類似地進(jìn)行檢驗(yàn)。值得注意的是，利用模型（1）進(jìn)行因果關(guān)系檢驗(yàn)，要求變量都是平穩(wěn)的或趨勢(shì)平穩(wěn)的，當(dāng)變量中含有單整變量時(shí)，F(xiàn)檢驗(yàn)通常是失效的。

1.1 ECM-DM檢驗(yàn)程序

通過(guò)分析已有利用ECM模型或DM模型對(duì)單整變量之間進(jìn)行Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的方法的局限性，靳庭良（2013）提出了適用于一般單整變量（含I(0)變量）之間Granger因果關(guān)系的ECM-DM檢驗(yàn)程序。具體分為如下三種情形：

（1）對(duì)于存在一般協(xié)整關(guān)系的單整變量，可以按照擴(kuò)展的Engle和Granger（1987）兩步檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。具體又分為如下三種情形：

情形1 d階單整變量之間存在（d,d）階協(xié)整關(guān)系。例如，對(duì)于2階單整變量Xt與Yt，若它們之間存在(2,2)階協(xié)整關(guān)系：Yt=λXt+vt，或Xt=(1/λ)Yt-(1/λ)vt，vt～I(xiàn)(0)，則可以利用誤差修正模型

情形2 d階單整變量之間存在（d,b）(d＞b)階協(xié)整關(guān)系，并且非均衡誤差項(xiàng)與某一變量的差分之間具有協(xié)整關(guān)系。例如，對(duì)于2階單整變量Xt與Yt，若Xt與Yt之間存在(2,1)階協(xié)整關(guān)系：Yt=λXt+vt，或 Xt=(1/λ)Yt-(1/λ)vt，vt～I(xiàn)(1)，并且 Yt-1-λXt-1與 ΔXt-1（或 ΔYt-1）具有協(xié)整關(guān)系：Yt-1-λXt-1=δΔXt-1+wt，則可以利用模型

（3）對(duì)于不同階的單整變量（含I(0)變量），可以通過(guò)差分變換降低較高階單整變量的階數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂型A單整變量的情形進(jìn)行檢驗(yàn)。例如，若Xt和Yt分別為I(2)、I(0)變量，則X與Y之間Granger因果關(guān)系可以利用模型

關(guān)于ECM-DM檢驗(yàn)程序的有限樣本性質(zhì)，目前尚無(wú)文獻(xiàn)對(duì)此進(jìn)行系統(tǒng)地研究。為行文方便，我們將后兩種情形依次記為情形4、情形5。

1.2 LA-VAR檢驗(yàn)程序

考慮到已有Granger因果關(guān)系的檢驗(yàn)方法依賴于變量的單整性和變量之間協(xié)整關(guān)系的存在性，而這些預(yù)檢驗(yàn)可能存在嚴(yán)重的偏差，Toda和Yamamoto（1995）提出了基于擴(kuò)展的VAR模型的F檢驗(yàn)，即LA-VAR檢驗(yàn)法。該方法只需要知道待檢驗(yàn)變量的最高單整階數(shù)dmax，通過(guò)估計(jì)p+dmax階VAR模型（稱之為擴(kuò)展的VAR模型，p為VAR模型的真實(shí)階數(shù)），并對(duì)前p個(gè)滯后系數(shù)進(jìn)行通常的F檢驗(yàn)，即可完成它們之間Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的方法。例如，設(shè)關(guān)于單整變量X、Y的正確的VAR模型為模型（1），其中X、Y的單整階數(shù)最高者為dmax，那么檢驗(yàn)此兩變量之間Granger因果關(guān)系的LA-VAR檢驗(yàn)法的基本過(guò)程就是，首先建立回歸模型

然后利用OLS法估計(jì)該模型，使用通常的檢驗(yàn)參數(shù)線性約束的F統(tǒng)計(jì)量，分別檢驗(yàn)如下兩個(gè)原假設(shè)：

