二階滑?？刂品椒捌鋵Νh(huán)形倒立擺的控制應用

孫靈芳，邢 宇，李 斌

SUN Ling-fang, XING Yu, LI Bin

（東北電力大學 自動化工程學院，吉林 132012）

0 引言

滑?？刂品椒ㄊ窃诙兰o60年代由前蘇聯(lián)學者Utkin和Emelyanov提出的一種控制方法，實質(zhì)上是一種非線性的控制，表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性.該控制特性可以迫使系統(tǒng)在在一定特性下沿規(guī)定軌跡作小幅度、高頻率的上下運動[1]。這種控制的不連續(xù)性表現(xiàn)為不連續(xù)的控制量出現(xiàn)在滑模變量s的一階導數(shù)中，所以稱傳統(tǒng)滑模為一階滑模?；Ｗ兞康囊浑A導數(shù)的不連續(xù)性導致滑?？刂拼嬖凇岸墩瘛爆F(xiàn)象，這在實際工作中具有很大的危害.近幾十年來，科研工作者們一直在尋找抑制“抖振”現(xiàn)象的方法，如“邊界層”法、濾波方法、高為炳提出的“趨近律”法等。在此期間，由Levant提出的高階滑?？刂品椒ǖ玫搅藦V泛的關注.高階滑模不但可以保持傳統(tǒng)滑模具有的優(yōu)點，而且可以有效地抑制了傳統(tǒng)滑模控制產(chǎn)生的“抖振”，從而提高了控制的精度[2]。

1 高階滑模的定義

首先介紹滑動階（Sliding Order）的定義[3]：

定義1 滑動階r是指滑模變量s的連續(xù)全導數(shù)（包括零階） 在滑模面s=0上為0的數(shù)目.

高階滑模的定義是由Levant和Firdman在1966年給出的，如下：

定義3 對于一個光滑的動態(tài)系統(tǒng)，滑模面s為光滑函數(shù)，r階滑動集是非空的，并且由不連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的Filippov軌跡組成，則滿足相關運動稱為關于滑模面 0),( =xts 的“r階滑?！?。

2 二階滑?？刂?/h2>

根據(jù)高階滑模的定義可以知道，當且僅當系統(tǒng)軌跡位于狀態(tài)空間s=0和交界處時，系統(tǒng)具有二階滑模動態(tài)。

最早使用的高階滑模控制就是二階滑?？刂疲鼛啄?，二階滑模仍然運用非常廣泛，者正是由于二階滑?？刂频目刂破鹘Y構簡單，并且所需要的信息量不多。常見的二階滑?？刂扑惴ㄓ腥N，分別是螺旋（Twisting）算法、超螺旋（Super-Twisting）算法和給定收斂律（Prescribed Convergen Law）算法[4,5]，下面主要介紹超螺旋算法。

2.1 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)：

其中 ∈x Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量， ∈u R為控制輸入，f(t,x)和g(t,x)為不確定光滑函數(shù)，s=s(t,x)為滑模面。二階滑?？刂频哪繕耸鞘瓜到y(tǒng)狀態(tài)在有限的時間內(nèi)到達滑模面s=s(t,x)并且具有二階滑動模態(tài)。

2.2 超螺旋（Super-Twisting）算法

超螺旋算法與其他二階滑模算法相比存在著特殊之處，它僅僅需要滑模變量s的信息，而且當控制系統(tǒng)的相對階為1時，利用超螺旋算法可以避免抖振。它的相軌跡是在 sso˙相平面上繞原點螺旋扭轉，在有限的時間內(nèi)收斂到原點。

超螺旋算法的控制器由兩個部分組成，其中第一部分為其對時間不連續(xù)的導數(shù)項，第二部分為滑模變量s的連續(xù)函數(shù)，控制器的具體形式如下：

為了保證算法在有限時間收斂，則應滿足以下條件：

3 單級環(huán)形倒立擺的建模

倒立擺往往用來驗證一種理論的正確性和在實際應用中的可行性，是一個非線性、不穩(wěn)定的被控對象。目前有許多對小車驅(qū)動直線倒立擺的控制研究，但是這種直線倒立擺有很多傳動裝置，存在誤差導致實驗失敗。與此相比，環(huán)形倒立擺沒有小車的拖動和連桿的行徑限制，所以對于控制情況來說有很大的改善。

