基于D-H參數(shù)法的二自由度并聯(lián)機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

于豐博，楊惠忠，卿兆波

YU Feng-bo, YANG Hui-zhong, QING Zhao-bo

（中國(guó)計(jì)量學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

在食品、電子和醫(yī)藥等輕工業(yè)領(lǐng)域，需要機(jī)械手對(duì)輕小物料進(jìn)行中、短距離的搬運(yùn)、分揀、上下料等操作[1～3]。與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，其重負(fù)荷比小，且具有精度高、剛度大、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，故被廣泛應(yīng)用于高速操作場(chǎng)合[4]。天津大學(xué)Diamond機(jī)械手在醫(yī)藥、飲料包裝中的成功運(yùn)用充分體現(xiàn)了并聯(lián)機(jī)械手的高速、可靠?jī)?yōu)勢(shì)[5]。運(yùn)動(dòng)位置模型的快速、準(zhǔn)確建立對(duì)機(jī)器人的定位精度控制及其產(chǎn)業(yè)化開發(fā)至關(guān)重要。因此，如何根據(jù)企業(yè)的不同需求，在最短時(shí)間內(nèi)快速正確建立機(jī)械手運(yùn)動(dòng)模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

對(duì)二自由度的并聯(lián)平動(dòng)機(jī)械手——Diamond機(jī)構(gòu)，由于其機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，國(guó)內(nèi)學(xué)者多采用幾何法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型[1～2，5～6]，但隨著機(jī)械手自由度的增加，機(jī)構(gòu)幾何約束關(guān)系越復(fù)雜，求解難度也隨之增大。而通過D-H參數(shù)法建立的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，具有很好的適用性，且求解簡(jiǎn)單快捷，并通過MATLAB編程驗(yàn)證模型的正確性。

1 系統(tǒng)描述及運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

1.1 系統(tǒng)描述

如圖1所示，并聯(lián)機(jī)器人由兩條支鏈（分別各有一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)）和動(dòng)平臺(tái)組成，各支鏈包含兩個(gè)平行四邊形機(jī)構(gòu)（分別由機(jī)架-主動(dòng)臂-支架-連架副主動(dòng)臂；支架-從動(dòng)臂-動(dòng)平臺(tái)組成）[1,7]。

圖1 并聯(lián)機(jī)器人

圖2 為機(jī)器人中去除虛約束后的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，即平面五連桿機(jī)構(gòu)，P為末端位置點(diǎn)，l0、l1、l2分別為機(jī)架的半長(zhǎng)、主動(dòng)臂長(zhǎng)度、從動(dòng)臂長(zhǎng)度。

1.2 連桿坐標(biāo)系的建立及連桿參數(shù)的確定

在圖2機(jī)架中間及兩桿各關(guān)節(jié)處，根據(jù)John J. Craig對(duì)連桿坐標(biāo)系建立的約定，確定了機(jī)械手的連桿坐標(biāo)系[8～11]，如圖3所示。

基準(zhǔn)坐標(biāo)系{x0o0y0}建立在機(jī)架的中心位置；

圖2 并聯(lián)機(jī)器人控制機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

符號(hào)遵從右手法則；oij代表支鏈i（1, 左支鏈；2, 右支鏈）中第j（1 , 2關(guān)節(jié)序號(hào)）關(guān)節(jié)處坐標(biāo)系原點(diǎn)。

圖3 機(jī)械手各連桿坐標(biāo)系

在對(duì)每根連桿建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上由Craig法則得到各連桿參數(shù)，該規(guī)定如下[8,9]：

得到的左、右兩支鏈各連桿參數(shù)分別如表1、表2所示。

表2 右支鏈連桿參數(shù)表

1.3 模型求解

將坐標(biāo)系{i}經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移使其與{i-1}重合，則{i}在{i-1}中的位姿描述（即{i}到{i-1}的坐標(biāo)變換矩陣）為[8～10]：

式中c 代表cos( )，s 代表sin( )，以后均采用這種方法表示。

1）左支鏈末端位置求解

將表1中參數(shù)代入式(1)求得各變換矩陣：

從而得到各連桿坐標(biāo)系對(duì)基坐標(biāo)系的變換矩陣：

末端點(diǎn)P在基坐標(biāo)系中的方位描述為：

利用末端在基坐標(biāo)系中的位姿矩陣與末端在工具坐標(biāo)系（{x3o3y3}）中位姿經(jīng)坐標(biāo)系變換之后在基坐標(biāo)中的描述應(yīng)該相等建立求解方程的基礎(chǔ)：

令式(2)等號(hào)兩端的（1,4）元素相等，式(3)等號(hào)兩端的（2,4）元素相等，式(4)等號(hào)兩端的（1,4）、（2,4）元素分別相等建立方程組，同時(shí)將各方程中

取非零及在取值范圍內(nèi)的解，即：

其中：

2）右支鏈末端位置求解

右支鏈主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角的求解過程與左支鏈雷同，此處不再贅述，最終求得：

2 模型驗(yàn)證

圖4 末端運(yùn)動(dòng)軌跡

將圖4中末端運(yùn)動(dòng)軌跡中特殊點(diǎn)坐標(biāo)值及各連桿長(zhǎng)度代入式(11)、式(14)，求得轉(zhuǎn)角與作圖法獲得準(zhǔn)確轉(zhuǎn)角對(duì)比分別如圖5中（1,1）、（2,1）（圖5中呈矩陣排列的圖）所示，特殊軌跡點(diǎn)相關(guān)參數(shù)分別如表3、表4所示；將軌跡特殊點(diǎn)處各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角及連桿長(zhǎng)度代入式(2)等號(hào)右邊矩陣（1,4）、（2,4）元素中，求得末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)與作圖法獲得準(zhǔn)確坐標(biāo)對(duì)比分別如圖5中（1,2）、（2,2）所示。

表3 末端軌跡點(diǎn)轉(zhuǎn)角對(duì)比相關(guān)參數(shù)表

表4 末端點(diǎn)位置對(duì)比相關(guān)參數(shù)表

圖5 主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角及末端軌跡對(duì)比圖

由表3、表4及圖5可以看出通過模型求得主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角、末端點(diǎn)位置分別與標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)角及標(biāo)準(zhǔn)末端位置值吻合一致，證明了模型建立的正確性。

3 結(jié)論

總觀整個(gè)求解過程，對(duì)兩個(gè)及以上自由度機(jī)械手只需確定相應(yīng)的連桿參數(shù)通過矩陣坐標(biāo)變換即可求得機(jī)械手末端位置逆解表達(dá)式。相比以往大多采用的幾何法，D-H參數(shù)法不必尋找連桿間幾何位置關(guān)系（自由度越多，幾何關(guān)系越復(fù)雜，建立模型的難度就越大），關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角滿足右手法則即可，具有更好的適用性。同時(shí)可以大大的縮短企業(yè)對(duì)滿足特定需求的機(jī)械手的研制周期，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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