LA-VAR檢驗(yàn)法不需要事先知道變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系，應(yīng)用起來(lái)比較方便，在一定程度上也能避免協(xié)整關(guān)系預(yù)檢驗(yàn)帶來(lái)的偏差。但是由于用于檢驗(yàn)的VAR模型存在過(guò)度擬合會(huì)導(dǎo)致該檢驗(yàn)遭受勢(shì)的損失。對(duì)于含有I(1)、I(0)的變量，Yamada和 Toda（1998）研究了 Toda and Phillips(1993,1994)提出的基于Johansen-type ECM)的檢驗(yàn)、Phillips(1995)提出的FM-VAR檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)等三種Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)程序的有限樣本性質(zhì)。結(jié)果表明，對(duì)于典型的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的樣本容量，LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平的穩(wěn)定性好于其他檢驗(yàn)，而且隨著樣本容量的增加，其實(shí)際檢驗(yàn)水平快速趨近于名義檢驗(yàn)水平；一般地，ECM檢驗(yàn)在準(zhǔn)確檢驗(yàn)協(xié)整關(guān)系的前提下具有滿意的表現(xiàn)，但FM-VAR檢驗(yàn)對(duì)于數(shù)據(jù)生成過(guò)程中參數(shù)的設(shè)定是敏感的；并且就一般而言，F(xiàn)M-VAR檢驗(yàn)和ECM檢驗(yàn)具有較高的勢(shì)，而LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)最低。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中，人們遇到的單整變量的階數(shù)通常不超過(guò)2階，因此在Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的穩(wěn)健性和有效性模擬試驗(yàn)中，我們?cè)O(shè)定單整變量的階數(shù)至多為2，并且與上述ECM-DM檢驗(yàn)的五種情形相對(duì)應(yīng)，考慮如下五種數(shù)據(jù)生成過(guò)程（DGP）：

在模擬試驗(yàn)中，設(shè)定名義檢驗(yàn)水平為0.05、0.01，樣本容量T分別取為25、50、100、200，以研究ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平對(duì)名義檢驗(yàn)水平的偏離程度及它們的勢(shì)。每次模擬生成樣本數(shù)據(jù)都設(shè)定初始值為0，按設(shè)定的數(shù)據(jù)生成過(guò)程生成長(zhǎng)度為T(mén)+200的樣本數(shù)據(jù)，然后去掉前200個(gè)數(shù)據(jù)，以消除初始值對(duì)分析結(jié)果的影響，重復(fù)模擬5000次。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，情形5對(duì)應(yīng)的回歸模型中滯后階數(shù)p=1，其余情形均設(shè)定為p=2。所有模擬結(jié)果都是在EViews6.0軟件下通過(guò)編程得到的。結(jié)果表明，在名義檢驗(yàn)水平為0.05和0.01下所得ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)有限樣本性質(zhì)的比較結(jié)果是一致的。因此，為行文簡(jiǎn)便，本文只列出了名義檢驗(yàn)水平為0.05的模擬結(jié)果。

表1 情形1下兩檢驗(yàn)的勢(shì)和實(shí)際檢驗(yàn)水平

3 有限樣本性質(zhì)

依據(jù)前述模擬試驗(yàn)設(shè)計(jì)，模擬得到情形1至情形5下ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平和勢(shì)如表1至表5所示。從模擬結(jié)果可見(jiàn)，在各種情形下，對(duì)于一定的參數(shù)值及名義檢驗(yàn)水平0.05，樣本容量越大，兩種檢驗(yàn)的勢(shì)就越高。例如，在情形1下，當(dāng)η1=0.15，η2=-0.3，T=25、50、100、200時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.259、0.522、0.840、0.991；LA-VAR 檢 驗(yàn)的 勢(shì)分別 為 0.191、0.462、0.809、0.989。而且當(dāng)T值較大時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)都具有較好的穩(wěn)健性，即它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平均接近于0.05。例如，當(dāng)T=200時(shí)，在情形1下，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平分別為0.053、0.052。