圖1 環(huán)形倒立擺模型示意圖

單級環(huán)形倒立擺模型由一個連桿、一個擺桿和一個質(zhì)量塊組成[6,7]，如圖1所示。其中θ1為連桿與水平Y軸的夾角，θ2為擺桿與垂直方向上的夾角，順時針為正。在距離擺桿轉動中心l處取一小段dl，這一小段的坐標為：

則這一小段的動能為：

系統(tǒng)的總動能為：

其中Tm1代表連桿動能，為：

Tm2代表擺桿動能，為：

Tm3代表質(zhì)量塊動能，為：

以擺桿靜止下垂時的質(zhì)心為0勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為：

可以解得：

表1 參數(shù)物理意義及數(shù)值

將式在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開并線性化[7]，令會得到狀態(tài)空間方程如下：其中：

4 環(huán)形倒立擺的起擺及穩(wěn)定控制仿真結果

在使用滑模變結構控制控制被控對象時，需要做兩部分工作：第一部分是控制器的設計；第二部分為滑模面的設計。本文使用超螺旋算法的控制器，下一步就是對控制器中的滑模函數(shù)s進行設計以達到控制需求。

1）設計滑模函數(shù)為：

其 中c 必 須 滿 足Hurwitz 條 件，即c ＞0，為理想的角度信號。

經(jīng)過不斷的試驗，取參數(shù)w=2，s0=100，λ=500，ρ=0.5，c=0.05，Simulink仿真模塊如圖2所示。

圖2 Simulink仿真模塊圖

圖3 擺桿、連桿角度仿真曲線

圖4 擺桿、連桿角速度仿真曲線

圖5 控制仿真曲線

由仿真結果可以看出，利用超螺旋算法的控制器可以使擺桿角度豎直穩(wěn)定，起擺時間2s左右，并且2s后穩(wěn)定，在第12s加入干擾脈沖，在小于1s內(nèi)恢復平衡，魯棒性較好。但是結果同樣可以看出不能保證連桿角度穩(wěn)定，由連桿的角度與連桿的角速度曲線可以明顯看出被控量發(fā)散，不能保證穩(wěn)定且控制量抖振較大。

2）采用Ackermann公式設計滑模函數(shù)[8,9]：

Ackermann公式描述為：

矩陣A和向量b由系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程得到，此時向量b即是系統(tǒng)狀態(tài)空間方程中的矩陣為系統(tǒng)的特征多項式，是系統(tǒng)期待的特征值，從而可以算出C的值。

取參數(shù) 1=ω ，s0=500，λ=5，仿真結果曲線如下：

圖6 擺桿角度曲線圖

圖7 連桿角度曲線圖

圖8 擺桿角速度曲線圖

圖9 連桿角速度曲線圖

圖10 控制量曲線圖

由仿真曲線可以看出，利用Ackermann方法配置滑模面，可以保證四個被控量全部達到穩(wěn)定狀態(tài)。在第5s時加入幅值為0.1，周期為10的脈沖信號作為干擾信號，由仿真結果可以看出：系統(tǒng)在2.5s左右可以快速穩(wěn)定，相比較第一種滑模面，第二種穩(wěn)定的時間大于第一種，但是超調(diào)量小于第一種使用滑模面的控制，并且抖振明顯減小。

5 結束語

本文利用了Lagrange方程完成了環(huán)形倒立擺的系統(tǒng)建模，使用了二階滑模超螺旋算法對環(huán)形倒立擺進行了簡單的控制。根據(jù)仿真結果，二階滑模控制克服了邊界層法犧牲系統(tǒng)魯棒性的缺點，保留了傳統(tǒng)一階滑模的主要優(yōu)點和提高了控制精度，而且可以有效地削弱抖振.但是用二階滑?？刂破鲿r，主要的困難是如何讓調(diào)整不同算法的參數(shù)，盡管這樣，二階滑?？刂迫匀豢梢越鉀Q一大類控制問題。

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