基于威布爾分布的汽車壽命估計方法

王亞菲，鄔海峰

(1.天津大學管理與經(jīng)濟學部，天津300072;2.天津大學電子信息工程學院，天津300072)

現(xiàn)代汽車正不斷向更智能、更高速、更復雜、更安全等方向發(fā)展，一旦汽車中某部件發(fā)生故障，將直接影響整個機車設備的正常運行，甚至威脅到消費者的人身財產(chǎn)安全。準確地預測汽車故障發(fā)生率，有助于提高汽車制造業(yè)的制造能力，提高汽車安全性能，降低汽車制造者的質保成本。汽車的可靠性分析是預測汽車故障的核心問題，對于汽車制造者和使用者至關重要。

汽車壽命概率分布的參數(shù)估計是可靠性分析的重要環(huán)節(jié)，只有通過參數(shù)估計建立合理、精確的統(tǒng)計學模型，才可以準確地預測汽車故障。通過分析汽車壽命數(shù)據(jù)對汽車壽命概率分布進行參數(shù)估計，是掌握汽車產(chǎn)品可靠性的關鍵。

威布爾分布作為一種可靠性模型，由于其合理化建模、數(shù)據(jù)擬合性好、解析表達式處理方便等優(yōu)勢，已經(jīng)在很多領域得到了不同程度的應用與發(fā)展［1-9］，它能有效地擬合產(chǎn)品全壽命階段的壽命數(shù)據(jù)，也可用于模擬失效率的上升、恒定和下降情況。針對威布爾分布的汽車質保數(shù)據(jù)的參數(shù)估計問題，文中對比了極大似然參數(shù)估計法和神經(jīng)網(wǎng)絡估計法的精度，并通過實例驗證了該方法的實用性，為商用汽車的可靠性評估提供直接而有效的參數(shù)估計方法。

1 威布爾分布模型

威布爾概率密度函數(shù)為

其中，t為汽車使用壽命;β為不同時期故障率曲線形狀的參數(shù);η為衡量平均故障間隔時間的尺度參數(shù)。威布爾累積分布函數(shù)為

生存函數(shù)S(t)和風險函數(shù)h(t)分別為

威布爾分布的密度函數(shù)、累積分布函數(shù)和風險函數(shù)分別如圖1～圖3所示。

圖1 威布爾分布的密度函數(shù)Fig.1 Probability density function of theWeibull distribution

圖2 威布爾分布的累積分布函數(shù)Fig.2 Cumulative distribution function of the Weibull distribution

圖3 威布爾分布的風險函數(shù)Fig.3 Hazard function of the Weibull distribution

由圖1～圖3中可以看出，形狀參數(shù)β值的不同獲得的曲線形狀有很大區(qū)別。

2 浴盆曲線

汽車在使用壽命期內，故障發(fā)生率與使用時間有關。故障概率函數(shù)隨時間t發(fā)生變化，汽車在不同時間段內故障率也不同。圖4反映了設備全期的故障分布，包括早期故障、偶然故障和磨損故障，因其整體形狀像浴盆，稱為浴盆曲線［10］。

圖4 浴盆曲線Fig.4 Bathtub curve

由圖4可以看出，當β＜1時，故障率函數(shù)h(t)呈遞減分布，汽車有可能發(fā)生早期故障，適于建模早期失效;當β=1時，h(t)為常數(shù)，汽車有可能發(fā)生偶發(fā)故障，適于建模隨機失效;當β＞1時，h(t)呈遞增分布，汽車有可能發(fā)生磨損故障，適于建模磨耗或老化失效。威布爾分布的3種故障率β＜1，β=1，β＞1，正好與浴盆曲線的3個階段相對應。

3 參數(shù)估計

威布爾分布的參數(shù)估計可采用最小二乘估計法［1］、矩估計法［2］、平均秩次法［3］、相關系數(shù)估計法［4］、雙線性回歸法［5］、灰色估計法［6］、極大似然估計法［7］和人工神經(jīng)網(wǎng)絡法(ANN)［10］等。極大似然估計法在已知總體分布且樣本容量足夠大時，根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則，估計總體中未知參數(shù)的估計值。極大似然估計法的結果大多具有無偏性、有效性和相合性，是一種最常見最有效的方法。神經(jīng)網(wǎng)絡法將神經(jīng)網(wǎng)絡模型引入汽車可靠性研究領域將有助于改進傳統(tǒng)可靠性理論的操作方法，使可靠性模型的建模操作向著智能化方向發(fā)展，從而拓寬可靠性工程的應用領域。文中對比研究了極大似然估計法與神經(jīng)網(wǎng)絡法對汽車壽命數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計的結果。