另外，從表1還可以看出，在情形1下，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平均在0.048與0.056之間。此表明它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平與0.05的名義檢驗(yàn)水平都非常接近，具有很好的穩(wěn)健性。當(dāng)η1或η2的絕對(duì)值都較高時(shí)，它們的勢(shì)較高；當(dāng)η1和η2的絕對(duì)值都較低時(shí)，它們的勢(shì)也較低；但當(dāng)樣本容量較小時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)較LA-VAR檢驗(yàn)具有較高的勢(shì)。例如，當(dāng)T=100，η1=0.15，η2=-0.3時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.840，0.809；當(dāng)T=100，η1=0.15，η2=0時(shí)，兩者的勢(shì)分別為0.244,0.229。

從表2可以看出，在情形2下，當(dāng)T值較小時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平小于名義檢驗(yàn)水平0.05，而LA-VAR檢驗(yàn)實(shí)際檢驗(yàn)水平略大于名義檢驗(yàn)水平0.05，后者檢驗(yàn)水平的扭曲程度低于前者的。例如，當(dāng)T=25時(shí)，它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平分別為0.033、0.058。當(dāng)η1與η1+η2的絕對(duì)值都較高時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)較高，當(dāng)兩者的絕對(duì)值之一相同時(shí)，另一個(gè)的絕對(duì)值越高，它們的勢(shì)越高。例如，當(dāng)T=100，η1=0.15，η2=0.3時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.984，0.979；當(dāng) T=100，η1=0.15，η2=0.15時(shí)，兩者的勢(shì)分別為0.819,0.804。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，就整體而言，當(dāng)兩種檢驗(yàn)的勢(shì)均較高時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)高于LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)。

表2 情形2下兩檢驗(yàn)的勢(shì)和實(shí)際檢驗(yàn)水平

表3 情形3下兩檢驗(yàn)的勢(shì)和實(shí)際檢驗(yàn)水平

從表3可以看出，在情形3下，當(dāng)T值較小時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平小于名義檢驗(yàn)水平0.05，LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平大于名義檢驗(yàn)水平0.05，相比之下前者檢驗(yàn)水平的扭曲程度低于后者的。例如，當(dāng)T=25時(shí)，它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平分別為0.040、0.073。一般地，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)遠(yuǎn)高于LA-VAR檢驗(yàn)的。例如，當(dāng)T=100，η=0.2時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.490，0.382。另外，對(duì)于一定的T值，隨著η的絕對(duì)值的增加，兩種檢驗(yàn)的勢(shì)均上升。例如，當(dāng)T=100，η=0.2、0.4時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.490、0.966；LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.382、0.929。

表4 情形4下兩檢驗(yàn)的勢(shì)和實(shí)際檢驗(yàn)水平

從表4可以看出，在情形4下，當(dāng)T值較小時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平與名義檢驗(yàn)水平0.05很接近，LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平大于名義檢驗(yàn)水平0.05。例如，當(dāng)T=25時(shí)，它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平分別為0.040、0.06。一般地，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)明顯高于LA-VAR檢驗(yàn)的。例如，當(dāng)T=100，η=0.2時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.479，0.423。另外，對(duì)于一定的T值，隨著η的絕對(duì)值的增加，兩種檢驗(yàn)的勢(shì)均上升。例如，當(dāng)T=100，η=0.2、0.4時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.479、0.969；LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.423、0.940。

從表5可以看出，在情形5下，當(dāng)T值較小時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平均與0.05的名義檢驗(yàn)水平很接近。例如，當(dāng)T=25時(shí)，它們的實(shí)際檢驗(yàn)水平分別為0.048、0.047。當(dāng)兩者的勢(shì)均較高時(shí)，前者較后者具有較高的勢(shì)。例如，當(dāng)T=50，β=0.4時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.774，0.747。另外，對(duì)于一定的T值，隨著β的絕對(duì)值的增加，兩種檢驗(yàn)的勢(shì)均上升。例如，當(dāng)T=50，β=0.2、0.4時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.269、0.774；LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)分別為0.245、0.747。

表5 情形5下兩檢驗(yàn)的勢(shì)和實(shí)際檢驗(yàn)水平

4 結(jié)論

本文系統(tǒng)研究了Granger因果關(guān)系ECM-DM檢驗(yàn)的有限樣本性質(zhì)，并與LA-VAR檢驗(yàn)的有限樣本性質(zhì)進(jìn)行了對(duì)比分析。Monte Carlo模擬結(jié)果表明，對(duì)于經(jīng)濟(jì)序列典型的樣本容量，在ECM-DM檢驗(yàn)的各種情形下，樣本容量越大，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)的勢(shì)就越高，即檢驗(yàn)的有效性越高；而且當(dāng)樣本容量較大時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)與LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平均接近于名義檢驗(yàn)水平，都具有較好的穩(wěn)健性。但兩種檢驗(yàn)的勢(shì)及當(dāng)樣本容量較小時(shí)的穩(wěn)健性，因樣本數(shù)據(jù)生成過(guò)程的不同存在一定的差異：（1）在情形1和情形5下，ECM-DM檢驗(yàn)和LA-VAR檢驗(yàn)都具有較好的穩(wěn)健性；在情形4下，ECM-DM檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平接近于名義檢驗(yàn)水平，而LA-VAR檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平大于名義檢驗(yàn)水平；在情形2和情形3下，ECM-DM檢驗(yàn)的實(shí)際檢驗(yàn)水平小于名義檢驗(yàn)水平，而LA-VAR檢驗(yàn)實(shí)際檢驗(yàn)水平大于名義檢驗(yàn)水平，但相比之下，在情形2下，后者的穩(wěn)健性好于前者，在情形3下前者的穩(wěn)健性要好于后者。（2）一般地，在各種情形下ECM-DM檢驗(yàn)較LA-VAR檢驗(yàn)具有較高的勢(shì)。因此，綜合比較檢驗(yàn)的穩(wěn)健性和有效性，可知在情形3下宜采用LA-VAR檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，在其他情形下，則宜采用ECM-DM檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。

需要指出的是，我們上述的結(jié)論是在已知變量之間協(xié)整關(guān)系的前提下得到的，當(dāng)變量之間的協(xié)整關(guān)系存在誤設(shè)時(shí)，ECM-DM檢驗(yàn)的勢(shì)可能遠(yuǎn)低于LA-VAR檢驗(yàn)。這一點(diǎn)已被作者進(jìn)行的模擬試驗(yàn)所證實(shí)。

[1]靳庭良,單整變量之間Granger因果關(guān)系的一種檢驗(yàn)程序[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2013，(2).

[2]Engle R F ，Granger C W J.Co-Integration and Error-correction：Representation,Estimation and Testing[J].Econometrica,1987，55(2).

[3]Granger C W J.Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-spectral Models[J].Econometrica,1969,37(3).

[4]He Z L,Maekawa K.On Spurious Granger Causality[J].Economics Letters,2001,73(3).

[5]Johansen S.Statistical Analysis of Cointegration Vectors[J].Journal of Economic Dynamics and Control,1988,12(2～3).

[6]Johansen S.Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian vector Autoregressive models[J].Econometrica,1991,59(6).

[7]Nelson C R,Plosser C I.Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series[J].Journal of Monetary Economics,1982,(10).

[8]Ohanian L E.The Spurious Effects of Unit Roots In Vector Autoregressions：a Monte Carlo study[J].Journal of Econometrics,1988,39(3).

[9]Phillips P C B.Fully Modified Least Squares and Vector Autoregression[J].Econometrica,1995,63(5).

[10]Sims C A.Money,Income,and Causality[J].American Economic Review,1972,62(4).

[11]Sims C A，Stock J H,Watsonc M W.Inference in Linear time Series Models with Some unit roots[J].Econometrica,1990,58(1).

[12]Toda H Y,Phillips P C B.The Spurious Effect of Unit Roots on Vector Autoregressions[J].Journal of Econometrics,1993,59(3).

[13]Toda H Y,Phillips P C B.Vector Autoregressions and Causality[J].Econometrica,1993,61(6).

[14]Toda H Y,Yamamoto T.Statistical Inference in Vector Autoregressions with Possibly integrated processes[J].Journal of Econometrics,1995,66(1～2).

[15]Yamada H，Toda H Y.Inference in Possibly Integrated Vector Autoregressive Models：Some Finite Sample Evidence[J].Journal of Econometrics,1998，86(1).