3.1 極大似然估計法

在可靠性分析中，極大似然估計法被廣泛用于威布爾分布的參數(shù)估計。假設汽車壽命數(shù)據(jù)序列為ti，令xi為第i個樣本發(fā)生故障的時間，其中i=1，2，…，N，N為本批次生產(chǎn)N臺汽車進行壽命實驗。威布爾分布的似然方程為

通過對似然方程求解偏導數(shù)，可得到模型參數(shù)的極大似然估計結果:

將式(6)、式(7)進一步整理得

式(10)只有一個自變量β，屬于單變量非線性方程，可通過Newton-Raphson迭代求解，形式如下:

其中，βk為迭代過程中第k次得到的結果;β0為初始迭代值。初始迭代值對此算法的收斂性具有一定影響，一般機械系統(tǒng)壽命估計可取形狀參數(shù)為1～10［9］。經(jīng)過迭代后可以得到 β 的估計值。然后通過式(8)得到η的估計值。

3.2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡法

在可靠性分析中，人工神經(jīng)網(wǎng)絡法作為一種數(shù)學模型被廣泛地用于可靠性模型識別方法及參數(shù)估計方法中。神經(jīng)網(wǎng)絡通過W-H學習規(guī)則，或最小均方差算法(LMS)計算權值的變化，并且使網(wǎng)絡誤差的平方和最小化，能夠訓練神經(jīng)網(wǎng)絡模型的誤差趨于最小值，且不需要導數(shù)，具有計算速度快和精度高的優(yōu)點。

針對基于威布爾分布的可靠性模型，可以采用如圖5中所示的神經(jīng)網(wǎng)絡結構進行參數(shù)估計。

圖5 威布爾分布參數(shù)估計的ANN結構Fig.5 ANN structure of the Weibull distribution

該ANN結構關系對應為一元線性方程:

使用式(12)和式(13)的變換，可以將威布爾分布函數(shù)變換為

利用文獻［11］中的改進型近似中位秩式(15)，可以直接計算經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(ti)并計算得到y(tǒng)。

其中:i為故障汽車的順序號;n為樣本數(shù)量。將x，y輸入ANN系統(tǒng)進行若干次訓練，訓練結束后得權值W即為形狀參數(shù)β，閥值b為 －βln(η)，從而得到β和η的估計值:

4 應用實例及分析

由實際工程經(jīng)驗可知，汽車壽命近似服從威布爾分布。選用某型號汽車進行壽命統(tǒng)計實驗，在同樣的生產(chǎn)條件下，樣本數(shù)量為30，假設樣本數(shù)據(jù)服從β=1.001，η=3 569的威布爾分布，具體數(shù)據(jù)見表1。

極大似然估計法基于Matlab仿真平臺進行參數(shù)估計，采用Newton-Raphson法迭代若干次后，達到迭代結果收斂區(qū)間為2%，迭代時間為23.5 s。參數(shù)估計結果為=0.981=3 639。人工神經(jīng)網(wǎng)絡法基于Neuro Modeler Plus［12］仿真平臺進行參數(shù)估計，采用W-H學習規(guī)則進行1 000次訓練，訓練時間為0.01 s。參數(shù)估計結果為=0.975=3 650。人工神經(jīng)網(wǎng)絡法的擬合結果如圖6所示，收斂曲線如圖7所示。

表1 汽車故障數(shù)據(jù)及中秩位法計算經(jīng)驗分布函數(shù)Tab.1 Automobile life data and calculation of the distribution function using rank-bitmethod

圖6 人工神經(jīng)網(wǎng)絡法的擬合曲線Fig.6 ANN fitting results

圖7 人工神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練收斂曲線Fig.7 Convergence curve of ANN＇s training error

由圖7可以看出，人工神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練收斂速度很快，這也是運算時間短的原因。

上述兩種方法的參數(shù)估計結果與已知假設參數(shù)十分接近，并且精度相當。極大似然估計方法對完整數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)都是適用的，這在基于汽車質保數(shù)據(jù)的可靠性評估中更具實際意義。人工神經(jīng)網(wǎng)絡估計法運算時間短，具有速度快精度高的優(yōu)點;同時，神經(jīng)網(wǎng)絡估計法的精度對經(jīng)驗分布函數(shù)精度的敏感性較高，通過提高經(jīng)驗分布函數(shù)的精度，可以進一步提高神經(jīng)網(wǎng)絡估計法的估計精度。

5 結語

為了對商用汽車的可靠性進行評估，文中對比了基于二參數(shù)威布爾分布的極大似然參數(shù)估計法和神經(jīng)網(wǎng)絡估計法，并將這兩種方法應用到某商業(yè)汽車的汽車壽命數(shù)據(jù)分析中。通過實例在估計精度、計算速度和實踐意義上，對這兩種方法進行對比并提出建議，兩種方法在數(shù)據(jù)適用性及運算速度上各具優(yōu)點，精度相當。

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